专题2.5 一元二次方程（全章中考常考点分类专题）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.5 一元二次方程（全章中考常考点分类专题） 第一部分【题型目录】 【考点1】一元二次方程的根...........................................................1 【考点2】解一元二次方程——直接开平方法和配方法.....................................1 【考点3】解一元二次方程——公式法和因式分解法.......................................2 【考点4】解一元二次方程——换元法...................................................2 【考点5】根的判别式.................................................................3 【考点6】根与系数的关系.............................................................3 【考点7】根与系数的关系与一元二次方程的根综合.......................................3 【考点8】根的判别式与根与系数关系综合...............................................4 【考点9】一元二次方程的应用——营销问题.............................................4 【考点10】一元二次方程的应用——增长率问题..........................................5 【考点11】一元二次方程的应用——图形问题............................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】一元二次方程的根 1．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·北京·期中）已知a是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A．6 B．5 C．4 D． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知a是方程的一个根，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若实数x满足，则的值为（   ） 【考点2】解一元二次方程——直接开平方法和配方法 1．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ． 4．（2024·四川广元·一模）若，则的值为 ． 【考点3】解一元二次方程——公式法和因式分解法 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 2．（21-22九年级上·河南洛阳·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．2 B．， C．1，2 D．1 3.（2023·四川绵阳·中考真题）若是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为 ． 【考点4】解一元二次方程——换元法 1．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 ． 【考点5】根的判别式 1．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南安阳·期中）关于的一元二次方程根的情况，下面说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 4．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【考点6】根与系数的关系 1．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·重庆·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【考点7】根与系数的关系与一元二次方程的根综合 1．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知、是方程的两根，则代数式的值是 ． 3．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）若一元二次方程的两个根分别为m，n，则代数式的值为 ． 【考点8】根的判别式与根与系数关系综合 1．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 2．（24-25九年级上·广东汕头·期末）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2019 B．2021 C．2022 D．2023 3．（2024·四川广元·一模）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点9】一元二次方程的应用——营销问题 1．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 2．（24-25九年级上·广西贺州·期中）牛肠酸是贺州市有名的小吃，摊点分布在市区的大街小巷，其特别之处就在于它的秘制酱汁，集酸甜咸辣于一身的独特味道．某特产专卖店购进一批袋装牛肠酸，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种牛肠酸可获得利润5000元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元． 【考点10】一元二次方程的应用——增长率问题 1．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 2．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）某地区2022年投入某项经费2500万元，预计2024年投入3600万元，设这两年投入该项经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）为了一座馆，奔赴一座城．某博物馆近两年的接待量逐年递增，该博物馆年接待量万人次，年接待量万人次．该博物馆这两年接待量的年平均增长率是 ． 【考点11】一元二次方程的应用——图形问题 1．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为 ； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 一元二次方程（全章中考常考点分类专题） 第一部分【题型目录】 【考点1】一元二次方程的根...........................................................1 【考点2】解一元二次方程——直接开平方法和配方法.....................................3 【考点3】解一元二次方程——公式法和因式分解法.......................................5 【考点4】解一元二次方程——换元法...................................................7 【考点5】根的判别式.................................................................9 【考点6】根与系数的关系............................................................11 【考点7】根与系数的关系与一元二次方程的根综合......................................13 【考点8】根的判别式与根与系数关系综合..............................................14 【考点9】一元二次方程的应用——营销问题............................................16 【考点10】一元二次方程的应用——增长率问题.........................................18 【考点11】一元二次方程的应用——图形问题...........................................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】一元二次方程的根 1．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·北京·期中）已知a是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意将代入方程中，得到，从而得到，然后代入式子进行计算即可． 解：是方程的一个根， 将代入方程中， 得：， ， ， 故选A． 3．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）已知a是方程的一个根，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，根据方程的解的定义得出，然后变形为，代入要求的式子计算即可，熟练掌握正确的化简技巧进行计算是解决此题的关键． 解：是方程的一个根， ， ， ，即， ， 故选：． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若实数x满足，则的值为（   ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，等式的性质，由可得，，代入代数式，计算求解即可． 解：∵， ∴， 故选：D． 【考点2】解一元二次方程——直接开平方法和配方法 1．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理及二次根式的应用，求得方程的两个根是关键．解一元二次方程，求得方程的两根，由勾股定理求得斜边的长． 解：解方程， 得：，， 即：直角三角形的两直角边分别和， 由勾股定理得斜边长为：． 故答案为：． 4．（2024·四川广元·一模）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则，再利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 解：设，则， 整理可得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【考点3】解一元二次方程——公式法和因式分解法 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 2．（21-22九年级上·河南洛阳·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．2 B．， C．1，2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的概念及解法，结合题意，根据一元二次方程的性质，分别得、，通过求解即可得到答案． 解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴或， ∵是一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3.