专题2.4 一元二次方程的应用（2大知识点4大考点11类题型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.4 一元二次方程的应用（2大知识点10类题型）（知识梳理与考点分类讲解） （1） 列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否解正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（a起始量，b是终止量，x是平均增长率，n增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） ③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位烽=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 【题型目录】 【题型1】传播问题（握手问题、循环问题）.......................................2 【题型2】增长率问题...........................................................2 【题型3】图形问题.............................................................3 【题型4】营销问题.............................................................3 【题型5】动态几何问题.........................................................4 【题型6】行程问题与工程问题...................................................5 【题型7】图形信息问题.........................................................6 【题型8】其他问题.............................................................7 【题型9】直通中考.............................................................8 【题型10】拓展延伸...........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】传播问题（握手问题、循环问题） 【例1】（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【变式1】（24-25九年级上·全国·假期作业）在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为45次，则参加聚会的人数为（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 【变式2】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）2024年5月17日至19日，咸宁市第三届运动会青少年篮球比赛在通山县文体中心举行，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，问有多少支球队参赛？设有支球队参赛，依据题意列方程，化成一般式为 ． 【题型2】增长率问题 【例2】（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）受益于国家支持新能源汽车的发展，某地某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2021年利润为3亿元，2023年利润为亿元． （1）求该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率； （2）若2024年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2024年的利润能否超过6亿元？为什么？ 【变式1】（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，这是某市居民家庭人均住房建筑面积的一项调查情况，请观察图表，从2009年到2011年农村人均住房建筑面积的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）为了一座馆，奔赴一座城．某博物馆近两年的接待量逐年递增，该博物馆年接待量万人次，年接待量万人次．该博物馆这两年接待量的年平均增长率是 ． 【题型3】图形问题 【例3】（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形面积为． （1）平行于墙的边为 米．（用含的代数式表示） （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． 【变式1】（24-25九年级上·福建莆田·期末）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为 ． 【题型4】营销问题 【例4】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个，第三季度生产了288万个．回答下列问题： （1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元．则有（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山西大同·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为 元． 【题型5】动态几何问题 【例5】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． （1）求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ （2）的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【变式1】（22-23九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为（       ） A． B． C．6 D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从点D，A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动．若点P移动的时间为t秒． （1）当点P在移动时，的长为 ．（用含t的式子表示） （2）当以A，P，Q为顶点的三角形的面积为时，t的值为 ． 【题型6】行程问题与工程问题 【例6】（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【题型7】图形信息问题 【例7】（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【变式1】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 （1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？ （2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【变式2】（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【题型8】其他问题 【例8】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是 元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）纸是由国际标准化组织的定义的．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．已知一张纸的面积为，长比宽多．设它的宽为，则可得方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）某生物课外兴趣小组在一次野外考察时，发现一棵植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与主干上支干同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，这棵植物支干的个数是多少？（设支干有x个）根据所设未知数列出方程 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】直通中考 【例1】（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【例2】（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． （1）求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ （2）受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【例2】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题： “在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？” 