第11讲 正方形-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第11讲 正方形 课程标准 学习目标 正方形的性质定理 正方形的判定定理 1.掌握正方形的定义、性质及判定.，会运用正方形的定义、性质及判定进行有关的论证和计算; 2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系，进一步加深对 特殊与般”的认识; 知识点01 正方形的性质 定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形具有平行四边形的所有性质,还具有以下性质: ①四条边相等,四个角都是直角,对角线相等且互相垂直平分; ②正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心; ③正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线,以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 规律总结：正方形的性质 (1)边:四条边都相等且每组对边平行, (2)角:四个角都是直角. (3)对角线:两条对角线相等且相互垂直平分,把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;每条对角线平分一组对角,把正方形分成两个全等的等腰直角三角形. 【即学即练1】 如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可证明，即可求解． 【详解】解：连接如图： 是正方形， ，， ，， ， ， ， 由绕点逆时针旋转得到， 得，， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，正方形的性质等，正确构造全等三角形是解题的关键． 【即学即练2】 如图，正方形的对角线交于点，是边上的一点，连接，过点作交于点，若，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，进而可证，得到，即得，由求出即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 知识点02 正方形的判定 (1)先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等; (2)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角是直角. 规律总结：正方形的判定 (1)有一个角是直角的菱形是正方形; (2)有一组邻边相等的矩形是正方形; (3)对角线相等的菱形是正方形; (4)对角线垂直的矩形是正方形. 【即学即练1】 中，平分． (1)求证四边形是菱形． (2)满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答． （1）根据交AB于点E，交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题． 【详解】（1）证明：， ∴四边形是平行四边形； 平分． ． ， ． ． ． ∴四边形是菱形． （2）解：当时，四边形是正方形； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形． 题型01 利用正方形的性质求解 【典例1】如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，得到，，进而得到，又因为，推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 故选：B． 【变式1】如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理、正方形的性质、完全平方公式等知识点，掌握正方形的性质成为解题的关键． 先证明可得的面积的面积，进而得到空白部分的面积正方形的面积的面积，①，再结合可得②，由①和②得即可解答． 【详解】 解：四边形是正方形，，， ， ， ， ， ，， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积， 空白部分的面积正方形的面积的面积，①， ， ， ， ， ②， 由①和②得，则（舍去负值）． 故选：A． 【变式2】如图，正方形的边长为8，点在上且，是上的一动点，则的最小值是（   ） A．8 B．10 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的应用，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出图形得到的最小值即为线段的长． 连结交于点N，根据轴对称的性质，得到，的最小值即为线段的长，根据勾股定理，即可求得的长． 【详解】解：连接交于点N， ∵正方形的边长为8，点在上且， ∴，，点D与点B关于对称， ∴， ∵， ∴， ∵点D与点B关于对称， ∴， ∴,最小． 故选：B． 【变式3】如图，大正方形中摆放了两个小正方形，设它们的面积分别为，则 之间的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定， 根据正方形的性质得出，，，，都是等腰直角三角形，设正方形的边长为，再分别表示两个正方形的边长，进而得出面积之间的关系． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形，其余两个四边形也是正方形， ∴，，，，都是等腰直角三角形． 设正方形的边长为，则， ∴， 则， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 由，， 知， ∴． 故选：A． 【变式4】（教村母题变式）如图，边长为6的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边分别相交于点，图中阴影部分的面积记为，两条线段的长度之和记为，将正方形绕点逆时针转动适当角度，则有（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】根据正方形的对角线，相交于点E，得到，，，，证明，得到，,继而得到，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】如答图，连接． 边长为6的正方形的中心与正方形的顶点重合， 即点是正方形的中心， ， ． 又， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 题型02 正方形折叠问题 【典例1】如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据正方形的性质可得，再根据翻折的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：正方形的边长为6，点恰好是的中点， ， 由翻折的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故选：A． 【变式1】如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，折叠问题；取的中点E，连接，证明四边形为矩形，得出，根据直角三角形性质得出，证明为等边三角形，得出，即可得出结果． 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示：    ∵四边形为正方形， ∴，，， 根据折叠的性质知：，， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形与折叠问题．由正方形可得，由折叠的性质可得是线段的垂直平分线，推出，再由折叠的性质可得，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得是线段的垂直平分线， ∴， 再由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 【变式3】如图，在中，，将沿翻折得到，将沿翻折得到，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠，正方形的判定和性质，解一元二次方程，掌握折叠的性质，构造正方形是解题的关键． 根据题意，如图所示，延长交于点，根据折叠的性质可得四边形是正方形，设，可得，即，由，列式求解一元二次方程即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵，将沿翻折得到，将沿翻折得到， ∴，，，， ∵，即 ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的长为， 故答案为：6 ． 