四、比例-【黄冈小状元· 培优周课堂】2025-2026学年六年级下册数学(人教版)（1-4单元）

比例 扫码看重 ▣ 文四、比例 识核理 1.比例的基本性质 比例中两个外项的积等于两个内项的积。 提优讲解 用 用12,8,16和x组成比例，x的值是多少？ 【思路导引】用这四个数组成比例，x与这三个数中的任意一个数都可以同时为内项和外项， 即x和12、x和8，x和16都可以分别为内项或外项，则剩下的两个数就为外项或内项，再根据比例的 基本性质列出方程求解即可。 【解答】当x和12同时为内项（或外项）时 当x和8同时为内项（或外项）时 12.x=8×16 8.x=12×16 号 x=24 当x和16同时为内项（或外项）时 16.x=12×8 x=6 答1x的值可能是号，24或6， 2 个分数，分子与分母之和是90，如果分子加上23，分母加上37，新的分数约分后是号，原来 的分数是多少？ 【思路导引】新的分数约分后是号，即分子和分母的比是2：3。如果设原分数的分子是x,则分 母是(90一x),即新的分数的分子和分母的比为(x十23)(90一x+37),这个比的比值与2：3的比 值相等，这样就组成一个比例，然后解比例分别求出分子和分母。 【解答】解：设原分数的分子为x,则分母为(90一x)。 07号 3(x+23)=2(90-x十37) 25 工培优周课堂公年级数学行 3.x十69=254-2.x 5x=185 x=37 90-x=90-37=53 答：原来的分数是影。 分子和分母同时发生变化时，可先根据已知条件列出正确的比例式，再解比例，求出结果。 争星显优 ☆☆☆ 1将0,1，号和0.2再配上一个数，组成比例。你有几种方法？配上的一个数分别是多少？组成的比 例分别是怎样的？（写出两个比例） ☆☆☆☆ 2.一个分数，分子与分母之和是138，分子、分母同时减去12，新的分数约分后是求原来的分数。 ★☆☆☆☆ 3.在比例“30：20=48：32”中，两个内项不变，从外项30里减去18，要使比例成立，另一个外项32应 加上多少？【提示：设要加的数为x,根据题意组成新的比例，用解比例的方法求出x】 四 比例 ▣回 看 2.用正、反比例解决问题(1) 点 用正、反比例知识解决问题，关键要弄清题中的比例关系。一般可以先找到一个定量，根据定 量判断另外两种相关联的量的比例关系。 提优讲解 必 师徒两人共同加工180个零件，师傅加工一个零件用2分钟，徒弟加工一个零件用7分钟，完 成任务时，两个人各加工零件多少个？ 【思路导引】同样加工一个零件，师徒两人的工作时间比是2：7，则师徒两人的工作效率比是 7：2:在时间相等的情况下，师徒两人的工作总量与工作效率成正比例关系，工作总量比也是7：2。 现在把180个零件按比例分配，师徒两人加工零件的个数分别为180÷(2+7)×7=140（个）和180÷ (2+7)×2=40(个) 徒弟加工零件的个数也 【解答】180÷(2+7)×7=140（个） 可以用180-140=40（个） 180÷(2+7)×2=40(个) 求出。 答：师傅加工零件140个，徒弟加工零件40个。 浮 某人往返甲、乙两地，去时每小时步行5千米，返回时乘车每小时行40千米，往返两地共用 2.7小时，甲、乙两地相距多少千米？ 【思路导引】方法一由题意可知，去时和返回时的路程相等，则速度和时间成反比例关系，那 么去时的速度×去时的时间=返回的速度×返回的时间。可设去时用x小时，那么返回用(2.7一x) 小时，列出比例式解答。 方法二步行速度与乘车速度的比是5：40=1：8，在路程相等的情况下，时间与速度成反比例 关系，所以步行时间与乘车时间的比是8：1，把2.7小时按比例分配，可以求出步行的时间： 2.7÷(1+8)×8=2.4(小时)，再求出甲、乙两地的路程2.4×5=12（千米）。 【解答】方法一解：设去时用x小时，返回用(2.7一x)小时。 5.x=40×(2.7-x) 5.x=108-40.x x=2.4 甲、乙两地的距离：2.4×5=12（千米） 也可以先求出乘车时间 方法二5：40=1：8 27+(1+8)×1=03(小时). 2.7÷(1+8)×8=2.4(小时)2.4×5=12（千米） 再求路程40×0.3=12（千米）。 答：甲、乙两地相距12千米。 2 培优周课堂公年级数学行 争星显优 ☆☆★ 1.钢笔和铅笔共60支，钢笔每支9元，铅笔每支1元，并且钢笔和铅笔的总价一样多，钢笔、铅笔各多 少支？ 