备战2025年中考——数与式（综合压轴题分类专题）（1）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

备战2025中考——数与式（综合压轴题分类专题）（1） 考点目录 篇一：综合部分 【考点1】科学记数法、近似数、有效数字.......................................1 【考点2】数轴上的点.........................................................2 【考点3】有理数的运算.......................................................2 【考点4】无理数及其估算.....................................................3 【考点5】整体思想求值.......................................................3 【考点6】整式中的数字规律与图形规律.........................................3 【考点7】整式的运算.........................................................4 【考点8】利用乘法公式求值...................................................5 【考点9】因式分解...........................................................5 【考点10】分式及其运算......................................................6 【考点11】二次根式性质......................................................6 【考点12】二次根式运算......................................................6 篇二：压轴部分 【考点13】求代数式的值......................................................7 【考点14】数与式中的规律问题................................................7 【考点15】数轴上的数学思想..................................................8 篇一：综合部分 【考点1】科学记数法、近似数、有效数字 1．（2021·浙江宁波·一模）台湾岛是我国最大的岛屿，总面积为35882.6258平方公里，用科学记数法应表示为（保留三个有效数字）（    ） A．方公里 B．平方公里 C．平方公里 D．平方公里 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．近似数精确到十分位 B．将数80360保留2个有效数字是 C．用四舍五入法得到的近似数精确到 D．用科学记数法表示的近似数，其原数是60600 3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为 ． 【考点2】数轴上的点 1．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 3．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为 ． 【考点3】有理数的运算 1．（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ． 【考点4】无理数及其估算 1．（2021·四川攀枝花·中考真题）以下各数是有理数的是（　　） A． B． C． D．π 2．（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 3．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 【考点5】整体思想求值 1．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 2．（2023·四川成都·中考真题）若，则代数式，的值为 ． 3．（2023·江苏南通·中考真题）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 【考点6】整式中的数字规律与图形规律 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 3．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料 根. 【考点7】整式的运算 1．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点8】利用乘法公式求值 1．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 2．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 3．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【考点9】因式分解 1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 2．（2024·湖南·模拟预测）因式分解： ． 3．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． （1）求证：为非负数； （2）若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【考点10】分式及其运算 1．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2024·宁夏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【考点11】二次根式性质 1．（2024·江苏无锡·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A．x ≠ 3 B．x＞3 C．x＜3 D． 2．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【考点12】二次根式运算 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 3．（2024·四川凉山·中考真题）计算：． 篇二：压轴部分 【考点13】求代数式的值 1．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 2．（23-24九年级上·四川内江·期中）当时，多项式的值为 3．（2023·四川南充·二模）已知，则的值为 ． 【考点14】数与式中的规律问题 1．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 2．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 3．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则 ． 4．（2021·湖南怀化·中考真题）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 【考点15】数与式中的新定义 1．（2020·山东潍坊·中考真题）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2015·贵州铜仁·中考真题）定义一种新运算：x*y=，如2*1==2，则（4*2）*（﹣1）= ． 3．（2021·湖北荆州·中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025中考——数与式（综合压轴题分类专题）（1） 考点目录 篇一：综合部分 【考点1】科学记数法、近似数、有效数字.......................................1 【考点2】数轴上的点.........................................................2 【考点3】有理数的运算.......................................................4 【考点4】无理数及其估算.....................................................6 【考点5】整体思想求值.......................................................8 【考点6】整式中的数字规律与图形规律.........................................9 【考点7】整式的运算........................................................12 【考点8】利用乘法公式求值..................................................13 【考点9】因式分解..........................................................15 【考点10】分式及其运算.....................................................17 【考点11】二次根式性质.....................................................18 【考点12】二次根式运算.....................................................19 篇二：压轴部分 【考点13】求代数式的值.....................................................21 【考点14】数与式中的规律问题...............................................23 【考点15】数轴上的数学思想.................................................27 篇一：综合部分 【考点1】科学记数法、近似数、有效数字 1．