题型03 根据正方形的性质证明 【典例1】如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由正方形得，，由折叠的性质得，，即可得，，进而利用即可求证； （）由正方形的边长为得，进而由折叠得，又由得，设，则，，在中，利用勾股定理求出即可求解； （）求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，， 在和， ， ∴； （2）解：∵正方形边长为， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，掌握正方形和折叠的性质是解题的关键． 【变式1】（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【分析】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式2】如图，在正方形中，点在边上，将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好落在边的延长线上，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为________． 【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）证明，进而可得 ， ，根据旋转的性质可得，即可证明是等腰直角三角形； （2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，进而即可求得的面积． 【详解】（1）是等腰直角三角形． 证明：在正方形中，，． 落在边的延长线上， ．          将点绕点逆时针旋转得到点， ． ． ． ， ，即 ． 是等腰直角三角形． （2）是等腰直角三角形， ， ，， 的面积为． 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 【变式3】如图，在正方形中，点是边上一点，且点不与点、重合，点是的延长线上一点，且．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据正方形的性质证明，再根据证明结论即可． 【详解】证明：如图，四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ． 【变式4】如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握正方形的性质得到三角形全等是解题的关键． 根据正方形的性质可证，得到，则有，即是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是直角三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴． 【变式5】如图，正方形的顶点B在线段上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，由正方形的性质得，，再证明，然后根据证明可得结论成立． 【详解】证明：四边形是正方形， ∴， ∵ 又 ， ． ． 题型04 添一个条件使四边形是正方形 【典例1】如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】∵是平行四边形，∴添加以下条件， A. ，，能判定四边形是正方形；     B. ，，能判定四边形是正方形； C. ，，能判定四边形是正方形；     D. ，，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形． 故选：D． 【变式1】已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质及正方形的判定．在菱形基础上添加一个内角为直角或者对角线相等即可得到正方形，据此求解即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． A、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； B、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； C、当时，，菱形是正方形，选项不符合题意； D、当时，菱形不能确定是正方形，选项符合题意； 故选：D． 【变式2】如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质定理，中位线定理，熟练应用中位线定理和正方形的性质是解题的关键． 根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形各边、、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，， 故选：D． 【变式3】在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是 （写出一个符合要求的条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用， 【详解】解：添加的条件可以是．理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 题型05 证明四边形是正方形 【典例1】如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．首先结合矩形的性质证明四边形是平行四边形，再根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”证明四边形是矩形，然后根据“邻边相等的矩形为正方形”证明四边形是正方形． 【详解】证明：如下图， 四边形是矩形， ， ． 平分， ， ， ； 同理可得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 【变式1】如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作于点，于点，根据正方形的性质有，接着证，得出，最后根据四边形是矩形，问题得证 （2）连接，先证，得出，在中，利用勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：如答图，过点作于点，于点， 则． 是正方形对角线上的点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）证明：如答图，连接， 由题意，知， 由（1）知，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，构造辅助线是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，是边上的中线． (1)尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)当为等腰直角三角形，即时，四边形为正方形，理由见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、直角三角形斜边上的中线、正方形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． （2）当是等腰直角三角形时，四边形为正方形．结合直角三角形斜边上的中线的性质、正方形的判定、等腰直角三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接， 则射线、线段即为所求． （2）解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形． 理由：，， 四边形为平行四边形． ，是边上的中线， ， 四边形为菱形． 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为正方形． 题型06 根据正方形的性质与判定求解 【典例1】如图，在四边形中，，.，以为腰作等腰直角三角形BAE，顶点.恰好落在边上，若.，则的长是（　　）    A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定等知识，如图，过点A作于F，过点E作于H，交的延长线于G，则，证明四边形是正方形，则，再证明和是等腰直角三角形，则，最后根据勾股定理可得结论． 【详解】解：如图，过点A作于F，过点E作于H，交的延长线于G，则，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：． 故选：A． 