第09讲 矩形的判定-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第09讲 矩形的判定 课程标准 学习目标 矩形的判定定理 1.理解掌握矩形的判定方法，及能解决简单的几何问题: 2.会用这些定理进行有关的论证和计算。 知识点01 用角判定矩形 (1)三个角是 的四边形是矩形； (2)一个角是直角的 是矩形. 【即学即练1】 已知：如图，在中，，分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 知识点02 用对角线判定矩形 对角线 的平行四边形是矩形. 方法技巧：矩形的判定思路 (1)若给出的图形是一般的四边形.思路一:证明其三个角都是直角;思路二:先证明其为平行四边形，再证明其有一个角是直角或证明其对角线相等. (2)若给出的四边形是平行四边形,则直接证明其有一个角是直角或证明其对角线相等. 【即学即练1】 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，是等边三角形． (1)求证：平行四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 题型01 添一条件使四边形是矩形 【典例1】在中，和是其对角线．若添加一个条件使四边形是矩形，则这个条件可以是（    ） A．与互相平分 B． C． D． 【变式1】在平行四边形中，添加一个条件使平行四边形成为矩形，添加正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 题型02 证明四边形是矩形 【典例1】已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 【变式1】如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，． (1)求证：． (2)判定四边形的形状，并说明理由． 【变式2】如图，点D为的斜边的延长线上一点，以为边向上作等边，过点E作交的延长线于点F，若，求证：四边形是矩形． 【变式3】如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 题型03 根据矩形的性质与判定求角度 【典例1】如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【变式1】如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【变式2】如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 题型04 根据矩形的性质与判定求线段长 【典例1】如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（   ） A． B．5 C． D．3 【变式1】如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式3】图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线的距离为 分米（结果保留根号）． 题型05 根据矩形的性质与判定求面积 【典例1】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【变式1】如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 【变式2】如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是 ． 【变式3】如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【变式4】如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为 ． 一、单选题 1．如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 2．在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（   ）    A．2 B． C． D． 4．如图，正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（      ）    A．8 B． C． D． 5．如图，，分别为平行四边形边，的中点，为与的交点，在对角线上作点，，使以，，，为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，． 淇淇： 分别过点，作于点，于点． 下列说法正确的是（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 6．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（     ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．4 7．如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 8．如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（  ） A．5 B．4 C． D．3 9．如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，则矩形的周长为（  ） A． B． C． D．8 10．如图，甲同学将按照下面方式操作： 第一步，将绕点逆时针旋转，得到；第二步，过作，交的延长线于点；第三步，作直线，交，分别于点，． 甲同学根据操作，写出了四个结论： ①；②；③是的中线；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②④ 11．如图．在中，，点是斜边上的中点，点在上，于，于，若，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为 ． 13．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    14．如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 15．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则长度的最小值是 ． 16．如图，在长方形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，若点A的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为 ． 17．如图，点B在C的左侧运动，且，，，，点E在上，且，则的长度为 ；若点F在上运动，当F运动到的中点时，则的最小值为 ． 三、解答题 18．如图，在四边形中，，对角线与交于点O，于点E，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长． 19．如图，在平行四边形中，E，F分别在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足 时，四边形是矩形． 20．如图．线段与分别为的中位线与中线． (1)求证：与互相平分； (2)当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由． 21．平面内有一等腰直角三角板，直线过点．过点作于点，过点作于点．当点与点重合时（如图①），易证：． (1)当三角板绕点顺时针旋转至图②的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)当三角板绕点顺时针旋转至图③的位置时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要说明理由． 22．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点重合），过点作直线交于点．在边上存在一点，当点关于直线的对称点恰好落在边上时，解决下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)连接，当是等腰三角形时，画出一种符合条件的示意图，并直接写出的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 矩形的判定 课程标准 学习目标 矩形的判定定理 1.理解掌握矩形的判定方法，及能解决简单的几何问题: 2.会用这些定理进行有关的论证和计算。 知识点01 用角判定矩形 (1)三个角是直角的四边形是矩形； (2)一个角是直角的平行四边形是矩形. 【即学即练1】 已知：如图，在中，，分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形为矩形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定即可得证； （2）补充条件为，结合点为的中点，利用三线合一性质可得，由（1）得四边形为平行四边形，利用矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，分别是和的中点， ，， ， 又， 四边形为平行四边形． （2）解：当时，四边形为矩形，理由如下： 如图， ，点为的中点， ， ， 由（1）得，四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 知识点02 用对角线判定矩形 对角线相等的平行四边形是矩形. 方法技巧：矩形的判定思路 (1)若给出的图形是一般的四边形.思路一:证明其三个角都是直角;思路二:先证明其为平行四边形，再证明其有一个角是直角或证明其对角线相等. (2)若给出的四边形是平行四边形,则直接证明其有一个角是直角或证明其对角线相等. 