第08讲 函数的单调性（4考点6题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

第07讲 函数的单调性 课程标准 学习目标 ①理解导数和函数的单调性关系 ②掌握导数的符号判断函数单调性 ③根据函数的单调性能够绘制函数的大致图像 1. 掌握导数与函数单调性的关系，并能够用导数的符号判断函数的单调性。 2. 利用导数分析函数的单调性。 3. 熟练掌握导数为正函数单调递增，导数为负，函数单调递减。 知识点01 函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 知识点02 已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点03 相利用导数求函数单调区间的步骤 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 知识点04 含参函数单调性讨论问题 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 题型01 函数单调性与导函数的关系 【典例1】已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 【变式1】已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，时，时， 所以不等式的解集为. 故选：A 【变式2】已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B、C. 由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. 故选：D 【变式3】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．  B．  C．  D．   【答案】A 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C、D； 当时，先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B． 故选:A． 题型02 求函数单调区间 【典例2】已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)；； (2)的单调递增区间为，单调递减区间为. 【详解】（1）由题可得， 所以，即，切线方程为， 所以. 所以；. （2）由（1）得，，函数定义域为， 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式1】函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】C 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故选：C 【变式2】函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 【变式3】已知，函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，令，解得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的单调递增区间为， 故选：C． 【变式4】函数的单调递增区间是 . 【答案】 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得， 故的单调递增区间是. 故答案为：. 【变式5】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)． (2)单调减区间是，单调增区间是． 【详解】（1），，又， 所以切线方程为，即． （2），定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 题型03 已知函数的单调区间，求参数的范围 【典例3】已知函数，．若在上是增函数，求a的取值范围． 【答案】 【详解】由已知条件，得， 在上是增函数， ，即在上恒成立， 而在上是增函数， ．． 的取值范围是． 【变式1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上，，则. 当时，不恒为零，也符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【变式2】若函数在区间上是增函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】．因为函数在区间上是增函数， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立． 设，则． 当时，恒成立，所以在上单调递减， 故，所以． 故选：D 【变式3】已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式4】已知函数的减区间为，则 . 【答案】3 【解析】由题意可得，，解集为，则. 故答案为：3 题型04 已知函数的不单调，求参数的范围 【典例4】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 【变式1】若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式2】函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，因在上不单调， 故导函数在上必有变号零点. 令，得，再令，则， 由，得即在上单调递增，所以， 故只需，即， 对于A，是的真子集,故 A选项是一个充分不必要条件， 而其他选项中，的范围都不是的真子集，故都不正确. 故选:A． 【变式3】函数在R上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，而， 要使在R上不单调，则 . 故选：D 【变式4】已知函数的导数为，函数． (1)求； (2)求最小正周期及单调递减区间； (3)若不是单调函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)最小正周期为，单调递减区间为 (3) 【详解】（1）依题意，． （2）由（1）知，， 则的最小正周期为， 由，得， 所以的单调递减区间为． （3）由（2）知，， 当时，，则，即， 当在上单调时，则对或成立． 由，得， ，则． 由，得， ，则． 因此，当在上单调时，或， 于是得不是单调函数时，， 所以实数的取值范围是． 题型05 含参函数单调性讨论 【典例5】已知函数．讨论当时，的单调性． 【答案】答案见解析 【详解】由题意，则， 当时，对于，则恒成立，在上单调递减． 当时，对于有2个大于0的零点，分别是， 当时，在上单调递增； 当时，，在和上单调递减． 综上， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减． 【变式1】求函数的单调递减区间. 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域是，. ①当时，在上恒成立，故在上单调递减. ②当时，若，则； 若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上可知，当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为. 【变式2】已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为， 当时，，则在上单调递增； 当时，由，得， 由，得；由，得， 于是有在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当0时，在上单调递增，在上单调递减． 【变式3】设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）若，则，， 又，故， 所以在处的切线方程为， 即； （2），， 当时，，令，即，解得，令，解得， 所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，，在上单调递增， 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减． 综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减． 【变式4】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，， 求导得，则， 即切线的斜率为，又， 故曲线在点处的切线方程为， 化简得． （2）求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 题型06 构造函数问题 【典例6】已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，则在上单调递增， 对于A，，化简得，错； 对于B，，化简得，错； 对于C，，化简得，对； 对于D，，化简得，错. 