【变式1】如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，比的应用，根据相相邻两边长之比和矩形纸片的面积求得矩形相邻两边的长是解答关键． （1）利用相邻两边长之比为，设长与宽分别为，根据矩形纸片的面积为，列出方程求解； （2）先求出正方形的边长和正方形的边长，再利用面积公式求解． 【详解】（1）解：设长与宽分别为 ， ， 解得，（不符合题意舍去）， ，． 则相邻的两边长分别为． （2）解： ． 【变式2】如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点 (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，进而可得，再证明，即可证明结论； （2）过点C作于点，于点H，证明四边形是正方形，结合角平分的性质定理可得，设，证明，易得，进而可得；由（1）可知，是直角三角形，由勾股定理解得；在中，由勾股定理得，易知；证明，易得，故，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， ， 和的角平分线相交于点C， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， 是直角三角形， 又， ∴， ∴， 是等腰直角三角形； （2）解：过点C作于点E，于点H，如图所示， ， 四边形是矩形， 平分，，，， ， 矩形是正方形，且， 设， 在和中， ， ， ， ， 由（1）可知，是直角三角形，且， ∵， 由勾股定理得：， ， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质定理并正确作出辅助线是解题关键． 【变式3】如图1，在中，于点D，，点在上，，连接． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点，连接，猜想的度数，并证明； (3)如图3，过点作，，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质以及正方形的判定： （1）判定和全等即可作答； （2）过点作于，于，根据可得到，通过等量代换得到，此时四边形是正方形，结合，可得到，利用等腰直角三角形的性质即可作答； （3）在上截取，连接，延长交于，先证明和全等，再计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴ （2）猜想： 证明：如图2，过点作于，于， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， 四边形是正方形 ∴， ∴； （3）如图3，在上截取，连接，延长交于， 由（1）、（2）可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 题型07 根据正方形的性质与判定证明 【典例1】如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作于，于，证明得到，即可判断①；当时，点与点重合，不一定等于，即可判断②；根据正方形性质得，，推出，得到，，即可判断④；进而得到，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：如图，过作于，于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 综上，结论正确的序号有①③④， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1】如图，点E为正方形外一点，，将旋转得到，的延长线交于H点． (1)绕点 逆时针方向旋转 得到； (2)试判定四边形的形状，并说明理由； (3)已知，，求的长． 【答案】(1)A， (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的定义和图形进行解答即可； （2）由旋转的性质可得，由正方形的判定可证四边形是正方形； （3）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：由题意可知，绕点A逆时针方向旋转得到； 故答案为：A， （2）解：四边形是正方形，理由如下： 根据旋转：， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． （3）连接， ∵， 在中，， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，，又， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 【变式2】如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)当四边形是正方形时，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质，垂直的定义得到，结合矩形的判定方法即可求证； （2）根据四边形是正方形，周长是，是对角线，得到，根据四边形是正方形，得到是等腰直角三角形，即，是等腰直角三角形，，则有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是正方形，周长是，是对角线， ∴，， 如图所示，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 同理，，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 【变式3】综合与探究：在四边形中，为对角线上的动点，点，分别在，上． (1)【动手操作】 如图①，若四边形为正方形，为对角线，的交点，，分别为，的中点时，连接，，根据题意在图①中画出，，则为________________度； (2)【问题探究】 如图②，四边形为菱形，，为对角线，的交点，且，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【问题解决】 如图③，在（2）的条件下，若点在对角线上，菱形的边长为8，，，求的长． 【答案】(1)见解析，90； (2)，理由见解析； (3)4或2． 【分析】（1）根据题意画出图形，根据已知证明四边形是正方形； （2）如解图②，取的中点，连接．证明，得出，根据，即可得证． （3）当点靠近点时，过点作于点，连接，作交于点．在中，得出，由（2）可知，，当点靠近点时，同理可得，进而即可求解； 【详解】（1）解：作图如解图①． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵为对角线，的交点，，分别为，的中点， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴； （2） 理由如下：如解图②，取的中点，连接则 四边形为菱形， ∴ ∴ ， ， 为等边三角形， ，，， ∵ 是等边三角形， ，． ， ． 在和中， ， ， ， （3）如解图③，当点靠近点时，过点作于点，连接，作交于点． 是等边三角形，， ，． 在中，， ． 由（2）可知，， ； 如解图④，当点靠近点时，同理可得，． ， ． 综上所述，的长为4或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，三角形中位线的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 一、单选题 1．下列说法正确的有（   ） ①一组对边平行的四边形是平行四边形；②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④两条对角线互相垂直的矩形是正方形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形、正方形的判定，根据平行四边形和正方形的判定方法进行判断即可． 【详解】解： ①一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故选项错误； ②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项错误； ③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项正确； ④两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项正确； 故选：B． 2．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和定理，由正方形的性质并结合题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 4．如图，正方形中，点 G 为对角线 上一点， ． 且，连接 ． 