精品解析：河北省保定市竞秀区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末学业质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置. 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题. 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三视图的识别，根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：B． 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求锐角的正切值，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：A． 3. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 故选：C． 4. 已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例的计算，掌握比例的性质是解题的关键． 由题意得，代入计算即可求解． 【详解】解：已知是成比例线段， ∴， 其中，，， ∴， 解得，， 故选：B ． 5. 小莹和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同，一人摸牌，一人记录．经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算，小莹和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率，应用概率公式进行计算．先根据摸出方块的频率越来越接近，得出摸出方块的概率为，再求出纸牌的总数为18，再求出a的值即可． 【详解】解：∵摸出方块的频率越来越接近， ∴摸出方块的概率为， ∴摸出红桃、黑桃的概率为：， ∴纸牌的总数为：， ∴， 故选：D． 6. 2024年12月24日是中国人民志愿军抗美援朝中取得长津湖战役胜利74周年的日子!电影《长津湖》以长津湖战役为背景，讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神，扭转战场态势，为长津湖战役胜利作出重要贡献的故事、某影院上映《长津湖》第一天票房达到3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天单日票房收入为5.07亿元，若设增长率为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入达5.07亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：某影院第一天票房约3亿元，且以后每天票房的增长率为， 第二天票房约亿元，第三天票房约亿元， 依题意得：. 故选：B． 7. 已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定，平行线分线段成比例的应用，根据平行线分线段成比例列出比例式，再化为等积式即可判断． 【详解】解：A选项： 由同位角相等可得平行线， ∴，则，故A不符合题意； B选项： 由同位角相等可得平行线， ∴，则，故B不符合题意； C选项： 由内错角相等可得平行线， ∴，则，故C不符合题意； D选项： 由内错角相等可得平行线， ∴，则，故D符合题意； 故选D 8. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上， OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是【 】 A. （－2，3） B. （2，－3） C. （3，－2）或（－2，3） D. （－2，3）或（2，－3） 【答案】D 【解析】 【详解】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一 条直线上，那么这两个图形叫做位似图形．把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换．因此， ∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC． ∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴位似比为：． ∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）．故选D． 9. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出的长，利用菱形面积为面积的两倍求出即可． 【详解】四边形是菱形，， 于点 故选：A． 10. 关于的一元二次方程中，．则该方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．先求出这个方程根的判别式为，从而可判断选项A错误；再根据一元二次方程根与系数的关系即可判断选项C正确，选项D错误；然后根据两根之积小于0即可判断选项B错误． 【详解】解：由题意得：这个方程根的判别式为， ∵， ∴， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根，则选项A错误； 由根与系数的关系得：两根之和为，则选项D错误； 两根之积为，则选项C正确； ∴这个方程的两个不相等的实数根异号，则选项B错误； 故选：C． 11. 在学习相似多边形时，将边长为4，6，6的等腰三角形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则下面对新图形和原图形是否为相似多边形的判断正确的是（ ） A. 甲乙两组都是 B. 甲组是，乙组不是 C. 甲组不是，乙组是 D. 甲乙两组都不是 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形以及相似多边形的判定，根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图1， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵ ∴，， 则可得， ∴新矩形与原矩形不相似． 故选：B． 12. 如图，边长为的正方形，对角线相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点.给出如下四个结论： ①； ②点E在运动过程中，面积的最小值为1； ③点E在运动过程中，周长不变化； ④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】易证得，则可判断①即可； ，的值随着点运动而变化，从左向右移动过程中，先变小，达到最小值后，再变大，据此判断②； 先求得，由②得随着点运动而变化，的长也在不断变化，即可判断③； 利用直角三角形斜边中线的性质，即可判断④． 【详解】解：①四边形是正方形，、相交于点， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故①正确； ②，的值随着点运动而变化，从左向右移动过程中，先变小，达到最小值后，再变大， 当时，最小，此时， 面积最小值为， 故②正确； ③， ， ， 由②得随着点运动而变化，的长也在不断变化， 点E在运动过程中，周长也在变化， 故③错误； ④，为中点． ， 点在运动过程中，与始终相等，故④正确； 综上，①②④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知是锐角，且，则为______°. 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：已知是锐角，且，，则的度数是， 故答案为：60． 14. 《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为米，同时身高米的小亮的影长为米，则旗杆的高度为_______米. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据成比例关系可知，人身高比上人的影长等于旗杆长比上旗杆影子长，代入数据即可求． 