专题05 相交线与平行线单元过关【基础版】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

专题05 相交线与平行线单元过关（基础版） 考试范围：第7章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列各图中，和是对顶角的是（    ）． A． B． C． D． 2．在灯塔处测到轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏东的方向，轮船A在的角平分线上，则在灯塔处观测轮船A的方向为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 3．甲、乙两人用同种材料制作的楼梯模型如图所示，则他们所用的材料的长度相比，（    ） A．甲用的长 B．乙用的长 C．一样长 D．无法判断 4．如图所示，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题正确的是（   ） A．若两个相等的角有一边平行，则另一边也互相平行 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直 D．互补的角是邻补角 7．如图，将一张长方形纸片分别沿着，折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（   ） A．30° B．35° C．45° D．60° 8．如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（    ）．    方案一   ①将点A向上平移得到； ②连接交于点M； ③过点M作，交于点N，即桥的位置． 方案二   ①连接交于点M； ②过点M作，交于点N，即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 9．如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点…按这样的规律若n条直线相交交点最多有28个，则此时n的值为（　　） A．18 B．10 C．8 D．7 10．如图，将沿方向平移得到对应的，延长，交于点．若，，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（    ）．    A． B．5 C． D．6 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，是的平分线，是内部一条射线，且，已知，的度数为 ． 12．已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 13．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 14．命题“内错角相等”的题设是 ，结论是 ，它是 （“真”或“假”）命题． 15．如图，，平分，，，将以每秒的速度绕着点顺时针旋转，旋转到边落到射线上停止，若的边与或平行时，则旋转的时间可以是 秒．    评卷人 得分 三、解答题 16．如图，点C在的边OB上，过C作，平分于C．    (1)若，求； (2)过O作，交于点 H，求证：平分． 17．如图，已知直线、相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，平分，求的度数． 18．如图，平面上的三个点A，B，D．按照下列要求画出图形：    (1)作直线，射线，连接； (2)在射线上作点C，使； (3)在中，最短的线段是______，依据是______． 19．如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求：    (1)沿方向平移的距离； (2)四边形的周长． 20．已知：如图，平分平分，求的度数． 解：过P点作交于点M． ∵，（________________） ∴________．（________________） ∵， ∴________________，（两直线平行，内错角相等） 且________．（平行于同一直线的两直线也互相平行） ∴________．（两直线平行，内错角相等） ∵平分平分，（    ） ∴________，________．（    ） ∴（        ） ∴．（           ） 21．已知：如图，，平分，与相交于，． (1)若，求的度数； (2)与是什么位置关系？并说明理由． 22．如图，每个小正方形的边长均为1，每个小方格的顶点叫作格点． (1)画出向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的； (2)图中与相等的角有______； (3)连接，四边形的面积为______． 23．如图，在中，点分别是上的点，点是上的点，连接 ，． (1)试说明； (2)若是的平分线，，求的度数． 24．已知，点在上，点在上，点为射线上一点．    (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，交于点． ①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相交线与平行线单元过关（基础版） 考试范围：第7章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列各图中，和是对顶角的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，正确理解对顶角的定义是解题的关键．对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角．根据对顶角的定义判断即可． 【详解】A、和没有公共顶点，所以不是对顶角，不符合题意； B、和有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角，符合题意； C、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意； D、和没有公共顶点，所以不是对顶角，不符合题意． 故选B． 2．在灯塔处测到轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏东的方向，轮船A在的角平分线上，则在灯塔处观测轮船A的方向为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、与方向角有关的计算题 【分析】本题主要考查了方向角及角平分线的定义，解题的关键是正确理解方向角． 利用方向角的定义及角平分线的定义求解即可． 【详解】解∶如图， 在灯塔处测到轮船位于北偏西20°的方向， ， 轮船位于南偏东50°的方向， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 则在灯塔处观测轮船A的方向为北偏东， 故选∶A． 3．甲、乙两人用同种材料制作的楼梯模型如图所示，则他们所用的材料的长度相比，（    ） A．甲用的长 B．乙用的长 C．一样长 D．无法判断 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了平移的性质，要求左图模型需要的铁丝长度，可以根据平移的方法，将其化为规则的长方形再进行计算 【详解】解：∵两个图形的左右两侧相等，上下两侧相等， ∴两个图形都可以运用平移的方法变为长为，宽为的长方形， ∴两个图形的周长都为即一样长． 故选：C 4．如图所示，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，根据得到，再根据平角定义结合进行求解即可． 【详解】解：如图， ， ，， ， 故选：C． 5．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，先证明，再利用对顶角的性质可得答案. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 6．下列命题正确的是（   ） A．若两个相等的角有一边平行，则另一边也互相平行 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直 D．