将线段绕点 A 逆时针旋转得到线段， 使 ， 则的度数为（  ）      A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟记性质并求出的度数是解题的关键，根据旋转的性质可得,然后利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得,然后分点在的下方和点在的上方，两种情况讨论即可得解． 【详解】解：如图， 线段绕点逆时针旋转得到线段, , 四边形是正方形， , , , 在和中， , , , 为正方形的对角线， , 当点在的下方时，, 当点在的上方时，, 综上所述，的度数为或， 故选：C. 5．已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的对角线相等，且互相垂直的性质，正方形的面积的求解．根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵正方形的一条对角线长为4， ∴面积是， 故选：C． 6．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．判断出两个正方形的边长，可得结论． 【详解】解：两个正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为，． 阴影部分的面积 故选∶A． 7．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点P，点P为的中点．若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据全等三角形的性质、勾股定理以及正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形与四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：A． 8．如图所示，四边形是正方形，点E是正方形内的一点，且为等边三角形，于点F，若，则的长是（   ）    A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，， ∴，，，， ∴， ∴． 故选：C． 9．如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】连接，旋转得到，三线合一得到垂直平分，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则：，， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用勾股定理构造方程进行求解，是解题的关键． 10．如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、二次根式的计算，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．利用正方形和等边三角形的性质证明，得到，得到可判断①；利用得到，利用平角的定义可判断②；连接交于点，则，由，得到垂直平分，利用勾股定理求出和的长，得到正方形的边长为，求出的长可判断③；最后利用三角形的面积公式可判断④和⑤，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，， 等边， ，， ， ， ， ，故①正确； ，， 是等腰直角三角形， ，， ，故②正确； 连接交于点，则， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 正方形， 是等腰直角三角形， ， ， ，故③错误； ， ，故④正确； ，， ，故⑤正确； 其中正确的有①②④⑤，正确的个数为4． 故选：B． 二、填空题 11．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质． 如图1，图2中，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图1，图2中，连接． 图1中，∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在图2中，∵四边形是正方形， ， ∴是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 12．如图， 正方形的边长为8， 点E在上，， 当点 F在边 或上时，是以为斜边的直角三角形， 则的长为 ．    【答案】4或 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，分两种情况，当点F在边时，当点F在边上时，根据正方形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， 当点F在边时，如图，    ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在边上时，如图，    ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：4或 13．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，，连接．若是等腰三角形，则旋转角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是注意进行分类讨论，根据正方形性质得出，，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据旋转可知：， ∴， 当时，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 当时， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 当时， ∴，此时点P与点B或点D重合，不适合题意舍去 综上分析可知：旋转角的度数是或． 故答案为：或． 14．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 如图，首先把旋转到，然后利用全等三角形的性质得到，然后根据题目中的条件，可以得到，再根据和勾股定理，可以求出的长，本题得以解决． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴三点共线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， 则， ， ， ∴， ， 解得，， ∴的长为2． 故答案为：2． 15．如图，已知，分别是正方形的边，上的点，且分别交对角线相交于 ，若，则 度． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，连接，证明和全等得， 进而得， 同理可证和全等，则进而得，由此可得的度数，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形，为对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，再证明和全等得，，则矩形是正方形，，熟练掌握全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 故答案为：． 17．如图，在正方形中，，分别为，边上的点，与交于点，为的中点，连接，若，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质．证明后可得，，由已知及正方形的性质可求，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结果． 【详解】解：正方形， ，， ，分别为，边上的点，， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 18．如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则 ，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．    【答案】详见解析 【分析】先证明，则平行四边形为矩形，再证明，即可得到结论． 【详解】证明：四边形为平行四边行， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 平行四边形为矩形， 为的平分线， ， ∴， ， ∴平行四边形为正方形 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 20．