【详解】解：设旗杆的高度为米 根据题意： 解得： 经检验，是分式方程解且符合题意， 故答案：． 15. 若是方程的一个实数根，则的值为_______. 【答案】4055 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， ∴． 故答案：4055． 16. 如图1，在中，，点从点出发，沿向点运动，速度为，过点作，交边或边于点，当点运动时，点与点重合，的面积与运动时间之间的关系如图2所示，点是图象的最高点，当取最大值时，点的运动时间为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】当点运动时，点与点重合，如图所示，，，，当点在上时，时，的面积的最大值为，根据题意，时，点与点重合，在中，由，得到，如图所示，当时，点在上，，，则，所以，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：在中，，点从点出发，沿向点运动，速度为，当点运动时，点与点重合，如图所示， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在上时，时，的面积的最大值为， 根据图2可得，时，点与点重合， ∴， ∴点与点重合时，， 在中，， ∴， 如图所示，当时，点在上，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的面积的最大值为， ∵， ∴当取最大值时，点的运动时间为， 故答案为：2 ． 【点睛】本题考查了动点与函数图象，理解函数图象的信息，动点运动，勾股定理，特殊角的三角函数值的计算，二次函数图象的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 （1）分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程计算的步骤一步步检查即可； （2）根据配方法和因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：甲：原方程可变形为：第一步，故甲从第一步开始出错； 乙：原方程可变形为：第一步， 第二步，故乙从第二步开始出错； ∴甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错． 【小问2详解】 解：（方法不唯一） 配方法： 方程变形为：， ， 配方得， 则或， ，； 因式分解法： 方程变形为：， ， 则或， ，． 18. 如图是“水上滑梯”的侧面图，矩形为向上攀爬的梯子，以水面为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，滑梯平台距水面的高度为6米，宽度为1米，滑梯出口C点到水面的距离为1.2米.求： （1）直接写出段所在的反比例函数表达式______（不写自变量取值范围）； （2）求C点到的距离是多少? （3）若滑梯上有一个小球Q，Q距的距离不少于2米，请直接写出点Q到水面的距离至多是_____米. 【答案】（1） （2）4米 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，矩形的性质，掌握的识别图形是解题的关键． （1）可得，设双曲线的解析式为，得到，于是得到结论； （2）由题意得，将代入求得，即可求解C点到的距离； （3）先确定Q距轴的距离不少于3米，那么当时，，再根据反比例函数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴轴， ∴， 设双曲线的解析式为， ， 段所在的反比例函数关系式是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴将代入得：， 解得：， ∴C点到的距离是（米）； 【小问3详解】 解：∵Q距的距离不少于2米， ∴Q距轴的距离不少于3米， ∴当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴Q距轴的距离不少于3米时，点Q到水面的距离至多2米， 故答案为：2． 19. 下面是两位同学设计的“尺规作矩形”的作图过程： 题目：如图①，已知线段，.求作：矩形.（要求：尺规作图） 甲同学作法如图②：①过点A作的垂线；②过点C作的垂线，交于点D； 乙同学作法如图③：①作线段的垂直平分线交于点O；②连接并延长，在延长线上截取；③连接，. （1）依据甲同学的作法，得到矩形的依据是：______； （2）请依据乙同学的作法，说明四边形是矩形； （3）若，，点P是上一动点，从C向D运动，速度为；点Q是上一动点，从C向B运动，速度为；两动点同时出发，直接写出当，满足什么关系时，与相似. 【答案】（1）有三个角为直角的四边形为矩形 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、相似三角形的判定、线段垂直平分线的性质等： （1）根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （3）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 有三个角是直角的四边形是矩形； 故答案为：有三个角是直角的四边形是矩形 【小问2详解】 解：作线段的垂直平分线交于点， ，连接并延长，在延长线上截取， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【小问3详解】 解：当或时，和相似，理由如下： 设运动时间为， ∵两动点同时出发， ∴， 如图，当时，， ∵，， ∴， ∴，即， 如图，当时，， ∴， ∴， 综上所述，当或时，和相似． 20. 有一转转盘和跳棋子的游戏，规则如下： I.初始时，将棋子放在标有数字“”的那一格； Ⅱ.轮流转动转盘； Ⅲ.转盘停止后，指针指向几，就将棋子前进几格（例如：转动转盘，若停止后指针所指数字为③，则棋子前进到标有数字“”那一格），直至到达指定位置. （1）嘉嘉转动转盘，指针指向数字③的概率为______； （2）现嘉嘉和琪琪合作完成一轮游戏，共跳同一枚棋子，嘉嘉先转转盘，琪琪再转，补全树状图，并根据树状图求出当琪琪跳棋后，棋子前进到数字“”那一格的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率：（1）根据概率公式计算即可；（2）依题意画出树状图，根据图形求概率即可． 【小问1详解】 转盘被分为四个区域 指针指向数字③的概率为 【小问2详解】 根据树状图可知：总可能性有（种） 数字的可能性有种 所以概率为： 21. 近来网络上流传着“不是羽绒服买不起，是军大衣更有性价比”的说法.察觉到商机的某服装超市以每件元的价格购进一批军大衣，商家经过调查统计，当每件军大衣售价为元时，一天可以卖出件，在此基础上，售价每降元，则每天的销售量会增加件．设每件商品的售价为元，每天可获得的销售利润为元． （1）用含的代数式表示下列各量： 每件军大衣的利润为______元； 每天军大衣的销售量为______件； （2）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得的销售利润最大，最大利润是多少? 【答案】（1）；； （2）每件商品的售价定为元时，每天可获得的销售利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据数量关系，列出代数式，列出关于的函数关系式． （）根据“利润售价进价”，即可求出每件军大衣利润； 根据“当每件军大衣售价为元时，一天可以卖出件，售价每降元，则每天的销售量会增加件”，即可得出每天军大衣的销售量； （）根据“总利润单件利润销售数量”，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：∵每件商品的售价为元，每件军大衣的进价为元， ∴每件军大衣的利润为元； ∵当每件军大衣售价为元时，一天可以卖出件，售价每降元，则每天的销售量会增加件， ∴每天军大衣的销售量为件， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：根据题意得： ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 答：每件商品的售价定为元时，每天可获得的销售利润最大，最大利润是元． 22. 