（2023·四川绵阳·中考真题）若是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，能正确解出关于的一元二次方程及对求出的进行估值是解题的关键． 将方程的根代入方程，解关于的一元二次方程并估值即可． 解：将代入方程得，， 解得， 又 所以． 又因为， 所以， 即． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为 ． 【答案】4或5 【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：，当或时为等腰三角形，然后求出k的值． 解：， ∴= 即， ， 、中有一个数为．          当时， 解得：．          、、能构成等腰三角形， 符合题意；                                当时，、、能构成等腰三角形， 符合题意．               综上所述：的值为或． 【考点4】解一元二次方程——换元法 1．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案. 解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 【点拨】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程. 2．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案. 解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 【点拨】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程. 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的解，灵活运用换元的思想是解决问题的关键． 先把方程变形为，则此方程可看作关于的一元二次方程，所以，然后解一次方程即可． 解：∵方程变形为， ∴此方程可看作关于的一元二次方程， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于的一元二次方程有一个根为， 解得． 故答案为：2023． 【考点5】根的判别式 1．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 2．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 3．（24-25九年级上·河南安阳·期中）关于的一元二次方程根的情况，下面说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握方程根的判别式与根的情况的关系是解答本题的关键． 先求出方程根的判别式的值，然后根据方程根的判别式与根的情况的关系即可解答． 解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一元二次方程，当方程有两个不相等实数根，则，列出不等式，即可求解． 解：一元二次方程有两个不相等的实数根 解得且 故答案为：且 【考点6】根与系数的关系 1．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 解：， ， 而， ， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 解：，是关于的方程的两个根， ，， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25九年级下·重庆·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两个实数根为，，则，是解本题的关键．直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 则， 故答案为：． 【考点7】根与系数的关系与一元二次方程的根综合 1．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知、是方程的两根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得，，，再将所求式子变形，代入计算即可得解． 解：∵、是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）若一元二次方程的两个根分别为m，n，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程两根之和为，两根之积为． 根据一元二次方程的定义得出，由一元二次方程根与系数关系得出，整体代入即可得到答案． 解：∵一元二次方程的两根分别为m，n ∴，，即， ∴． 故答案为：． 【考点8】根的判别式与根与系数关系综合 1．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 【答案】3 【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴ 故答案为：3 【点拨】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 2．（24-25九年级上·广东汕头·期末）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2019 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键． 根据题意可知，，，所求式子化为即可求解． 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ． 故选：D． 3．（2024·四川广元·一模）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键． 首先根据有两个实数根得到，求出，然后由两根同号得到，求出，即可求解． 解：由题意得，， 解得：， ∵两个同号的实数根， ∴， ∴， 故选：B． 【考点9】一元二次方程的应用——营销问题 1．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）该商品日销售额不能达到元，理由见分析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． （1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 2．（24-25九年级上·广西贺州·期中）牛肠酸是贺州市有名的小吃，摊点分布在市区的大街小巷，其特别之处就在于它的秘制酱汁，集酸甜咸辣于一身的独特味道．某特产专卖店购进一批袋装牛肠酸，进价为40元/袋，经市场调查发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．若销售单价降低元，该专卖店每天销售这种牛肠酸可获得利润5000元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若销售单价降低元，则每天可售出袋，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 解：若销售单价降低元，依题意得： ， 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设降价元，根据题意列出方程求出即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 解：设降价元， 由故意得，， 整理得，， 解得，， ∵要让顾客得实惠， ∴， ∴应将销售单价定为元， 故答案为：． 【考点10】一元二次方程的应用——增长率问题 1．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为；（2）购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 解：（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 2．（24-25九年级上·广西防城港·阶段练习）某地区2022年投入某项经费2500万元，预计2024年投入3600万元，设这两年投入该项经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量+增长率，参照本题，如果经费的年平均增长率为x，根据2022年投入2500万元，预计2024年投入3600万元即可得出方程． 解：设投入经费的年平均增长率为x，则2023年投入经费万元， 则2024年投入经费 那么可得方程， 故选：D． 3．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）为了一座馆，奔赴一座城．某博物馆近两年的接待量逐年递增，该博物馆年接待量万人次，年接待量万人次．该博物馆这两年接待量的年平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为，根据该博物馆年接待量万人次，用含的代数式表示出年接待量为，根据年接待量为万人，可列方程进行求解． 解：设该博物馆这两年接待量的年平均增长率是， 根据题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该博物馆这两年接待量的年平均增长率是， 故答案为： ． 【考点11】一元二次方程的应用——图形问题 1．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36；120；；（2）不能；（3）一共能摆放20排． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 解：（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； （2）解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； （3）解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 2．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，有一张矩形纸片，长，宽，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设剪去的小正方形边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：设剪去的小正方形边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为 ； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元二次不等式的应用 （1）设，则，根据围成的菜园面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）根据围成面积比大的菜园，可列出关于a的一元二次不等式，解之可得出a的取值范围，结合墙可利用的最大长度为，即可确定a的取值范围． 解：（1）设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴当围成的菜园面积为时，的长为， 故答案为：6； （2）根据题意得：， 即， 解得：， 又∵墙可利用的最大长度为， ∴， ∴a的范围为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$