（2021·浙江宁波·一模）台湾岛是我国最大的岛屿，总面积为35882.6258平方公里，用科学记数法应表示为（保留三个有效数字）（    ） A．方公里 B．平方公里 C．平方公里 D．平方公里 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．数据从左边第一个非零数字起的数字都为有效数字，先用科学记数法表示该数，再保留三个有效数字即可． 解：35882.6258=， 故选：B． 【点拨】此题考查科学记数法和有效数字定义，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解． 2．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．近似数精确到十分位 B．将数80360保留2个有效数字是 C．用四舍五入法得到的近似数精确到 D．用科学记数法表示的近似数，其原数是60600 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是近似数与有效数字，关键是要明确其近似数和有效数字的意义．根据近似数和有效数字的意义对每个选项逐一分析判断，得出正确选项． 解：A、近似数精确到十分位，，所以说精确到十分位不正确； B、将数80360保留2个有效数字是：，所以正确； C、用四舍五入法得到的近似数精确到，所以说精确到不正确； D、用科学记数法表示的近似数，应是约等于60600，因为是近似数，所以不正确； 故选：B． 3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 解：， 故答案为：． 【点拨】此题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是正确理解科学记数法的一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【考点2】数轴上的点 1．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 2．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 3．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为 ． 【答案】 【分析】先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 解：由题意得：点表示的数为 点表示的数为 点表示的数为 点表示的数为 归纳类推得：点表示的数为（n为正整数） 则点表示的数为 故答案为：． 【点拨】本题考查了数轴的定义、线段中点的定义，根据点表示的数，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【考点3】有理数的运算 1．（2023·辽宁营口·中考真题）有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解答本题的关键． 运用有理数加法、乘方、除法逐个判断即可． 解：①，即①错误；②，即②错误；③，即③正确；④，即④正确． 综上，正确的有2个． 故选C． 2．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案． 解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…， ∴尾数每4个一循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴22022的个位数字应该是：4． 故选：C． 【点拨】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键． 3．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ． 【答案】 6200 9313 【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解． 解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200； 根据题意，，，，，则， ∴， ∴， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被10整除， ∴， ∴满足条件的M的最大值为9313， 故答案为：6200，9313． 【点拨】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 【考点4】无理数及其估算 1．（2021·四川攀枝花·中考真题）以下各数是有理数的是（　　） A． B． C． D．π 【答案】C 【分析】根据有理数和无理数的分类判断即可； 解：A．根据无理数的定义，是无理数，那么A不符合题意． B．根据无理数的定义，是无理数，那么B不符合题意． C．根据有理数的定义，是有理数，那么C符合题意． D．根据无理数的定义，π是无理数，那么D不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了实数的分类，准确分析判断是解题的关键． 2．（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】A 【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得． 解：， ， ，即， ， 故选：A． 【点拨】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 3．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由即可得到答案； （2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案． 解：（1）∵，而， ∴； 故答案为：； （2）∵a，b，n均为正整数． ∴，，为连续的三个自然数，而， ∴，， 观察，，，，，，，，，，， 而，，，，， ∴与之间的整数有个， 与之间的整数有个， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）， 故答案为：． 【考点5】整体思想求值 1．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 2．（2023·四川成都·中考真题）若，则代数式，的值为 ． 【答案】 【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得，再将变形，即可得到答案． 解：， ， ， ， ， ， ， 故原式的值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键． 3．（2023·江苏南通·中考真题）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【分析】根据得到，再将整体代入中求值． 解：， 得， 变形为， 原式． 故选：D． 【点拨】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键． 【考点6】整式中的数字规律与图形规律 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 解：， ， ， ， …， ； ∴ ， 故选∶C． 【点拨】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 3．（2022·青海·中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第个图中共有木料 根. 【答案】 【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有根木料，第三个图形有根木料，第四个图形有根木料，以此类推，得到第个图形有根木料． 解：∵第一个图形有根木料， 第二个图形有根木料， 第三个图形有根木料， 第四个图形有木料， ∴第个图形有根木料， 故答案为：． 【点拨】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键． 