第10讲 菱形-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第10讲 菱形 课程标准 学习目标 菱形的性质定理 菱形的判定定理 1.能运用菱形的性质进行简单的计算;了解菱形既是中心对称图形又是轴对称图形: 2.能说出菱形的两个判定定理，并会用它进行相关的论证和计算. 知识点01 菱形的定义和性质 定义:一组邻边 的平行四边形叫作菱形 性质:(1)菱形的四条边都 ,对角相等对角线互相 平分; (2) 菱形是中心对称图形,对角线的 是它的对称中心; (3)菱形是轴对称图形,两条对角线所在直线都是它的 . 【即学即练1】 菱形和矩形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等 【即学即练2】 如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，若，则的长为__________． 知识点02 菱形的周长和面积 周长=边长×4. 面积=底×高=两条对角线长度乘积的 . 规律总结：菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形、两对全等的等腰三角形.故常结合勾股定理或等腰三角形的性质进行与菱形有关的证明、计算，有时也与角平分线的性质结合解题. 【即学即练1】 若菱形的对两条对角线长分别是和，则这菱形的面积为 ． 【即学即练2】 如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 知识点03 菱形的判定 (1)四条边都 的四边形是菱形. (2)对角线互相 的平行四边形是菱形. 【即学即练1】 如图，在四边形中，，，和分别是各边中点，对角线，交于点． (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若，请问四边形是什么形状？并说明理由． 题型01 利用菱形的性质求解 【典例1】如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在菱形中，，菱形的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ． 【变式3】将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为 ． 【变式4】如图，在菱形中，点O为对角线的交点，且在内，，，则菱形两对边的距离 ． 【变式5】菱形的两条对角线分别长、，则这个菱形的面积是 ． 【变式6】如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 题型02 利用菱形的性质证明 【典例1】如图，在菱形中，作于F，，求证： 【变式1】如图，在菱形中，相交于点O，E为的中点，，求的度数． 【变式2】如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至F，使，连接．求证：四边形是矩形 【变式3】如图，四边形是菱形，延长至点E，使，再延长至点F，使，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，则四边形的面积是______． 题型03 添一个条件使四边形是菱形 【典例1】在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 【变式1】已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 【变式2】如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 题型04 证明四边形是菱形 【典例1】如图，在中，对角线和相交于点O，，，．求证：是菱形． 【变式1】如图，矩形和矩形有公共顶点A 和C， 与相交于点G，与相交于点H． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接，若 求四边形的面积． 【变式2】已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 【变式3】如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 题型05 根据菱形的性质与判定求解 【典例1】如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的度数． 【变式3】如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分． (1)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，且交延长线于点E． (2)连接，若，，求的长． 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．平行四边形的对角线相等 D．菱形的对角线相等 2．如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 3．为全面落实劳动教育，某中学将校园里的荒地设计成了如图所示的菱形花圃（阴影部分），且菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点，若矩形荒地的长为80米，宽为60米，则菱形花圃的面积为（   ） A．2400平方米 B．2800平方米 C．3000平方米 D．3200平方米 4．如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（   ）    A． B． C． D． 6．如图，菱形的对角线，交于点O，E是的中点，，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．如图，为矩形的对角线，分别以、为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线，交矩形两边于，连接，则四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 8．如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，对角线交于O，过点O作的垂线分别交、于E、F．已知，，，那么的长是（   ） A．9.6 B．12 C．10 D．8 10．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为，；点F关于BC，CD的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 二、填空题 11．菱形两条对角线长分别为，则菱形的面积是 ． 12．菱形的两条对角线分别为和，则菱形的周长为 ． 13．如图，在菱形中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的周长为 ．    14．如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 15．如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接，若，则的面积为 ．    16．如图，在中，交于点，则四边形是 ． 17．如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为 ． 18．如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 19．如图，四边形为菱形，点E为边上一点，连接，点 F为延长线上一点，连接，若，求证：． 20．如图，已知矩形，，．      (1)请用尺规在图上作菱形，使得E点在边上，F点在边上（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)求出（1）中所作的菱形的面积． 21．如图，四边形是菱形，，，连接，点在线段上，过点作于点，且，求的长． 22．如图，在矩形中，点、分别在和上，连接、，四边形为菱形，求证：． 23．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为24，，，求的长． 24．如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)点F是上一点，连接．已知，求证：四边形为菱形． 25．如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 26．四边形是菱形，，点是边上一点，连接，． (1)如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长； (2)线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 菱形 课程标准 学习目标 菱形的性质定理 菱形的判定定理 1.能运用菱形的性质进行简单的计算;了解菱形既是中心对称图形又是轴对称图形: 2.能说出菱形的两个判定定理，并会用它进行相关的论证和计算. 知识点01 菱形的定义和性质 定义:一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 性质:(1)菱形的四条边都相等,对角相等对角线互相垂直平分; (2) 菱形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心; (3)菱形是轴对称图形,两条对角线所在直线都是它的对称轴. 