如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据正方形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据三角形的外角性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在正方形中，点在边上，将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好落在边的延长线上，连接，， ． (1)判断的形状，并证明； (2)若，求的面积． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，进而可得，，根据旋转的性质可得，即可证明是等腰直角三角形； （2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，进而即可求得的面积． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形． 证明：在正方形中，，． ∵ 落在边的延长线上， ∴ ．          ∵ 将点绕点逆时针旋转得到点， ∴． ∴ ， ∴． ∵ ， ∴，即． ∴是等腰直角三角形． （2）∵是等腰直角三角形， ∴， ，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 22．如图，正方形的对角线交于点O，点E是线段上一点，连接，过点B作于点F，交于点若，是的平分线，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．首先得到是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 23．如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数． 【答案】． 【分析】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据正方形的性质得，，， 则，再根据，得，由此可得的度数，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．如图，已知正方形和，，将绕点旋转得到． (1)用直尺和圆规作出点和； (2)延长交于点，求证：为等腰直角三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质等知识点， 连接和，根据中心对称的性质可判断它们的交点为旋转中心O，连接并延长至F，使，连接，，根据正方形的中心对称的性质可得； 如图，延长交于点，先证，，进而可证四边形为正方形，然后利用正方形的性质即可得证； 熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接和，则它们的交点为旋转中心O，连接并延长至F，使，连接，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， ∴点O和即为所求； （2）解：如图，延长交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形． 25．如图，正方形的边长为2，E是上一点，是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)填空：①可以由绕旋转中心_____点，按顺时针方向旋转______度得到； ②定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形，则四边形______（填“是”或“不是”）邻等对补四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)①A，90 ；②是 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理． （1）根据正方形的性质得，，然后利用“”易证得； （2）由于得，则，即，根据旋转的定义可得到可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到； （3）根据邻等对补四边形的定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵F是的延长线上的点， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到． 故答案为：A、90； ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是邻等对补四边形． 故答案为：是． 26．在四边形中，对角线相交于点，过点的两条直线，分别交边于点E，F，G，H． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则___________． 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，求的长（用含a，b，m的代数式表示）． 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分 【分析】（1）如图1，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图2，过作于N，于M，根据图形的面积得到，于是得到结论； （3）如图3，过作，，则，，根据平行四边形的面积公式得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，四边形是正方形， ，， 在与中，， ， 故答案为． （2）解：如图2，过作于N，于M， ， ， ， ， ，． ， （3）解：如图3，过作，，则，， ， ， ， ， ，， ，解得米， 米， 当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明是解决问题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 正方形 课程标准 学习目标 正方形的性质定理 正方形的判定定理 1.掌握正方形的定义、性质及判定.，会运用正方形的定义、性质及判定进行有关的论证和计算; 2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系，进一步加深对 特殊与般”的认识; 知识点01 正方形的性质 定义:有一组邻边 且有一个角是 的平行四边形是正方形. 正方形具有平行四边形的所有性质,还具有以下性质: ①四条边相等,四个角都是 ,对角线相等且互相 平分; ②正方形是中心对称图形,对角线的 是它的对称中心; ③正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线,以及过每一组对边 的直线都是它的对称轴. 规律总结：正方形的性质 (1)边:四条边都相等且每组对边平行, (2)角:四个角都是直角. (3)对角线:两条对角线相等且相互垂直平分,把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;每条对角线平分一组对角,把正方形分成两个全等的等腰直角三角形. 【即学即练1】 如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 如图，正方形的对角线交于点，是边上的一点，连接，过点作交于点，若，求四边形的面积． 知识点02 正方形的判定 (1)先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组 相等; (2)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角是 . 规律总结：正方形的判定 (1)有一个角是直角的菱形是正方形; (2)有一组邻边相等的矩形是正方形; (3)对角线相等的菱形是正方形; (4)对角线垂直的矩形是正方形. 【即学即练1】 中，平分． (1)求证四边形是菱形． (2)满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 题型01 利用正方形的性质求解 【典例1】如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正方形的边长为8，点在上且，是上的一动点，则的最小值是（   ） A．8 B．10 C．15 D．18 【变式3】如图，大正方形中摆放了两个小正方形，设它们的面积分别为，则 之间的关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式4】（教村母题变式）如图，边长为6的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边分别相交于点，图中阴影部分的面积记为，两条线段的长度之和记为，将正方形绕点逆时针转动适当角度，则有（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 题型02 正方形折叠问题 【典例1】如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 【变式1】如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，先将正方形对折，折痕为，再沿折叠，使点C落在折痕上，记为点F，连接，已知正方形边长为2，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【变式3】如图，在中，，将沿翻折得到，将沿翻折得到，则的长为 ． 