【考点7】整式的运算 1．（2024·山西·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（2023·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可． 解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意； B．，原式计算正确，故B符合题意； C．，原式计算错误，故C不符合题意； D．，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 3．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断即可． 解：A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【考点8】利用乘法公式求值 1．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 2．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了正方形、矩形的性质，完全平方公式等知识，设正方形、的边长分别为a、b，先求出，然后根据求解即可． 解：设正方形、的边长分别为a、b， 根据题意，得， ∴， ∴ ， 故答案为：40． 3．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解： ， 当，时， 原式． 【考点9】因式分解 1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，平方差公式的运用，涉及新定义，根据一个数等于两个连续奇数的平方差，用字母表示“幸福数”，可知“幸福数”是8的倍数，即可得到答案． 解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”， ∴设“幸福数”为（n为整数）， ， ∴“幸福数”是8的倍数， 观察各选项，是8的倍数的只有512， 故选：C． 2．（2024·湖南·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法和提公因式法进行因式分解，观察式子，先整理，再运用平方差公式进行因式分解，作答即可． 解： ． 故答案为： 3．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． （1）求证：为非负数； （2）若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）不可能都为整数，理由见分析． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 解：（1）解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． （2）不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 【考点10】分式及其运算 1．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 3．（2024·宁夏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将先括号内通分，去括号，除式分子分解因式，再约分化简，继而将a的值代入计算可得． 解：， 当时， 原式． 【考点11】二次根式性质 1．（2024·江苏无锡·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A．x ≠ 3 B．x＞3 C．x＜3 D． 【答案】D 【分析】利用二次根式有意义的条件求解即可. 解：根据二次根式有意义的条件，得： ， 解得，， 故选：D. 【点拨】本题考查了求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键. 2．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 【考点12】二次根式运算 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 2．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 【答案】（或或，写出一种结果即可） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 3．（2024·四川凉山·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可． 解： ． 篇二：压轴部分 【考点13】求代数式的值 1．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】4 【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值． 解：由得：xy+y=x，即x-y=xy ∴ 故答案为：4 【点拨】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入． 2．（23-24九年级上·四川内江·期中）当时，多项式的值为 【答案】 【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到，进而得到，将多项式转化为，再代值计算即可，本题的难度较大，关键是将已知式子进行变形，转化． 解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：. 3．（2023·四川南充·二模）已知，则的值为 ． 【答案】13 【分析】根据已知条件易得，，，从而可得，然后利用完全平方公式可得，最后将所求的式子进行变形计算，即可得出答案． 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：13． 【点拨】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握完全平方公式，利用整体思想进行求值是解题的关键． 【考点14】数与式中的规律问题 1．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出的值，以及对应的k值，可得规律，此时，据此可判断A、C、D；再证明是偶数即可判断B． 解：由题意得，此时， ，此时， 第3次构造后得到的一列数为， ∴，此时，故A正确，不符合题意； 同理可得，此时， ……， 以此类推可知，，此时，故D错误，符合题意 ∴，，故C正确，不符合题意； ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 以此类推，也是偶数， ∴为偶数，故B正确，不符合题意； 故选：D． 2．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 3．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则 ． 【答案】 【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 解：； ； ； ， ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 【点拨】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键． 4．（2021·湖南怀化·中考真题）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是 ． 【答案】 【分析】根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和． 解：由题意规律可得：． ∵ ∴， ∵， ∴． ． ． …… ∴． 故． 令 ②-①，得 ∴= 故答案为：． 【点拨】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键． 【考点15】数与式中的新定义 1．（2020·山东潍坊·中考真题）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可． 解：当时，， ∴当时，， 即：， 当时，， 即：，∴， ∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大， 综上所述，A选项符合题意， 故选：A． 【点拨】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键 2．（2015·贵州铜仁·中考真题）定义一种新运算：x*y=，如2*1==2，则（4*2）*（﹣1）= ． 【答案】0. 解：先根据新定义计算出4*2=2，然后再根据新定义计算2*（﹣1）=0即可得答案． 考点：有理数的混合运算． 3．（2021·湖北荆州·中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 【点拨】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$