【即学即练1】 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，是等边三角形． (1)求证：平行四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，即对角线相等的平行四边形是矩形，即可证明； （2）根据矩形的性质求出的长度和，利用勾股定理求出，然后利用矩形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 又， ． ∴在中，， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定，等边三角形和平行四边形的性质，以及勾股定理的运用，灵活掌握性质并运用是本题的关键． 题型01 添一条件使四边形是矩形 【典例1】在中，和是其对角线．若添加一个条件使四边形是矩形，则这个条件可以是（    ） A．与互相平分 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩行的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A.与互相平分，不能得到四边形是矩形； B.，能得到四边形是矩形； C.，四边形是菱形而不是矩形； D.，不能得到四边形是矩形； 故选：B． 【变式1】在平行四边形中，添加一个条件使平行四边形成为矩形，添加正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐一判断即可，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，不符合题意； 、四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意； 故选：． 【变式2】如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是解题的关键． 根据四边形是平行四边形，结合题意可证四边形是平行四边形，根据菱形的判定，矩形的判定方法证明即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵延长到，使， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当添加时，则有，设交于点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，故A选项不能使四边形成为矩形，符合题意； 当添加时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故B选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 当添加时，则有， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故C选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 当添加时， ∵， ∴点是中点， ∴，则， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故D选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 故选：A ． 题型02 证明四边形是矩形 【典例1】已知，如图，在中，是边上的中点，且．求证：是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，即利用 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解答本题的关键，根据平行四边形的两组对边分别相等可知得到，又由可得，证得，即可证明是矩形． 【详解】解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【变式1】如图，在平行四边形中，，为上两点，连接，，且，． (1)求证：． (2)判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)矩形；理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点． （1）根据题中的已知条件我们不难得出：，，又因为，那么两边都加上后，，因此就构成了全等三角形的判定中边边边的条件． （2）由于四边形是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可． 【详解】（1）证明：，，， ． 四边形是平行四边形， ． 在和中， ． （2）解：四边形为矩形． 理由如下： ， ． 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是矩形． 【变式2】如图，点D为的斜边的延长线上一点，以为边向上作等边，过点E作交的延长线于点F，若，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，先由等边三角形的性质可得，再证明四边形是平行四边形．最后由矩形的判定证明即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴是直角三角形，， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式3】如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形； （2）分别求出，根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形，点是的中点，是边的中线， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形． （2）解：是等边三角形， ， 是边的中线， ， 在中，由勾股定理得：， 又四边形是矩形， ． 题型03 根据矩形的性质与判定求角度 【典例1】如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 【变式1】如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得，再根据平行于同一直线的两直线平行可得，然后求出四边形是平行四边形，再求出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得，然后求出，根据等边对等角的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后整理即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：．理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【变式2】如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 题型04 根据矩形的性质与判定求线段长 【典例1】如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（   ） A． B．5 C． D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段的性质，连接，过点C作于点H，先求出，证明四边形是矩形，则，当的值最小时，的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长，则的最小值是线段的长，然后根据三角形的面积公式求出线段的长即可得出答案． 【详解】解：连接，过点C作于点H，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 四边形是矩形， ， 当的值最小时，的值为最小， 点P在斜边上（不与A、B重合）， 根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长， 的最小值是线段的长， ， ， 长度的最小值为． 故选：C． 【变式1】如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，判定四边形是矩形，推出，由三角形中位线定理得到，因此，当时，最小，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式，得到的面积，求出，即可得到的最小值是． 【详解】解：连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，当时，最小， 此时的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，关键是判定四边形是矩形，得到，由三角形中位线定理得到，由三角形面积公式求出的最小值． 【变式2】如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，先说明是直角三角形，进而得出四边形是矩形，可知当时，最小，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：连接，如图． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵为的中点， ∴点M在上，且， ∴当最小时，最小， 根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短． ， 即， ∴． 故选：D． 