专题强化02：相交线与平行线题型归纳【7大题型 培优】-2024-2025学年七年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题强化02：相交线与平行线题型归纳 【题型归纳】 题型01：相交线问题 题型02：平行公理及其推论 题型03：平行线的判定 题型04；平行线的性质定理 题型05：平行线之间的距离问题 题型06：平行线性质的应用 题型07：平行线的判定和性质的综合问题 【题型探究】 题型01：相交线问题 1．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中正确的有（　　） ① 相等的角是对顶角； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图直线，，交于点O，平分，且，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型02：平行公理及其推论 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列语句正确的有（   ） 任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； 过一点有且只有一条直线和已知直线平行； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 若直线，，则； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列说法正确的个数是（    ） ①对顶角相等； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内， 如果， 则； ⑤两直线被第三条直线所截，内错角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型03：平行线的判定 7．（2024七年级下·全国）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，能够判断的条件是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，下列条件：①；②；③；④中，能判断直线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04；平行线的性质定理 10．（24-25七年级下·全国·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图，直线，直角三角形的顶点A在直线n上，，，分别交直线m于点D和点E，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，，，的平分线与的平分线交于点，则(    ) A． B． C． D． 题型05：平行线之间的距离问题 13．（23-24七年级下·广西玉林·期末）我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，那么图中与面积相等的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图点B在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为……，则的值是（   ）    A． B．21 C．21.5 D．22 15．（19-20七年级下·四川巴中·期末）如图，AB//CD，F为的平分线的交点，于点E，且EF=6，则AB与CD之间的距离是（  ）        A．6 B．8 C．10 D．12 题型06：平行线性质的应用 16．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．（2024·辽宁·模拟预测）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 题型07：平行线的判定和性质的综合问题 19．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 20．（23-24七年级上·山西长治·期末）综合与探究： 已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． (3)如图3，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． 21．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 【专题强化】 一、单选题 22．（24-25八年级上·重庆）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 23．（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·浙江·模拟预测）如图，将一张长方形纸条折叠，如果比大，则的度数为（　　） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，，连接，；下列结论：①若，则；②若与互补，则，则（　　） A．仅①正确 B．仅②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 29．（2024·河南商丘·模拟预测）河南“小豫米”应邀到哈尔滨观赏冰雕，其中一个“小豫米”从某个角度发现一座冰雕（图①）中隐藏着数学问题，建立模型如图②所示，直线，点在直线上，点在直线上，平分，交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 30．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点，，平分，交于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题 32．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 33．（24-25七年级下·全国·期中）一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 34．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，是直线，之间的一点，为上一点，，，若，的度数 ． 35．（24-25七年级下·全国·期末）如图，把长方形纸片沿对折，若，则的度数为 ． 36．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 37．（24-25七年级下·全国·期末）如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则 ；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则 ， ． 三、解答题 38．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 39．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 40．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 41．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，点E在直线之间，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，直接写出和之间的数量关系 ； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，在上取一点K，连接交于点H，，若．求． 42．（23-24七年级下·江苏南通·期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角． (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化02：相交线与平行线题型归纳 【题型归纳】 题型01：相交线问题 题型02：平行公理及其推论 题型03：平行线的判定 题型04；平行线的性质定理 题型05：平行线之间的距离问题 题型06：平行线性质的应用 题型07：平行线的判定和性质的综合问题 【题型探究】 题型01：相交线问题 1．（24-25七年级上·上海·期末）下列说法中正确的有（　　） ① 相等的角是对顶角； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题考查了对顶角的性质、邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离、同旁内角的定义等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：① 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角不一定互为邻补角，故原说法错误； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误； ⑤如图，和不是同旁内角，故原说法错误； 综上可知，正确的说法是③，共1个， 故选：B 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③与相等的角有3个；④．其中正确的结论为（） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练运用这些定义解决问题是本题的关键．由对顶角、邻补角，角平分线的定义，余角和补角进行依次判断即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 当时，，故①正确； 平分， ， ， 不一定等于， 不一定是的平分线，故②不正确； 平分， ， ，故③正确 ，故④正确 故其中正确的结论为①③④． 故选：C． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图直线，，交于点O，平分，且，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直的定义可得，根据对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，最后再根据即可得解． 本题主要考查了垂直的定义、对顶角的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 题型02：平行公理及其推论 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列语句正确的有（   ） 任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； 过一点有且只有一条直线和已知直线平行； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 若直线，，则； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义、平行公理、平行线的传递性、垂线的性质，熟练掌握定义和公理是解答本题的关键． 根据平行线的定义、平行公理、平行线的传递性、垂线的性质对各小题分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，应为在同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，错误； 过一点有且只有一条直线和已知直线平行，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，错误； 过两条直线，外一点，画直线，使，且，因为过两条直线，外一点，画直线，使，且，当与相交时，这样的直线不存在，错误； 若直线，，则，正确； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，应在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误； 故选：D． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下列说法正确的个数是（    ） ①对顶角相等； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内， 如果， 则； ⑤两直线被第三条直线所截，内错角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①对顶角相等；正确；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；正确；③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；错误； ④在同一平面内， 如果 则；错误 ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．错误；解答即可． 本题考查了对等角相等，平行线的判定，垂线的作图，平行线的作图，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】①对顶角相等；正确； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；正确； ③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；原说法错误； ④在同一平面内， 如果 则；原说法错误 ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原说法错误； 故选B． 6．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线定义理解，熟练掌握平行线的判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点H作，过点F作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 题型03：平行线的判定 7．（2024七年级下·全国）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，故本选项符合题意； B、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意； 故选：A． 8．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，能够判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此分析即可作出判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，故此选项符合题意； C．∵， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：B． 9．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，下列条件：①；②；③；④中，能判断直线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次判断即可，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键 【详解】解：∵，∴根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意； 不能证得，故②不符合题意； ∵，∴根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意； ∵，∴根据同旁内角互补两直线平行可得，故④符合题意； 故选：C 题型04；平行线的性质定理 10．（24-25七年级下·全国·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质容易得出答案． 【详解】解： ， ，即， ． ， ， ， ． 故答案为：A． 11．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图，直线，直角三角形的顶点A在直线n上，，，分别交直线m于点D和点E，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，先求出，则，最后根据两直线平行同位角相等，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 12．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，，，的平分线与的平分线交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、角的计算以及四边形内角和等知识点． 过点作，根据平行线的性质可得，，根据角的计算以及角平分线的定义可得，再依据四边形内角和为结合角的计算即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 又， ， 和的平分线相交于， ， 四边形的内角和为， ， 故选：B． 题型05：平行线之间的距离问题 13．（23-24七年级下·广西玉林·期末）我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，那么图中与面积相等的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．根据，平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高． 【详解】解：∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴与面积相等， ∴与面积相等的三角形为：、、， 故选：C． 14．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图点B在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为……，则的值是（   ）    A． B．21 C．21.5 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，平行线间的距离，连接，根据，可得，进而得出与同底等高，，求出和，即可求解． 【详解】解：如图，连接，   四边形及均为正方形， ， ， 与同底等高， ， 当时，， 当时，， ， 故选A． 15．（19-20七年级下·四川巴中·期末）如图，AB//CD，F为的平分线的交点，于点E，且EF=6，则AB与CD之间的距离是（  ）        A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】过点作于点，交于点，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据平行线间的距离的定义解答． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， ． 为、的平分线的交点，， ， 与之间的距离． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的求解，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 题型06：平行线性质的应用 16．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 17．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，垂线以及三角形的内角和定理，过点作，延长交于点，由平行线的性质可得，则可求，，可得，再利用三角形的内角和定理即可求的度数，解答的关键是作出正确的辅助线． 【详解】解：过点作，延长交于点，如图所示： ，， ，， ，，， ， ， ， ， ． 故选：． 18．（2024·辽宁·模拟预测）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故选：D． 题型07：平行线的判定和性质的综合问题 19．（24-25七年级上·四川资阳·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查了垂直、角平分线，熟练掌握与角平分线有关的运算是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据可得，最后根据求解即可得； （2）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得； （3）先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据和求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24七年级上·山西长治·期末）综合与探究： 已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． (3)如图3，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查平行线的性质和角的和差运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行公理的推论、平行线的性质可得，，从而得到，代入数据计算即可； （2）由（1）中的结论得，，根据角平分线的定义得，，可得结论； （3）由（1）中的结论和邻补角的定义得与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：， 理由：由（1）可知：，， ，分别平分，， ，， ， ； （3）解：， 理由：由（1）可知：，， ，分别平分，， ，， ， ， ． 21．（24-25七年级上·吉林·期末）已知，直线，点为平面内一点，连接与． (1)如图1，当点在直线，之间，且时，则_____ (2)如图2，当点在直线，之间，且与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），且，，直接写出的大小（用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∵， ， ，， ， 故答案为：80； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ∵， ， ，， ， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ∵， ∴， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【专题强化】 一、单选题 22．（24-25八年级上·重庆）下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【分析】根据平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离的定义逐项判断即可得． 本题考查了平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离、命题，熟记各定义和性质是解题关键． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，则此项是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则此项是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，则此项是真命题，符合题意； D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，则此项是假命题，不符合题意； 故选：C． 23．（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质，解题关键是根据平行线的性质得出，再求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 24．（2024·浙江·模拟预测）如图，将一张长方形纸条折叠，如果比大，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质及折叠的性质． 