课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）． （1）请你计算出上述方案中绿地的宽； （2）九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 一元二次方程的应用（2大知识点10类题型）（知识梳理与考点分类讲解） （1） 列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否解正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（a起始量，b是终止量，x是平均增长率，n增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） ③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位烽=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 【题型目录】 【题型1】传播问题（握手问题、循环问题）.......................................2 【题型2】增长率问题...........................................................3 【题型3】图形问题.............................................................5 【题型4】营销问题.............................................................7 【题型5】动态几何问题.........................................................9 【题型6】行程问题与工程问题..................................................12 【题型7】图形信息问题........................................................14 【题型8】其他问题............................................................17 【题型9】直通中考............................................................19 【题型10】拓展延伸...........................................................20 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】传播问题（握手问题、循环问题） 【例1】（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了7人；（2）第三轮感染后，患流感的共有1024人 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 解：（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 【变式1】（24-25九年级上·全国·假期作业）在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为45次，则参加聚会的人数为（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确找出等量关系列方程是解题关键． 设参加聚会的有x人，根据每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次次，找出等量关系，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：设参加聚会的有x人，由题意得： ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即参加聚会的有10人． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）2024年5月17日至19日，咸宁市第三届运动会青少年篮球比赛在通山县文体中心举行，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，问有多少支球队参赛？设有支球队参赛，依据题意列方程，化成一般式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，准确找到关键语句，从而根据等量关系准确列出方程是解答的关键．根据题意，每一个球队和其它球队可打场比赛，又赛制为单循环形式，则可列出方程求解． 解：设共有x个队参赛， 依题意，得， 化为一般式为， 故答案为：． 【题型2】增长率问题 【例2】（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）受益于国家支持新能源汽车的发展，某地某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2021年利润为3亿元，2023年利润为亿元． （1）求该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率； （2）若2024年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2024年的利润能否超过6亿元？为什么？ 【答案】（1）；（2）不能超过6亿元，理由见分析 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，审清题意、根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该企业从2021年到2023年利润平均增长率为x．根据题意得方程求解即可； （2）根据该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率求得2024年的利润，然后比较即可． 解：（1）解：设利润的年平均增长率为x，根据题意，得： ，解得：（不符合题意，舍去），． 答：利润的年平均增长率为20%． （2）解：该企业2024年的利润不能超过6亿元，理由如下： ∵． ∴该企业2024年的利润不能超过6亿元． 【变式1】（24-25九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，这是某市居民家庭人均住房建筑面积的一项调查情况，请观察图表，从2009年到2011年农村人均住房建筑面积的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了条形统计图的知识，一元二次方程的实际应用，设农村居民人均住房面积的增长率为x，列出方程求解即可． 解：设农村居民人均住房面积的增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（负值舍去）， ∴从2009年到2011年农村人均住房建筑面积的年平均增长率为． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）为了一座馆，奔赴一座城．某博物馆近两年的接待量逐年递增，该博物馆年接待量万人次，年接待量万人次．该博物馆这两年接待量的年平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为，根据该博物馆年接待量万人次，用含的代数式表示出年接待量为，根据年接待量为万人，可列方程进行求解． 解：设该博物馆这两年接待量的年平均增长率是， 根据题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该博物馆这两年接待量的年平均增长率是， 故答案为： ． 【题型3】图形问题 【例3】（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，围成的矩形面积为． （1）平行于墙的边为 米．（用含的代数式表示） （2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． 【答案】（1）；（2）能，的值为，理由见分析 【分析】本题主要考查列代数式及一元二次方程的应用，找出数量关系列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据可求出； （2）根据矩形花圃面积能否为得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可． 解：（1）解：设的长是，则米， 故答案为：； （2）解：能，的值为，理由如下： 根据题意：， 整理得：， 此时，， ， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·福建莆田·期末）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的运用，根据题意找出等量关系，列出方程式解题的关键． 根据等量关系是挂图的面积等于，而挂图的长和宽分别等于原风景画的长和宽加上两个金色纸边的宽度，通过设未知数，列出方程，即可解答。 解：设金色纸边的宽为，依题意得：                       ．     故选：B. 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得． 解：关于的方程可转化为，即， 则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为，中间小正方形的边长为， ∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴，， ∴， 解得， 则关于的方程的正数解为， 故答案为：． 【题型4】营销问题 【例4】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产了200万个，第三季度生产了288万个．回答下列问题： （1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】（1）第二，三季度生产量的平均增长率为；（2）应该再增加4条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 解：（1）解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． （2）解：设应该再增加条生产线， 则每条生产线的最大产能为万个／季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元．则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数即可得解，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 解：∵房价定为x元，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用， ∴每间房的利润为元， ∵当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房， ∴可住间房， ∵宾馆当天的利润为10890元， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·山西大同·期末）山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米（如图），每箱的进价为80元，售价为120元，每天可销售20箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售，根据销售经验，单价每降低1元，每天可多销售2箱，则该店铺每天可获得的最大利润为 元． 【答案】1250 【分析】本题考查了利用二次函数解决实际问题能力，根据：每天的总利润=每个玩具利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式，将函数表达式配方成顶点式，可求出最大利润． 解：设每个玩具售价下降了x元，商场每天的销售利润为y元．降价后商场平均每天可售出箱装小米数量为箱； 由题意得， ∴当时，y有最大值1250． ∴该商场每天获得的利润最大利润是1250元． 故答案为：1250． 