【变式3】图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线的距离为 分米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】过点C作于点M，交于点N，证明四边形是矩形， 利用勾股定理，含角的直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：过点C作于点M，交于点N， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分米， ∴分米，分米， ∵分米，∴分米， ∴分米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，对顶角的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 题型05 根据矩形的性质与判定求面积 【典例1】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故选：C． 【变式1】如图，在六边形中，已知，，，，六边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．连接交于G，交于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和．易得．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积． 【详解】解：如图，连接交于G，交于H， 平行且等于，平行且等于， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ． ∴六边形的面积平行四边形的面积+三角形的面积三角形的面积 ， 故答案为： 【变式2】如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是 ． 【答案】当时，四边形的面积总是矩形的面积一半 【分析】本题主要考查了几何图形中的动点问题，矩形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，用表示出相应线段的长度是解题的关键．由题意可得：，，推出，，再分别求出矩形、、的面积，进而求出四边形的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， ，，，， ，， ， ， 当时，四边形的面积总是矩形的面积一半， 故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半． 【变式3】如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题． 【变式4】如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，理解中点四边形，掌握中位线的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 根据是四边形各边的中点，可得四边形是平行四边形，，再由对角线互相垂直，可得平行四边形是矩形，由矩形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：在中，点是的中点， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 已知对角线互相垂直，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴的面积为， 故答案为： ． 一、单选题 1．如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形． 故选：C． 2．在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故A符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； ，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； 由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意． 故选D． 3．如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线、矩形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点，结合图形取中点构造三角形的中位线是解题的关键．取中点为点，过点作于点，连接，先利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，再利用矩形的判定证明是矩形，得出即可解答． 【详解】解：如图，取中点为点，过点作于点，连接，    ，，点为中点， ，， 在中，， ， ，， ， ， ， 点是的中点，点为中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是矩形， ． 故选：B． 4．如图，正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（      ）    A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内角、矩形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系解题即可． 【详解】解：如图，过点作于，    由题意可知，四边形是矩形， 由正八边形的性质知，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴是等腰直角三角形， 同理，也是等腰直角三角形， 又∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 同理， ∴．   故选：C ． 5．如图，，分别为平行四边形边，的中点，为与的交点，在对角线上作点，，使以，，，为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，． 淇淇： 分别过点，作于点，于点． 下列说法正确的是（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定，全等三角形的判断和性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键； 根据题意对嘉嘉和淇淇作图进行判定即可求解； 【详解】解：在中，，， ，， 在和中， ， ， ， 由题图①作图可得， 题图①中以，，，为顶点的四边形为矩形. 由题图②作图可得， ， ， 在 和中， ， ， ， ∵， .题图②中以，，，为顶点的四边形为平行四边形； 故只有嘉嘉正确； 故选：A 6．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（     ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理，垂线段最短，矩形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用勾股定理逆定理推出，证明四边形为矩形，进而得到，结合垂线段最短得到当于点时，最小，即最小，再结合等面积法求解，即可解题． 【详解】解：连接， 在中，，，， 又 ，即， ， 于E，于F， ， 四边形为矩形， ， 当于点时，最小，即最小， 有， 故选：B． 7．如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，运用勾股定理进行等效代换是解题的关键． 作于E，于F，并延长交于M，利用矩形的性质与勾股定理得出：，从而可求解． 【详解】解：作于E，于F，并延长交于M，如图， ∵矩形 ∴，，，，， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，，， 由勾股定理，得：，，，， ∴ ， ∴． 故选：A． 8．如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（  ） A．5 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论． 【详解】连接，如图， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故选：C． 9．如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，则矩形的周长为（  ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】由翻折的规律证明四边形是矩形及，再由矩形的性质结合已知条件求出的长度，即可求出的长度，由折叠性质证明，求得，最后由矩形的周长公式求得周长便可．本题考查了翻折变换，矩形的判定与性质，掌握翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等积法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形， ∴ ∴ ∵， ∴ 同理，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ 由折叠知， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴矩形的周长 故选：C． 10．如图，甲同学将按照下面方式操作： 第一步，将绕点逆时针旋转，得到；第二步，过作，交的延长线于点；第三步，作直线，交，分别于点，． 甲同学根据操作，写出了四个结论： ①；②；③是的中线；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题综合考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点．