根据平行线的性质、折叠的性质得到，进而求出，结合“比大”求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵长方形纸条折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵比大， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 25．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 【详解】过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 26．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【详解】解：，交于I． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确；②2正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③平分，④平分不一定正确． 故选：B． 27．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：沿着直线的方向平移后得到， ，故①正确； ，故②正确； 故③正确； ， 又， ， ，故④正确； 故选：D． 28．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，，连接，；下列结论：①若，则；②若与互补，则，则（　　） A．仅①正确 B．仅②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形内角和定理成为解题的关键． 根据平行线的性质及三角形内角和定理得，再结合①、②中的已知条件用表示，然后进行推理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ①∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确． 故选：C． 29．（2024·河南商丘·模拟预测）河南“小豫米”应邀到哈尔滨观赏冰雕，其中一个“小豫米”从某个角度发现一座冰雕（图①）中隐藏着数学问题，建立模型如图②所示，直线，点在直线上，点在直线上，平分，交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质推出， 由角平分线定义得到， 求出， 即可得到的度数. 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴. 故选： A. 30．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点，，平分，交于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的定义、与角平分线有关的计算、平行线的性质，由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出，由垂线的定义得出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 31．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤． 【详解】解：平分， ， ， ，故①正确； ，，， ，，即， ， 又， ，故④正确； ， ， ，分别平分，， ， ， ， ∵ ∴， ，故③正确； ， ，故②错误； ∵ ∴是直角三角形， 根据现有条件，无法推出，即无法得到是等腰直角三角形，故⑤错误； ∴正确的有①③④， 故选：D． 二、填空题 32．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练运用角平分线的定义和邻补角的性质进行计算，根据角平分线定义求出，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 33．（24-25七年级下·全国·期中）一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线的定义及平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；过点B作，由题意易得，，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 34．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，是直线，之间的一点，为上一点，，，若，的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作，进而得到，，利用角的和差关系结合平行线的性质，推出，求出的值，再根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作． ， ． 设， ， ， ， ． ，， ， 即，解得， ， ． 故答案为：140°． 35．（24-25七年级下·全国·期末）如图，把长方形纸片沿对折，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，由是长方形，则，再由平行线的性质即可得出，求出度数，由折叠的性质可得，最后由角度和差即可求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 36．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点．根据平行线的判定和性质以及图形中角度之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵，，但不一定成立， ∴不一定成立，即③错误； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；故④正确． 故答案为：①②④． 37．（24-25七年级下·全国·期末）如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则 ；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，平分线的定义等知识，过点作，过点作，则可证出，再根据角平分线定义可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作． ，． ， ． ，， ． 平分，平分， ， ， ． 同理可得， ，， …， 以此类推， 故答案为：；；． 三、解答题 38．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 39．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，进而求解即可； （3）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理（1）可得，， ，， ， ∵平分，平分， ，， ， 同理（1）可得，； （3）解： 如图，过点作， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 由（1）可得，． 40．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，10，，，40 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，根据题意分情况分析，建立方程求解是解题关键． （1）过点E作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （2）过点F作交于点K，根据平行线的判定和性质得出，设，，结合图形及等量关系即可得出结果； （3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析求解即可 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴ 则， ∵， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图所示： ， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置时， ，， 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： ， ∴， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： 同理得：， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，，，40． 41．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，点E在直线之间，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，直接写出和之间的数量关系 ； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，在上取一点K，连接交于点H，，若．求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，求得，，即可得到的度数； （2）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，得出，，则可得出，同理可得，然后结合角平分线定义即可得出结论； （3）由（2）可求， ，设，，，，则，在中，根据三角形内角和定理可得出，由（2）知：，则，根据三角形外角的性质可得出，则可求出，根据三角形内角和定理并结合可得出，进而求出，代入，可求出，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ，， ； （2）解：如图，过点作，则， ，， ， 同理， 平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）知： ， 又， ， ， 设，，，，则， 在中，， ， ， 由（2）知：， ， 如图， ， ， ， ， ，即， ， 把代入，得， ， ． 42．（23-24七年级下·江苏南通·期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有．设镜子与的夹角． (1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角．探索α与β的数量关系，并说明理由． (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】(1),理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． （1）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可得； （2）在中，，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，，可得α与β的数量关系； （3）分两种情况画图讨论：①当时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及内角和，可得．②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符；则只能在边反射后与平行，根据三角形外角定义，可得，由，且由（1）的结论可得，． 【详解】（1），理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2），理由如下： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴ ； （3）或． 理由如下：①当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②当时，如果在边反射后与平行，则， 与题意不符； 则只能在边反射后与平行， 如图所示： 根据三角形外角性质得，， ∵， ∴， 由，且由（1）的结论可得，， 则． 综上所述：γ的度数为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$