互补的角是邻补角 【答案】B 【知识点】判断命题真假、邻补角的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了命题与定理的知识，根据对顶角的定义，平行线的性质，邻补角的性质分别进行分析即可． 【详解】A. 若两个相等的角有一边平行，则另一边互相平行或者相交，故该选项不正确，不符合题意； B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意； C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故该选项不正确，不符合题意； D. 互补的角不一定是邻补角，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 7．如图，将一张长方形纸片分别沿着，折叠，使边，均落在上，得到折痕，，则等于（   ） A．30° B．35° C．45° D．60° 【答案】C 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质以及轴对称性质,根据折叠得到再根据这四个角的和为直角，进而得出其等于直角的一半． 【详解】解：根据折叠的性质得知, 因为， 所以． 故选：C ． 8．如图，直线、表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（    ）．    方案一   ①将点A向上平移得到； ②连接交于点M； ③过点M作，交于点N，即桥的位置． 方案二   ①连接交于点M； ②过点M作，交于点N，即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可，可利用平移解决问题． 【详解】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可． 垂直于河岸，， 连接，与另一条河岸相交于M，作直线， 由平移的性质，知，且， 根据“两点之间线段最短”，最短，即最短． 故方案一符合题意，方案二不是最短， 故选：A． 9．如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点…按这样的规律若n条直线相交交点最多有28个，则此时n的值为（　　） A．18 B．10 C．8 D．7 【答案】C 【知识点】相交线 【分析】由2条直线相交时最多有1个交点、3条直线相交时最多有1+2＝3个交点、4条直线相交时最多有1+2+3＝6个交点，…；可知n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1＝ ，再将28代入计算即可． 【详解】解：∵2条直线相交时，最多有1个交点； 3条直线相交时，最多有1+2＝3个交点； 4条直线相交时，最多有1+2+3＝6个交点； … n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1＝， 当＝28时，解得：n＝8或﹣7（舍） 故若有8条直线相交，最多有28个交点； 故选C． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形中相交点数量得出：n条直线相交，交点最多有1+2+3+…+n﹣1个是解题的关键． 10．如图，将沿方向平移得到对应的，延长，交于点．若，，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（    ）．    A． B．5 C． D．6 【答案】A 【知识点】利用平移的性质求解、垂线段最短 【分析】根据平移的性质得，当时，最小，此时有，即，即可求出答案． 【详解】解：将沿方向平移得到对应的， ， ， ， ，，， 当时，最小， 此时有， 即， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质和垂线段最短，根据平移的性质得到是解题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，是的平分线，是内部一条射线，且，已知，的度数为 ． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算 【分析】题目主要考查角平分线的计算及一元一次方程的应用，熟练掌握角平分线的计算是解题的关键； 根据题意设，则，得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 所以． 因为是的平分线， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． 故答案为： 12．已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、垂线的定义理解、同(等)角的余(补)角相等的应用、对顶角相等 【分析】此题主要考查了垂线，因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的3倍少，所以可设是度，利用方程即可解决问题． 【详解】设是度， 如图：    ∴， ∵， ∴， ∵比的3倍少 ∴， 解得：， 故； 如图：    根据四边形的内角和可得：， ∴ ∵比的3倍少 ∴， ∴， ∴ 综上所述：的度数为：或． 故答案为：或． 13．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】22 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 14．命题“内错角相等”的题设是 ，结论是 ，它是 （“真”或“假”）命题． 【答案】 两个角是内错角 这两个角相等 假 【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】将这个命题改写成“如果，那么”的形式，由此即可得出它的题设和结论，再根据同位角的定义即可判断真假． 【详解】解：命题“内错角相等”可改写为“如果两个角是内错角，那么这两个角相等”， 则命题“内错角相等”的题设是两个角是内错角，结论是这两个角相等， 因为两个内错角不一定相等， 所以它是假命题， 故答案为：两个角是内错角；这两个角相等；假． 【点睛】本题考查了命题的题设与结论、判断命题的真假，熟练掌握将命题改写成“如果，那么”的形式是解题关键． 15．如图，，平分，，，将以每秒的速度绕着点顺时针旋转，旋转到边落到射线上停止，若的边与或平行时，则旋转的时间可以是 秒．    【答案】2或8或11 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，分类思想，先分别求出，，再利用垂直的定义以及角平分线的定义求出，再分类讨论，当时，当时，当时，根据内错角相等求出旋转的角度，再根据旋转的角度除以旋转的速度即可求出对应的时间． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 当时，如下图：   ， ∵，平分， ∴， ∴此时， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 当时，如下图： ， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 当时，如下图：    此时， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）， 综上，满足条件的旋转时间可以是2秒或8秒或11秒． 故答案为：2或8或11． 评卷人 得分 三、解答题 16．如图，点C在的边OB上，过C作，平分于C．    (1)若，求； (2)过O作，交于点 H，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是利用平行线和角平分线得到各对相等的角． （1）根据垂线的定义得到，求出，根据角平分线的定义可得，从而得到，再根据平行线的性质可得； （2）根据平行线的性质得到，，，推出，根据角平分线的定义可得，从而推出，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，即为所求；    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即是的平分线． 