利用旋转的性质结合三角形的性质求得，即可判断①和③；证明四边形是矩形，推出和，即可判断②；利用勾股定理计算出和和，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转的性质得，，，， ∴，， ∴， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，结论③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，结论②正确； 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，结论④错误， 故选：C． 11．如图．在中，，点是斜边上的中点，点在上，于，于，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B作于G，过P作于H；则四边形是矩形，；再证明，得，则，由勾股定理求出，利用面积关系即可求得结果的值． 【详解】解：如图，过B作于G，过P作于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； ∵点是斜边上的中点，， ∴， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理， ∵， ∴， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题 12．如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识．准确识图，构造辅助线，利用矩形的性质是解决问题的关键．过点D作于点M，证明四边形是矩形得，，进而得，在中，由勾股定理得，设所拼成的正方形的边长为a，则，根据拼图可知，则，进而得，据此可得所拼成的正方形的边长． 【详解】解：过点D作于点M，如图所示： ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 设所拼成的正方形的边长为a， 则， 根据拼图可知：， ， ， ， ， ∴所拼成的正方形的边长为． 故答案为：． 13．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 14．如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．先推导出点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，得到当共线时，的值最小，利用勾股定理计算，从而得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵矩形，直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点，连接，， ∵， ∴当共线时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 15．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键． 连接，根据矩形的性质可得，则，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】如图，连接，   ∵，，， 四边形是矩形， ， ∵点P是的中点， ∴点P是和的交点， ∵，，， ， ∵， 当时，取得最小值， ， ． ． 即的最小值是． 故答案为：． 16．如图，在长方形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，若点A的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，由折叠的性质得到：，由勾股定理求出，由矩形的性质得到，求出，令，由勾股定理得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵垂直平分， ∴垂直平分， ， 由折叠的性质得到：， ， ， 四边形是矩形， ， ， 令， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，图形折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题关键． 17．如图，点B在C的左侧运动，且，，，，点E在上，且，则的长度为 ；若点F在上运动，当F运动到的中点时，则的最小值为 ． 【答案】 10 【分析】本题考查矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点作于点，连接，，由勾股定理求得，再由题意可得，则，即当点，，三点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长．根据题意可得四边形为矩形，进而可得，，，再根据可得答案． 【详解】解：过点作于点，连接，， ，，， ， 点是的中点， ． ， 当点，，三点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长． ，， ， ， 四边形为矩形， ，， ． ，， ． 由勾股定理得，， 的最小值为10． 故答案为：，10． 三、解答题 18．如图，在四边形中，，对角线与交于点O，于点E，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 19．如图，在平行四边形中，E，F分别在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足 时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）首先根据平行四边形的性质可得，再结合即可证明结论； （2）根据运用平行四边形判定矩形即可解答． 【详解】（1）证明∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：当时， 四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 故答案为：． 20．如图．线段与分别为的中位线与中线． (1)求证：与互相平分； (2)当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理． （1）根据线段中点的定义可得，根据三角形的中位线定理可得，从而可得，进而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答； （2）当时，四边形为矩形，再根据三角形的中位线定理可得，从而可得，然后利用（1）的结论即可解答． 【详解】（1）证明：线段与分别为的中位线与中线， 分别是的中点， 线段与也为的中位线． ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． （2）解：当时，四边形为矩形，理由如下： 线段为的中位线， ， ， 平行四边形为矩形， 当时，四边形为矩形． 21．平面内有一等腰直角三角板，直线过点．过点作于点，过点作于点．当点与点重合时（如图①），易证：． (1)当三角板绕点顺时针旋转至图②的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)当三角板绕点顺时针旋转至图③的位置时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要说明理由． 【答案】(1)成立，见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过B作于点H，可证，通过线段的等量代换可得结论； （2）过点B作，交的延长线于点G，，通过线段的等量代换可得答案． 【详解】（1）解：仍成立， 证明：如图，过B作于点H， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 又∵在中，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，，， ∴； （2）解：不成立，线段、、之间的数量关系为：， 证明：如图，过点B作，交的延长线于点G， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 又∵在中，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴． 22．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点重合），过点作直线交于点．在边上存在一点，当点关于直线的对称点恰好落在边上时，解决下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)连接，当是等腰三角形时，画出一种符合条件的示意图，并直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)画图见解析，或或 【分析】（）设交于，根据关于直线对称，可得，，又，，可得四边形是矩形，而，，知是等腰直角三角形，，求出，即得； （）设交于，求出，又关于直线对称，可得，，而四边形是矩形，即可得； （）分三种情况：①当时，可得，从而可求出；②当时，求出，可得；③当时，与重合，与重合，此时． 【详解】（1）解：设交于，如图： ∵关于直线对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：设交于，如图： ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵关于直线对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：； （3）解：①当时，如图： ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图： ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ③当时，与重合，与重合，如图： 此时； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是掌握轴对称的性质和等腰直角三角形的性质． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$