题型03 根据正方形的性质证明 【典例1】如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 【变式1】（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【变式2】如图，在正方形中，点在边上，将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好落在边的延长线上，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为________． 【变式3】如图，在正方形中，点是边上一点，且点不与点、重合，点是的延长线上一点，且．求证：； 【变式4】如图：正方形中，点分别在边上，，连接交于点，点为中点，连接，求证：． 【变式5】如图，正方形的顶点B在线段上，，．求证：． 题型04 添一个条件使四边形是正方形 【典例1】如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C． ， D． ， 【变式1】已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 【变式3】在矩形中，对角线交于点O，要使矩形成为正方形，需添加的条件是 （写出一个符合要求的条件）． 题型05 证明四边形是正方形 【典例1】如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 【变式1】如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【变式2】如图，在中，，是边上的中线． (1)尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由． 题型06 根据正方形的性质与判定求解 【典例1】如图，在四边形中，，.，以为腰作等腰直角三角形BAE，顶点.恰好落在边上，若.，则的长是（　　）    A． B． C．2 D．1 【变式1】如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 【变式2】如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点 (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求的长． 【变式3】如图1，在中，于点D，，点在上，，连接． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点，连接，猜想的度数，并证明； (3)如图3，过点作，，连接交于点，若，，求的面积． 题型07 根据正方形的性质与判定证明 【典例1】如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式1】如图，点E为正方形外一点，，将旋转得到，的延长线交于H点． (1)绕点 逆时针方向旋转 得到； (2)试判定四边形的形状，并说明理由； (3)已知，，求的长． 【变式2】如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)当四边形是正方形时，求的长． 【变式3】综合与探究：在四边形中，为对角线上的动点，点，分别在，上． (1)【动手操作】 如图①，若四边形为正方形，为对角线，的交点，，分别为，的中点时，连接，，根据题意在图①中画出，，则为________________度； (2)【问题探究】 如图②，四边形为菱形，，为对角线，的交点，且，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【问题解决】 如图③，在（2）的条件下，若点在对角线上，菱形的边长为8，，，求的长． 一、单选题 1．下列说法正确的有（   ） ①一组对边平行的四边形是平行四边形；②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④两条对角线互相垂直的矩形是正方形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 4．如图，正方形中，点 G 为对角线 上一点， ． 且，连接 ． 将线段绕点 A 逆时针旋转得到线段， 使 ， 则的度数为（  ）      A． B． C．或 D．或 5．已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 6．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连结并延长，交于点P，点P为的中点．若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，四边形是正方形，点E是正方形内的一点，且为等边三角形，于点F，若，则的长是（   ）    A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 9．如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（　　） A． B．2 C． D．4 10．如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 11．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中正方形对角线的长为 ． 12．如图， 正方形的边长为8， 点E在上，， 当点 F在边 或上时，是以为斜边的直角三角形， 则的长为 ．    13．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，，连接．若是等腰三角形，则旋转角的度数是 ． 14．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为 ． 15．如图，已知，分别是正方形的边，上的点，且分别交对角线相交于 ，若，则 度． 16．如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 17．如图，在正方形中，，分别为，边上的点，与交于点，为的中点，连接，若，，，则的长度为 ． 18．如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 三、解答题 19．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．    20．如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点．求证：． 21．如图，在正方形中，点在边上，将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好落在边的延长线上，连接，， ． (1)判断的形状，并证明； (2)若，求的面积． 22．如图，正方形的对角线交于点O，点E是线段上一点，连接，过点B作于点F，交于点若，是的平分线，求的长． 23．如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数． 24．如图，已知正方形和，，将绕点旋转得到． (1)用直尺和圆规作出点和； (2)延长交于点，求证：为等腰直角三角形． 25．如图，正方形的边长为2，E是上一点，是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)填空：①可以由绕旋转中心_____点，按顺时针方向旋转______度得到； ②定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形，则四边形______（填“是”或“不是”）邻等对补四边形． 26．在四边形中，对角线相交于点，过点的两条直线，分别交边于点E，F，G，H． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则___________． 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，求的长（用含a，b，m的代数式表示）． 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$