故选：C 【变式1】已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以函数在上单调递增. 又， 所以解得. 故选：C 【变式2】已知函数为上的可导函数，且，均有，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】令，则． 由，均有，即，则在上单调递增， ，可得． 故选：B 【变式3】（多选）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】令， 对于任意的， 所以在上单调递增， 所以，A不对； ，B正确； ，C正确； ，D不对． 故选：BC 1.下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 2.若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 3．已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 因为函数是减函数，所以对恒成立， 即对恒成立，所以对恒成立， 所以，又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：D. 4.若函数的减区间为，则的值为 . 【答案】3 【详解】的解集为， 即的解集为，所以， 解得. 故答案为：. 5.已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)答案见解析 【详解】（1）定义域为，且， 令，得． 当x变化时，，的变化情况如下表： x + 0 极大值 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知的最大值为， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 又，故在区间上只有一个零点． ②当时，，， 则，所以在区间上无零点． 综上，当时，在区间上只有一个零点， 当时，在区间上无零点． 6.已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据函数的导函数分三种情况得出函数的单调性； （2）由（1）知结合函数的单调性列不等式求参； （3）由（1）知结合函数的单调性列等式求参； 【详解】（1）由题意知. ①当时，恒成立， 所以的单调递增区间是； ②当时，令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，若在内单调递减， 则，解得， 即a的取值范围是. （3）由（1）知，若的单调递减区间是， 则，解得. 7.已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)设函数在区间上是减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意得，，. 当，即时，恒成立，在R上为增函数； 当，即或时，由得，， 由得，或，由得，， 所以在上为增函数，在上为减函数. 综上得，当时，在R上为增函数； 当或时，在上为增函数，在上为减函数. （2）由（1）得，当或时，在上为减函数， 故， 所以，解得， 所以a的取值范围是． 8.已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线垂直于直线，得， 所以. （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，方程中，， 若，则，，函数在上单调递增； 若，则，关于x的方程有两个正根，，， 当或时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 函数的单调性 课程标准 学习目标 ①理解导数和函数的单调性关系 ②掌握导数的符号判断函数单调性 ③根据函数的单调性能够绘制函数的大致图像 1. 掌握导数与函数单调性的关系，并能够用导数的符号判断函数的单调性。 2. 利用导数分析函数的单调性。 3. 熟练掌握导数为正函数单调递增，导数为负，函数单调递减。 知识点01 函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 知识点02 已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点03 相利用导数求函数单调区间的步骤 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 知识点04 含参函数单调性讨论问题 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 题型01 函数单调性与导函数的关系 【典例1】已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【变式2】已知函数，的导函数图象如图，那么，的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【变式3】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．  B．  C．  D．   题型02 求函数单调区间 【典例2】已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 【变式1】函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 【变式2】函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式4】函数的单调递增区间是 . 【变式5】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 题型03 已知函数的单调区间，求参数的范围 【典例3】已知函数，．若在上是增函数，求a的取值范围． 【变式1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若函数在区间上是增函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 . 【变式4】已知函数的减区间为，则 . 题型04 已知函数的不单调，求参数的范围 【典例4】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【变式1】若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数在R上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数的导数为，函数． (1)求； (2)求最小正周期及单调递减区间； (3)若不是单调函数，求实数a的取值范围． 题型05 含参函数单调性讨论 【典例5】已知函数．讨论当时，的单调性． 【变式1】求函数的单调递减区间. 【变式2】已知函数，讨论的单调性. 【变式3】设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【变式4】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 题型06 构造函数问题 【典例6】已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数为上的可导函数，且，均有，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（多选）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 1.下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 2.若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.若函数的减区间为，则的值为 . 5.已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求函数在区间上零点的个数． 6.已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 7.已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)设函数在区间上是减函数，求a的取值范围． 8.已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)讨论函数的单调性. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$