【即学即练1】 菱形和矩形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，利用矩形的性质和菱形的性质即可求解，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解决此题的关键． 【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分， ∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分， 故选：A． 【即学即练2】 如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，若，则的长为__________． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由菱形，可得，，由，可得，可证四边形是平行四边形，由，即，可证四边形是矩形； （2）由菱形，，，可得，，，如图，在取，使，连接，则是的中位线，，由勾股定理得，，，计算求解，进而可求． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形，，， ∴，， ∵菱形 ∴， 如图，在取，使，连接， ∴是的中位线， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，中位线等知识．熟练掌握菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，中位线的性质是解题的关键． 知识点02 菱形的周长和面积 周长=边长×4. 面积=底×高=两条对角线长度乘积的一半. 规律总结：菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形、两对全等的等腰三角形.故常结合勾股定理或等腰三角形的性质进行与菱形有关的证明、计算，有时也与角平分线的性质结合解题. 【即学即练1】 若菱形的对两条对角线长分别是和，则这菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，利用菱形的面积公式：“对角线乘积的一半”来解决是解题关键． 根据菱形的面积公式：两对角线乘积的一半，求得菱形的面积． 【详解】解：这个菱形的面积是：． 故答案为： 【即学即练2】 如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ∴，四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴     ∴ ∴四边形的面积为， 故选：B 知识点03 菱形的判定 (1)四条边都相等的四边形是菱形. (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 【即学即练1】 如图，在四边形中，，，和分别是各边中点，对角线，交于点． (1)若，求证：四边形是菱形； (2)若，请问四边形是什么形状？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键； （1）根据中位线定理可得，，，，进而证明，即可证明四边形是菱形； （2）作交于点， 交于点，根据中位线定理可得，进而证明，即可求解； 【详解】（1）证明：，，，分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：若，四边形是矩形，理由如下： 作交于点， 交于点， ，，，分别是、、、的中点， 、分别是、的中位线， ，，同理可证，， ，同理可证， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ，， ， 在四边形中，， 四边形是矩形； 题型01 利用菱形的性质求解 【典例1】如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式1】如图，在菱形中，，菱形的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形面积的计算公式，勾股定理；根据菱形的面积和可以计算的长，在中，已知、根据勾股定理即可求得的值，即可解题． 【详解】解：菱形的面积 ，，， ， ，， 在中， ， 菱形的边长为， 故选：A． 【变式2】如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、尺规作图、垂直平分线的性质，掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．由菱形的性质可得，得到的度数，由作图可知点E在的垂直平分线上，得到，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：菱形， ， ， ， 由作图可知，点E在的垂直平分线上， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠以及菱形的性质，根据折叠以及菱形的性质发现特殊角是解题的关键． 根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵为菱形， ∴， 由折叠的性质可知，， 又∵， ∴， 在中，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，在菱形中，点O为对角线的交点，且在内，，，则菱形两对边的距离 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵菱形两对边的距离为， ∴ ∴； 故答案为：． 【变式5】菱形的两条对角线分别长、，则这个菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用菱形的性质求面积，熟练掌握菱形的对角线互相垂直的性质是解题的关键． 根据菱形面积的计算公式“菱形的面积等于对角线乘积的一半”解答即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线互相垂直， ∴菱形的面积等于对角线乘积的一半， 则这个菱形的面积为， 故答案为：． 【变式6】如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 题型02 利用菱形的性质证明 【典例1】如图，在菱形中，作于F，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，依据菱形的性质即可得到，，再根据AAS即可判定≌，进而得出 【详解】证明：菱形， ，， ，， ， 在与中， ， ， 【变式1】如图，在菱形中，相交于点O，E为的中点，，求的度数． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识点，由菱形的性质可得,由线段垂直平分线的性质可得,可证是等边三角形，即可求解，证明是等边三角形是解决此题的关键． 【详解】解：四边形为菱形， , 为的中点，, , , 是等边三角形， ． 【变式2】如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至F，使，连接．求证：四边形是矩形 【答案】详见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明其有一个内角是直角即可证明四边形是矩形； 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【变式3】如图，四边形是菱形，延长至点E，使，再延长至点F，使，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，则四边形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）由，，得出四边形为平行四边形，由菱形的性质可得，则，即可判断四边形是矩形； （2）根据四边形是菱形，得出，求出，根据勾股定理求出，根据矩形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明： ，， ∴四边形为平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ． 题型03 添一个条件使四边形是菱形 【典例1】在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意可作出图形： 当时，则为矩形，故A错误； 当时，则为矩形，故B错误； 当时，不能判定出是菱形，故C错误； 当平分时，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形，故D正确； 故选：D． 【变式1】已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定方法成为解题的关键． 先根据三角形的中位线得到可得四边形是平行四边形；再根据菱形的判定可知，即可解答． 【详解】解：∵中，E、F、D分别是上的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是菱形，则， ∴，即． 故答案为：． 题型04 证明四边形是菱形 【典例1】如图，在中，对角线和相交于点O，，，．求证：是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定方法；平行四边形的性质得，，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，由菱形的判定方法，即可得证；掌握平行四边形的性质，菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 是菱形． 