2.一架飞机所带油料最多可用8小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1800千米，飞回时逆风，每小 时可飞行1500千米，这架飞机最多飞出几小时就需要往回飞？ ★☆☆★ 3.一辆汽车以每小时60千米的速度从甲地开往乙地，返回时速度提高了25%，往返共用3.6小时， 求甲、乙两地的距离。 4.甲、乙两车同时从两地相对开出，在离中点10千米处相遇。已知甲、乙两车的速度比是5：6，求两 地的距离。 四比例) 5.同样一段路程，甲需25分钟跑完，乙需20分钟跑完，已知乙每分钟比甲每分钟快100米，求这段路 程的长。 6.壮壮要买一些贺卡，由于贺卡减价30%，用同样多的钱可以多买6张。壮壮原来要买多少张贺卡？ ☆☆★☆☆ 7.甲，乙二人同时从A地走向B地，当甲行了全程的号时，乙行了全程的：当甲离B地还有全程的7 时，乙离B地还有560米。A、B两地相距多少米？ 8.甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，甲、乙的速度比是5：4,3小时后相遇，甲行完余下路程还需 多长时间？【提示：相遇时甲、乙的路程比与速度比相等，求出甲行了全程的几分之几】 黄小 工培优周课堂公年级数学扩 扫 码 看重 3.用正、反比例解决问题(2) 点 解决比例问题，可以转化成多种方法，拓宽解题思路。 提优讲解 在10000米长跑比赛时，当甲到达终点时，乙离终点还有1000米，丙离终点还有3250米。照 这样计算，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？ 【思路导引】当甲到达终点时，乙、丙所跑的 参加赛跑的三人速度一定，在相同的时风 路程比是8000-号，当乙到达终点时，乙、 间内，三人所跑的路程比也是一定的 丙所跑的路程比仍是专。 可列出比例式进行解答 【解答】解：设当乙到达终点时，丙离终点还有x米。 10000-1000 10000 10000-325010000-x 10000 310000-x x=2500 答：丙离终点还有2500米。 2 王叔叔做一批零件，原计划15天完成，实际每天比原计划每天多做6个，结果提前3天完成 任务，王叔叔原计划要做多少个零件？ 【思路导引】方法一根据工作总量一定，工作时间和工作效率成反比例，原计划每天生产个 数×生产天数一实际每天生产个数×实际生产天数，列比例求解。 方法二用假设法解。假设实际也做15天，这样就会比原计划总共多做15×6=90（个），这90 个零件也可以看作实际3天的工作总量，实际1天做的个数为90÷3=30（个），这批零件的总量为 30×(15-3)=360(个)。 方法三运用正、反比例的互换来解。本题中，工作时间与工作效率成反比例关系，原计划的工 作时间与实际的工作时间的比是15：(15一3)=5：4，那么原计划的工作效率与实际的工作效率比 是4：5，计划每天做6÷5一4=24（个），计划做零件的总数为15×24=360（个）。 30 比例 【解答】方法一 方法二 方法三 解：设原计划每天做x个零件。 假设实际也做15天。 15-3=12(天) 15.x=(15-3)×(x+6) 15×6=90(个) 15:12=5:4 15.x=12.x+72 90÷3=30(个) x=24 15-3=12(天) 6÷5=24(个) 24×15=360(个) 30×12=360(个) 15×24=360(个) 答：原计划要做360个零件。 争星显优 ☆☆☆ 1.一批零件，甲单独做比乙单独做用的时间多号，两个人合作完成任务时，乙比甲多做60个零件，这 批零件一共有多少个？ 2.龙一鸣从家到学校，如果每分钟走60米，可以提前5分钟到校：如果每分钟走40米，就要迟到1分 钟。求龙一鸣家到学校的路程。 3.甲，乙、丙三人跑步，当甲跑100米时，乙跑80米，丙在乙后20米。照这样计算，当乙跑100米时， 丙跑多少米？ 3 黄肉小状多 工培优周课堂公年级数学行 ★★★☆ 4.食堂有一批面粉，原计划每天用25千克，若干天用完，实际每天比原计划每天少用20%，结果比原 计划多用6天，这批面粉一共有多少千克？ 5.客车和货车同时从A、B两地出发相向而行，客车每小时行80千米，货车速度是客车速度的80%， 相遇后，客车继续行驶2小时到达B地，A、B两地相距多少千米？ ★食☆☆★ 6某车从甲地到乙地，如果每小时比计划少行5千米，则所用的时间比计划时间多名：如果速度提高 40%,则会提前1小时到达，求甲、乙两地的路程。 雅某人从甲地开车到乙地，行驶120千米后，速度提高25%，可提前40分钟到达：如果 题 一开始速度就提高25%，可提前1小时到达，求甲、乙两地的路程。【提示：1小时 解40分钟=20分钟，说明提速后行120千米比提速前行120千米少用20分钟】参考答案 3.瓶子的容积相当于底面积×(18+2)，用字母表示为 (a·a=号×3.14××=号×3.14×× V客=(18+2)S,=20SgV水=18Sg 水的体积古瓶子容积的8即号。 216=56.52(dm3)。 6.用，表示圆柱的底面半径，圆柱的高用h表示，那么 水的体积为500×号=450(m 圆锥的底面半径为2，圆锥的高为五。 4.3.14×[(8÷2)-(6÷2)]X(25+20)÷2=494.55(dm) V= x(2(2) 5以短边所在直线为轴：314××2X =75.36(cm) V性 元产万 以长边所在直线为轴：3.14×2×6×号=25.12(cm) 圆锥的体积是圆柱的等 3 它们的体积不相等。 7.设容器底部半径r,容器高为，因为水面高度占容器 75.36÷25.12=3大圆锥的体积是小圆锥的3倍。 高度的号，那么，水面半径也占容器底面半径的号 6,314×3×(8÷2)×号×2=7536(cm) [宫X(号rrX(号]÷(gr0- 7.30×20×5÷[3.14×(20÷2)]≈9.6(cm) 8.解：设圆柱的底面半径为rcm。 即（号一·号号水面高度是容器高度的子。 3.14×2×2r=6.28 8.设圆柱的底面半径为rcm,高为hcm。 r=1 则圆柱的侧面积=2πrh=200 (1×2)3=8(cm3) xrh=100 圆柱的体积=xrh=400 阶段综合提优（二） 那么产h-400 πrh100 1.圆柱的底面周长为：75.36÷6=12.56(cm) 圆柱的底面半径为：12.56÷3.14÷2-2(cm) r=4 圆柱的体积为：3.14×22×10=125.6(cm2) St=πr2=50.24(cm2) 230÷(×号×)=810(m 四比例 810-30=780(mL) L,比例的基本性质 3.用a来表示正方体的棱长，圆柱的底面积用含a的式 1.a1xg÷02=号 子表示为：3.14×(2a。 0.1x0,2÷8-动 可以得出：3.14×(2a)°=28.26，求出。为36。 正方体的表面积：36×6=216(cm2). 02x号÷0.1-9 4.圆柱的底面周长为：100.48÷4=25.12(cm) 配上的-个数分别是号，动·9 底面直径为：25.12÷3.14=8(cm) 圆柱的体积为：3.14×(8÷2)2×8=40L.92(cm3) 组成的比例分别是0.1：青-0.2：昌 5.用a表示正方体的棱长，圆锥的底面直径和高都是 01:8-动a.202:0.1=9:号 a,圆锥的体积用含a的式子表示为号×3.14× (组成的比例不唯一) 工培优周课堂公年级数学行 2.解：设原来的分数的分子为x,则分母为(138一x)。 则乙行了全程的号×器-爱 x12 7 138-x-12-2x=54 138-54=84,原来的分数是 乙离B地还有全程的1一爱名 3.解：设要加的数为x。 A.B两地的距离：560÷无-200G米) (30-18):20=48:(32+x) 8.甲、乙的速度比是5：4，相遇时，甲、乙所行路程比是 12:20=48：(32+x) 5:4,也就是说，甲已行路程和余下路程比是5：4， 12×(32+x)=20×48 在速度不变的情况下，路程与时间成正比例，即甲已 x=48 行路程所需时间与余下路程所需时间的比是5：4。 2.用正、反比例解决问题(1) 甲行完余下路程还需3×专一导（小时） 1 1.钢笔：60×1十9=6（支） 3.用正、反比例解决问题(2) 新笔：60×7 =54(支)】 1.甲单独做比乙单独做的时间多，甲、乙的工作时间比是 2.1800￥1500=6：5 (5十2)：5，甲、乙的工作效率比是5：7。 8X-小时) 2 零件总数：60÷5+2+5=360（个） 3.往返速度比是1：(1+25%)=4：5，往返的时间比 2.60：40=3:2,按每分钟走40米的速度与按每分钟 是5：4。 