17．如图，已知直线、相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题主要考查互补、互余的定义，角平分线的定义，对顶角相等，理解图示，掌握角平分线的定义，几何中角度的和差计算即可求解． （1）根据对顶角相等可得，根据互余的计算即可求解； （2）根据补角的性质可得，由对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，再根据互补的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 18．如图，平面上的三个点A，B，D．按照下列要求画出图形：    (1)作直线，射线，连接； (2)在射线上作点C，使； (3)在中，最短的线段是______，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【知识点】画出直线、射线、线段、垂线段最短 【分析】（1）按照要求分别作出直线，射线，线段．注意直线没有端点，射线一个端点，线段两个端点； （2）作即可； （3）在两点之间所有的连线中，垂线段最短． 【详解】（1）解：直线，射线，线段如图：   ； （2）解：点C，如图所示； （3）解：在中，最短的线段是，依据是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【点睛】本题考查直线，射线，线段的作法，及两点之间线段最短这一基本事实，注意端点个数解题的关键． 19．如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求：    (1)沿方向平移的距离； (2)四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】(1)根据平移的性质可得AD=BE，由，可求出的长，即为平移的距离； (2)根据平移的性质可求出和的长，进一步即可求出结果． 【详解】（1）∵沿方向平移至， ∴． ∵， ∴ ； 即沿方向平移的距离是． （2）由平移的性质可得：， ∵， ∴四边形的周长 ． ∴四边形的周长是． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握平移的性质是解题的关键． 20．已知：如图，平分平分，求的度数． 解：过P点作交于点M． ∵，（________________） ∴________．（________________） ∵， ∴________________，（两直线平行，内错角相等） 且________．（平行于同一直线的两直线也互相平行） ∴________．（两直线平行，内错角相等） ∵平分平分，（    ） ∴________，________．（    ） ∴（        ） ∴．（           ） 【答案】已知，，两直线平行，同旁内角互补，，，4，已知，，角的平分线的定义，等式的性质，等量代换 【知识点】角平分线的性质定理、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线性质定理及证明 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义进行证明即可． 【详解】解：过P点作交于点M． ∵，（已知） ∴DCA．（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等） 且CD．（平行于同一直线的两直线也互相平行） ∴4．（两直线平行，内错角相等） ∵平分，平分，（已知） ∴ ， ．（角的平分线的定义） ∴（等式的性质） ∴．（等量代换） 故答案为：已知， DCA，两直线平行，同旁内角互补，∠1=∠2， CD，4，已知，，，角的平分线的定义，等式的性质，等量代换． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 21．已知：如图，，平分，与相交于，． (1)若，求的度数； (2)与是什么位置关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）根据题意得出，根据平行线的性质得出，进而即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，等量代换得出，，根据平行线的判定定理得出 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． （2），理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 22．如图，每个小正方形的边长均为1，每个小方格的顶点叫作格点． (1)画出向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的； (2)图中与相等的角有______； (3)连接，四边形的面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2)和 (3) 【知识点】利用网格求三角形面积、两直线平行内错角相等、平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）由平移的性质可知，平移前后对应角相等，对应线段互相平行，据此即可得出答案； （3）根据图中的面积关系列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：根据平移前后对应角相等，可得：， ， ， 与相等的角有：和， 故答案为：和； （3）解：如图， 四边形的面积为： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移（作图），平移的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平移的性质以及作平移图形的一般步骤是解题的关键． 23．如图，在中，点分别是上的点，点是上的点，连接 ，． (1)试说明； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义： （1）根据两直线平行、内错角相等，可得，结合可得，进而可判定； （2）根据和角平分线的定义求得，进而根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解： ， ． ， ， ． （2）解：，， ， 是的平分线， ， ∵， ． 24．已知，点在上，点在上，点为射线上一点．    (1)如图1，若，，则 ． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，请写出、和三者之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分，交于点． ①若平分，求和的数量关系． ②若，，，直接写出的度数为 ． 【答案】(1) (2)数量关系：，理由见解析 (3)① ，② 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度、平行公理推论的应用 【分析】（1）过点作 ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）过点作 ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （3）①过点作 ，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； ②根据①的结论，利用角的关系解答即可． 【详解】（1）解：过点作 ，    ， ， ，， ， 故答案为：； （2）数量关系：， 证明：过点作 ，    ， ， ，， ． （3）①过点作 ，    ， ， ，， ． 又平分，平分， ， 由（2）可得 ②，理由如下： ：，，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线，根据两直线平行，内错角相等解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$