【变式1】如图，矩形和矩形有公共顶点A 和C， 与相交于点G，与相交于点H． (1)求证：四边形是菱形． (2)连接，若 求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质： （1）过点作，过点作，先证明是平行四边形，根据等积法求出，即可得证； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：过点作，过点作， ∵矩形和矩形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）由（1）知：四边形是菱形， ∴四边形的面积． 【变式2】已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析． 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据两直线平行，内错角相等求出，等量代换可得， 根据等角对等边的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键． 【变式3】如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 题型05 根据菱形的性质与判定求解 【典例1】如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式． 现根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， 正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形， ． 故选：． 【变式2】如图，在中，点D，E分别是边的中点，取的中点O，连接并延长交于点F，连接． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质成为解题的关键． （1）根据三角形中位线的性质可得、，即；再说明、，证得可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先证明平行四边形BEFC是菱形，再利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：点D，E分别是边的中点， ，， ， ∵点O是边的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 平行四边形BEFC是菱形， ，， ． 【变式3】如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分． (1)请用无刻度的直尺和圆规作直线，使，且交延长线于点E． (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）利用尺规作图作出图形即可； （2）证明四边形是菱形，利用勾股定理求得，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； ； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，尺规作图．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．平行四边形的对角线相等 D．菱形的对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，根据平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等，故原说法错误，不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质．利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴菱形的周长为． 故选：B． 3．为全面落实劳动教育，某中学将校园里的荒地设计成了如图所示的菱形花圃（阴影部分），且菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点，若矩形荒地的长为80米，宽为60米，则菱形花圃的面积为（   ） A．2400平方米 B．2800平方米 C．3000平方米 D．3200平方米 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和判定，菱形的性质是解题的关键；根据矩形的性质可证四边形是矩形，四边形是矩形， 可得米， 米，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图： 四边形是矩形，矩形荒地的长为80米，宽为60米， 米，米，， 菱形花圃的四个顶点均为矩形荒地各边的中点， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， 米， 米， 菱形花圃的面积为平方米， 故选：． 4．如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形，证明出，得到，即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴四边形是平行四边形， 如图所示，连接， ∵点恰好在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 故选：B ． 5．如图，为菱形的对角线，，过点作，垂足为点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据含直角三角形性质求得，由菱形的性质得出即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴， 即， 故选：B． 6．如图，菱形的对角线，交于点O，E是的中点，，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键． 由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故选：A． 7．如图，为矩形的对角线，分别以、为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线，交矩形两边于，连接，则四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，矩形的性质，菱形的判定．根据作图可得是线段的垂直平分线，得到，，，由，得到，利用等角对等边求得，据此即可得到结论． 【详解】解：根据作图可得是线段的垂直平分线， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形． 故选：C． 8．如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，是菱形；故选项A符合题意； B，C，D三个选项都不能推出是菱形； 故选A． 9．如图，在中，对角线交于O，过点O作的垂线分别交、于E、F．已知，，，那么的长是（   ） A．9.6 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握菱形的判定及性质是解题关键．根据平行四边形的性质可得，的长度，由勾股定理的逆定理可证得，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，， 在中，， ∴，则四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选：A． 10．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，以相同的速度分别向终点B，D（包括端点）运动．点E关于AD，AB的对称点为，；点F关于BC，CD的对称点为，．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 C．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意，分放五种特殊位置分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，平行四边形，菱形即可求解. 【详解】如图中， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∵对称， ，, , , 同理 , , ∴四边形是平行四边形， 如图所示, 当三点重合时, ,即 ∴四边形是菱形； 如图所示, 当分别为的中点时, 设则 在中，连接, ， 是等边三角形， ∵为中点， ， ， 根据对称性可得， ， ， 是直角三角形， 且 四边形是矩形. 当分别与重合时, 都是等边三角形，则四边形 是菱形， ∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选:D. 二、填空题 11．菱形两条对角线长分别为，则菱形的面积是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：由题意得，菱形的面积是， 故答案为：21． 12．菱形的两条对角线分别为和，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键； 根据菱形的对角线互相垂直平分求出两条对角线的一半，再利用勾股定理列式求出边长，然后根据周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：菱形周长为：； 菱形的周长为； 故答案为： 13．