【题型5】动态几何问题 【例5】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． （1）求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ （2）的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）2秒或4秒；（2）不能，理由见分析 【分析】一元二次方程的实际应用，根据题意，正确表示出线段长度及，利用三角形面积公式列出方程求解，是解答本题的关键． （1）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； （2）设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断． 解：（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于10平方厘米． 【变式1】（22-23九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为（       ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】设点E运动的时间是．根据题意可得，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到结论． 解：∵， ∴， 设点E运动的时间是． 根据题意可得， 解得， ， ∵， ∴两点运动了后停止运动． ∴． 故选∶B． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用． 【变式2】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P，Q分别从点D，A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止移动．若点P移动的时间为t秒． （1）当点P在移动时，的长为 ．（用含t的式子表示） （2）当以A，P，Q为顶点的三角形的面积为时，t的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式． （1）利用的长的长−点的运动速度运动时间求解即可； （2）分Q在和上讨论，根据三角形的面积构建方程求解即可． 解：（1）根据题意，得， ∴， 故答案为：； （2）当Q在上时，此时， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）； 当Q在上时，此时， 根据题意，得， （不符合题意，舍去）， 综上，， 故答案为：． 【题型6】行程问题与工程问题 【例6】（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】（1）甲最多施工900米；（2）的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 解：（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 【题型7】图形信息问题 【例7】（24-25九年级上·广东中山·阶段练习）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 【变式1】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 （1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？ （2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】（1）10%；（2）2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 解：（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【分析】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可； （2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可． 解：（1）因七月份用水量为140吨， 1．6×140＝224＜264， 所以需加收:（元）， 即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40， 又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100； （2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x； 当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100． 即y 用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【点拨】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键． 【题型8】其他问题 【例8】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是 元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】（1）；（2）参加活动的学生人数为18人 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 解：（1）解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． （2）解：设参加活动的学生人数为人， ∵， ∴， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）纸是由国际标准化组织的定义的．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．已知一张纸的面积为，长比宽多．设它的宽为，则可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据长与宽之间的关系，可得出长为，结合一张纸的面积为，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 解：∵长比宽多，设它的宽为， 长为， 根据题意得：． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）某生物课外兴趣小组在一次野外考察时，发现一棵植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与主干上支干同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，这棵植物支干的个数是多少？（设支干有x个）根据所设未知数列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据主干、支干和小分支的总数是31，即可得出关于x的一元二次方程． 解：根据题意，得， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】直通中考 【例1】（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为；（2）购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 解：（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 【例2】（2024·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率；（2）预计该商场七月份投入资金将达到万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 解：（1）解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； （2）解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 【题型10】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． （1）求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ （2）受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【答案】（1）该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元；（2） 【分析】本题主要考查了销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）根据（国外的售价成本）销售的数量国内的6倍，列方程解出即可； （2）根据第二个星期国外的销售总额国内的销售总额元，利用换元法解方程可解答． 解：（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：（台），则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：（台），国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 【例2】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题： “在一块长是、宽是的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？” 课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）． （1）请你计算出上述方案中绿地的宽； （2）九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答） 【答案】（1）4米；（2）或 【分析】（1）设绿地的宽为x米，则花圃的长为米，宽为米，根据题意，解方程即可． （2）分两种情况解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 解：（1）解：设绿地的宽为x米，绿地的长为米，宽为米， 根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 故绿地的宽为4米． （2）解：方案1如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为米，宽为米，根据题意． 方案2如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为米，宽为米，根据题意． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$