精品解析：福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高二下学期期初考试数学试题

2024－2025学年第二学期柘荣一中期初考试 高二数学卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则下面结论正确的是（ ） A. 平均数为4 B. 方差为 C. 众数为5 D. 分位数为2 4. 若实数，，满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同走法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 7种 D. 12种 7. 若复数（为虚数单位），则在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 关于的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项15 D. 有理项共有4项 10. 下列数列中，一定是单调递增数列的是（ ） A. B. C. D. 11. 直线与圆相切，则实数等于（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共40分） 12. 已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是______． 13. 为了丰富高二学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该实验中基本事件共有________个． 14. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，若甲、乙两人射击的命中率分别为和 ，假设两人射击互不影响.则两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为________. 四、解答题 15. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 16. 记等差数列的前n项和为，． （1）求数列通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 17. 电力公司从某小区抽取100户居民用户进行12月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值及这100户的用电量的平均数； （2）力公司拟对用电量超过的家庭的电器进行检测，若恰好为第71百分位数，求. 18. 已知幂函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若函数，，是否存在实数n，使得的最小值为，若存在，求出实数n的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上的一动点，直线与的斜率之积为，面积的最大值为8. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于，两点，记直线，的斜率分别为，，若. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第二学期柘荣一中期初考试 高二数学卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，集合，则. 故选：D. 2. 已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数的单调性求解不等式即可. 【详解】由题意可知的定义域为，且，所以为偶函数． 当时，，则函数在上单调递减，且． 所以不等式成立，需， 解得或，又， 所以，即正实数的取值范围是． 故选：A． 3. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则下面结论正确的是（ ） A. 平均数为4 B. 方差为 C. 众数为5 D. 分位数为2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、方差、众数及百分位数的定义求解判断各选项． 【详解】平均数为，A错； 方差为，B正确； 众数有两个：2和3，C错误； 将数据从小到大排列为，由知第8百分位为为，D错， 故选：B． 4. 若实数，，满足，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案. 【详解】依题意，，，所以，A选项错误； ，则，B选项错误. 根据不等式的性质可知，C选项错误. ，其中， 所以，D选项正确 故选：D 5. 设向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A，由向量坐标求出模判断；对B，由数量积坐标运算求解；对C，由两向量垂直坐标运算求解判断；对D，由两向量平行的坐标关系判断． 【详解】对于A，，， ，，故不正确，即A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，由，所以，故C正确； 对于D，，，，不成立，故D错误． 故选：C． 6. 从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 7种 D. 12种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，可直接得出结果. 【详解】由分步乘法计数原理，可知从甲地到丙地不同的走法有种． 故选：D 7. 若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为， 故复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 8. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得的图象关于点中心对称且关于直线轴对称，进而得的周期为4，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点中心对称，则. 因为为偶函数，所以， 所以的图象关于直线轴对称. 由，得， 所以，则， 则的周期为4， ，则. 故选：D 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论 （1）关于轴对称， （2）关于中心对称， （3）的一个周期为， （4）的一个周期为. 可以类比三角函数的性质记忆以上结论. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 关于的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项为15 D. 