如图，在菱形中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的周长为 ．    【答案】 【分析】根据菱形的性质结合等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质及勾股定理求出，，证明，即，得到，求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、多边形内角和的应用、全等三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理可求出的长，进而根据菱形面积计算公式求出的长，则由勾股定理可求出的长，再由平行线间距离处处相等得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线和相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由菱形的性质可得， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】连接、，作于点H．由垂直平分可得，结合平分可知四边形是菱形，则，．由菱形的性质及可得，则，则，进而可求面积． 【详解】解∶ 如图，连接、，作于点H．   垂直平分， ， ， 平分， ， ， ， 同理可证明， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ， ， ． ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的性质和判定，30度角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟知相关知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 16．如图，在中，交于点，则四边形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判断、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，再结合勾股定理的逆定理证明，结合“对角线相互垂直的平行四边形为菱形”证明四边形是菱形即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴四边形是菱形． 故答案为：菱形． 17．如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：8． 18．如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确； 点与点重合时，设表示出利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出②错误； 当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值，即可判断③正确． 【详解】∵， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形，故①正确； ， ， 点与点重合时，如图1所示： 设则， 在中， 即， 解得 ， ， ， ，故②错误； 当过点时，如图所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ∴故③正确． 故答案为： ①③． 三、解答题 19．如图，四边形为菱形，点E为边上一点，连接，点 F为延长线上一点，连接，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由菱形的性质证明即可． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．如图，已知矩形，，．      (1)请用尺规在图上作菱形，使得E点在边上，F点在边上（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)求出（1）中所作的菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16.4 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交边于E，交边于F，连接，即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理关键方程求出x的值，然后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求，    理由：由作图知：垂直平分， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：在矩形中，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理是解答本题的关键． 21．如图，四边形是菱形，，，连接，点在线段上，过点作于点，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形判定与性质及含30度角的直角三角形性质，根据菱形性质得出是等边三角形，进而求出，再根据直角三角形性质得出，即可求出结论． 【详解】解：四边形是菱形，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 22．如图，在矩形中，点、分别在和上，连接、，四边形为菱形，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，根据菱形的性质得到，可证，即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ∴． 23．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为24，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，得，可证明，得出，可得四边形是平行四边形，由即得是菱形： （2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，即得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵平行四边形的周长为24， ∴菱形的周长为：， ∴， ∵， ∴， 又 ， ∴是等边三角形， ∴． 24．如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)点F是上一点，连接．已知，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作图，菱形的判定，熟练掌握角平分线的作图方法与菱形的判定方法是解题的关键， （1）运用尺规作图作角平分线的方法作图即可； （2）根据已知条件结合作图可得，，由菱形的判定即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）证明：连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， 由作图可知， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 25．如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得与相等且互相平分，进而可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，于是结论得证； （2）作于点，交于点，由轴对称的性质可得，，进而可得，由垂线段最短可知，当、、三点共线，且时，最小，即最小，最小值为，由矩形的性质可得，，由轴对称的性质可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，于是得解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 与相等且互相平分， ， 关于的对称图形为， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，作于点，交于点， 沿所在直线折叠，得到， ，， ， 由垂线段最短可知，当、、三点共线，且时，最小，即最小，最小值为， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，菱形的判定，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）和垂线段最短是解题的关键． 26．四边形是菱形，，点是边上一点，连接，． (1)如图1，若菱形边长为4，当时，求线段的长； (2)线段绕点逆时针旋转得到线段，如图2，连接，点是中点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质可推出为等腰直角三角形，，从而得到，最后利用勾股定理即可求得答案 （2）延长至，使得，连接，根据菱形的性质和旋转的性质可知，，，，从而推出，进而得到，最后利用中位线的性质得到，得证； 【详解】（1）解：四边形是菱形，菱形边长为4 ，， ， 为等腰直角三角形 在中，； （2）证明：如下图，延长至，使得，连接 ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 又 点是中点， 为的中位线 ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$