走60米的速度走完总路程所需时间比为3：2。 3.6×写千4=2（小时）60X2=120(千米) 每分钟走40米需(5+1)÷3,2=18（分钟） 3 4.甲、乙的速度比是5：6，相遇时，所行路程比也是 40×18=720(米) 5:6,相遇时，甲行了全程的写。 3.丙跑的路程为：100×8020=75（米） 80 1 两地距离：10÷(25十6)=220（千米） 4.1:(1一20%)=5：4，计划与实际所用时间比为 5.解法一：甲、乙的速度比是时问比的反比，即20：25 4:5m =4:5. 计划可用的天数：6÷5=24（天） 甲每分钟的速度为：100÷(5-4)×4=400（米） 这批面粉共25×24=600（千克） 路程总长为：400×25=10000（米） 解法二：10÷（分岩）=100米) 5.1:80%=5:4相遇时，货车行了全程的写十4 4 4 6.解：设壮壮原来要买x张贺卡。 客车行完全程的时间：2÷一号（小时） 1×x=1×(1-30%)×(x十6) 甲，乙两地相距80×号=360（千米） x=0.7×(x+6) 2 .x=14 6（1十日)1=9：8，计找的速度为5÷9.8-45（千米/时 9 元.甲，乙二人行的路程比：号：号-25：21 5 1+40%):1=7:5,计我时间为1÷75=35小N时) 当甲离B地还有全程的时，甲行了全程的1一}-号 甲，乙两地路程：45×3.5-157.5（千米） 参考答案 7.解法一：行120千米提速前后的时间差为 那么三角形CDE与三角形BCD的面积比为 60一40=20（分钟） 881 速度比是1：(1十25%)=4：5，时间比是5：4。 在高相等的情况下，三角形的面积与底成正比例关 原速：120÷(20÷5号)=号（千米/分钟） 系，三角形CDE的底边CE与三角形BCD的底边 原速行完全程所需时间：60÷5二4-300（分钟） BC的比是8：11. 8 甲，乙两地路程：号×300=360（千米） CE的长度：22×音-16(cm BE的长度：22-16=6(cm) 解法二：在速度都提高25%的情况下，提前40分钟所行 5.甲，乙、丙三人的工作效率比： 的路程与提前1小时所行的路程比是4060一2：3， 120千米占总路程的3号-号：全程为120÷3号 3 青：g-28:24:21 28 360(千米). 甲做：7300×28+24+2-2800（个） 阶段综合提优（三） 24 乙做：7300×28+24+21=2400（个） 1.在同一个平行四边形中，高与它对应的底成反比例 21 丙做：7300×28+24+27=2100（个） 关系，AE与AF的长度比是5：6，那么BC与CD的 6.连接AC。△ABC的高与△ACD的高相等，AB:CD 长度比是6：5。 =4:7,则S△r:S△xD=4:7。又因为E是AD边 BC的长：16.5X=9(cm 上的中点，所以△ACE与△CDE的面积相等，设 平行四边形的面积：5×9=45(cm) △ABC的面积为4份，则△ACD的面积为7份，那 2:日：g-1511210 么△ACE与△CDE的面积分别为7÷2=3.5（份）， 三角形CDE与四边形ABCE的面积比为： 15 甲容器倒入伙料：1480×15+12+10=600(ml) (7÷2):(4+7÷2)=7：15 12 乙容器倒人饮料：1480×15+12+10=480(m,) 7.△ACE与△AED的面积相等，AC=AD=4cm, △BDE与△AED的高相等，BD=AB-AD=5-4 10 丙容器倒人饮料：1480×5+12+10一400(ml） =1(cm)。设△BED的面积为“1份”，那么△AED 3.长与宽的比是5：4 和△ACE的面积均为4份，直角三角形ABC的面积 5 长方形的长：l180÷2X写千4一50(cm 为4十4十1=9（份）。 4 长方形的宽：180÷2×写十4=40(cm 阴影部分面积：4X3÷2X号-号（am) 8.解：设A种糖有x千克，B种糖有y千克。 长方形的面积：50×40=2000(cm2) 10.x+17.6y=10.6(.x+y) 4.连接BD,三角形ABD与三角形BCD的面积比为 7y=0.6x 12:22=6：11 三角形BCD占梯形ABCD面积的g-贵 y0.6 x:y=35:3 三角形CDE占梯形ABCD面积的，号 A,B两种糖按35：3的比例混合。 79