有理项共有4项 【答案】CD 【解析】 【分析】赋值法求二项式中各项系数之和判断A；由二项式系数定义求对应项的二项式系数判断B；应用二项式展开式通项求常数项、有理项判断C、D. 【详解】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为0，错误； 对于B，第二项二项式系数，第四项的二项式系数，第二项与第四项的二项式系数不相等，错误； 对于C，展开式的通项为， 令，得，展开式中的常数项为，正确； 对于D，当时，，所以展开式的有理项共有4项，正确． 故选：CD 10. 下列数列中，一定是单调递增数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断AD，利用与0的关系验证BC. 【详解】因为 对于A：，则数列一定不单调递增，不合题意； 对于B：， 所以数列为单调递增数列； 选项C：，所以数列是单调递增数列； 选项D：当时，，此时数列不是单调递增数列，不合题意. 故选：BC 11. 直线与圆相切，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，圆心到直线的距离等于半径建立方程，解之即得. 【详解】由，可得，知其圆心为，半径为， 依题意，圆心到直线的距离为， 解得或. 故选：AC. 三、填空题（每小题5分，共40分） 12. 已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】记双曲线的右焦点为，由双曲线的定义得，则结合三点共线求解即可． 【详解】如图所示： 记双曲线的右焦点为，则，得， 圆的圆心，半径为1， 则，等号成立时，四点共线． 故的最小值是：10． 故答案为：10 13. 为了丰富高二学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，则该实验中基本事件共有________个． 【答案】 【解析】 分析】应用组合数求实验中基本事件个数. 【详解】由题意，从4个不同小组任选2个报选，有个基本事件. 故答案为：6 14. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，若甲、乙两人射击的命中率分别为和 ，假设两人射击互不影响.则两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两人射击一次不能命中目标的概率，可得各射击一次两人都没有命中目标的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为甲、乙两人射击的命中率分别为和 ， 所以甲、乙两人射击一次不能命中目标的概率分别为和 ， 则两人各射击一次，都没有命中目标的概率， 所以两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为 故答案为：. 四、解答题 15. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】(1)结合诱导公式化简式子即可. (2)结合同角三角函数的基本关系，分子分母同时除以即可. 【详解】(1) 又，所以， 故原式. (2), 因为，所以原式. 16. 记等差数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解； (2)根据等比数列求和公式即可求解． 【小问1详解】 由题可知，解得，， ∴； 【小问2详解】 ∵，∴， ∴是首项为3，公比为9的等比数列， ∴﹒ 17. 电力公司从某小区抽取100户居民用户进行12月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值及这100户的用电量的平均数； （2）力公司拟对用电量超过的家庭的电器进行检测，若恰好为第71百分位数，求. 【答案】（1）,平均数为322 （2）400 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中长方形的面积之和为1得到，然后根据平均数的计算公式即可求解， （2）根据百分位数的概念计算即可. 【小问1详解】 ，解得， 平均数为 【小问2详解】 在这组数据中对应的频率为， 对应的频率为， 所以这组数据第71百分位数在中， 设第71百分位数为，则，解得. 18. 已知幂函数满足. （1）求函数的解析式； （2）若函数，，是否存在实数n，使得的最小值为，若存在，求出实数n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义求出m的值，再由确定函数解析式. （2）假设存在，求出的解析式，利用换元法将问题转化为二次函数在闭区间上的最值求解. 【小问1详解】 由函数是幂函数，得，解得或， 当时，函数上单调递减，不满足，不符合题意； 当时，在区间上单调递增，满足，符合题意， 所以. 【小问2详解】 假设存在实数n使得的最小值为， 由（1）得，由，得， 令，则化为， 于是的最小值为， 当，即时，在上单调递增，， 解得，矛盾； 当，即时，，则； 当，即时，在上单调递减，， 解得，矛盾， 所以存在，使得的最小值为， 19. 已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上的一动点，直线与的斜率之积为，面积的最大值为8. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于，两点，记直线，的斜率分别为，，若. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，根据直线与的斜率之积为列方程，由椭圆的几何性质可知当点在椭圆的上、下顶点处时，的面积最大，由此可解得的值，进而得椭圆的标准方程； （2）（i）设出直线的方程，由得，将，代入可得，即可证得直线过定点； （ii）设的方程为，与椭圆方程联立可得，利用根与系数的关系可得，，进而根据三角形的面积公式可得，利用换元法，结合对勾函数的单调性可求最值, 【小问1详解】 设，，， 则，，， 又，.，. 面积的最大值为，，， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i） 设直线的方程为，直线的方程为， 则M，N同时满足方程和， 即，又，. 代入得，即，过定点. （ii）设，，由题意知直线的斜率不为， 所以设的方程为，联立，消去后整理得： ，，， . ，令，. 因此，，， 由对勾函数的单调性可知，在区间上单调递增， 所以. 此时，，所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$