如图，一个盛了水的长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边点A处向水面上的点O入射，折射后照到水槽底部的点D，已知，测得，，水槽高，，若A，O，B三点在同一条直线上（直线为法线，为入射光线，为折射光线），请依据相关材料回答以下问题： （1）求的长. （2）求点B，D之间的距离（结果精确到）.（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，理解题意是关键； （1）证明，，利用，结合三角函数求解即可； （2）证明，可得，再进一步解答即可； 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 23. 甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： （1）甲同学的方案中，拼成的正方形边长是________； （2）求出乙同学方案中拼成的正方形的边长； （3）以上两个同学的方案中，________（填“甲”或“乙”）拼成的正方形边长大； （4）请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线并直接写出这个正方形的边长） 【答案】（1） （2） （3）甲 （4）满足要求的正方形边长为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的最短边可得甲同学方案拼成的正方形边长； （2）根据勾股定理，得，证，，得，设，则，，求解得乙同学方案中拼成的正方形边长为； （3）根据甲乙两同学所得数据进行比较即可得解． （4）根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解． 【小问1详解】 解：甲同学方案中拼成的正方形边长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，由拼成条件可得， 记直角三角形为，根据勾股定理，得 ． ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得，，， ∴乙同学方案中拼成的正方形边长为． 【小问3详解】 解：∵， ∴甲同学方案中拼成的正方形边长较大． 故答案为：甲； 【小问4详解】 解：其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下： 边长计算如下： 如图，过点B作于点H， ∴， ∴， 根据拼接要求，为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得． ∴根据勾股定理，得，即满足要求的正方形边长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 24. 如图1，抛物线：与x轴交于A，B两点（点A位于点B左侧），与y轴交于点，抛物线由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到，顶点为点D． （1）直接写出_______，并求出点B的坐标； （2）请说明：无论x为何值，抛物线对应的函数值都小于0． （3）①如图2，连接．请判定的形状，并说明理由； ②平面内存在一点E，使得四边形是以为对角线的菱形，请直接写出E点坐标． （4）将抛物线、的图象位于的部分组合成新图象，记作G，当直线与图象G有3个交点时，请直接写出k的取值范围________． 【答案】（1）； （2）见解析 （3）①是等腰三角形，见解析；②E点坐标为 （4）且， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点坐标即可； （2）根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，得到函数值的最大值小于0即可； （3）①求出的长，判断三角形的形状即可；②根据菱形的性质结合中点坐标公式进行求解即可； （4）设与轴交于点，交于点，分，分别求出直线经过三点时的值，利用数形结合的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， ∴， 当时，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴平移后的解析式为：， ∴当时，函数有最大值， ∴无论x为何值，抛物线对应的函数值都小于0； 【小问3详解】 ①是等腰三角形，理由如下： 由（2）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②设， ∵四边形是以为对角线的菱形，且，，， ∴的中点和的中点重合， ∴， ∴， ∴E点坐标为； 【小问4详解】 如图，设与轴交于点，交于点 ∵， ∴当时，， ∴点， 联立，解得：， ∴， ∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 当时，直线为，此时直线与图象有2个交点， 当直线过点时，，解得：；此时直线与图象有2个交点； 当直线过点时，，解得，此时直线与图象有3个交点； 当直线过点时，，解得：，此时直线与图象有3个交点； 由图象可知，当且，时，直线与图象有3个交点． 故答案为：且，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，等腰三角形的判定，菱形的性质等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末学业质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置. 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题. 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是( ) A. B. C. D. 4. 已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 小莹和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同，一人摸牌，一人记录．经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算，小莹和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 2024年12月24日是中国人民志愿军抗美援朝中取得长津湖战役胜利74周年的日子!电影《长津湖》以长津湖战役为背景，讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神，扭转战场态势，为长津湖战役胜利作出重要贡献的故事、某影院上映《长津湖》第一天票房达到3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天单日票房收入为5.07亿元，若设增长率为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 7. 已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上， OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是【 】 A. （－2，3） B. （2，－3） C. （3，－2）或（－2，3） D. （－2，3）或（2，－3） 9. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 关于的一元二次方程中，．则该方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为 D. 两根之和为1 11. 在学习相似多边形时，将边长为4，6，6的等腰三角形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则下面对新图形和原图形是否为相似多边形的判断正确的是（ ） A. 甲乙两组都是 B. 甲组是，乙组不是 C. 甲组不是，乙组是 D. 甲乙两组都不是 12. 如图，边长为的正方形，对角线相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点.给出如下四个结论： ①； ②点E在运动过程中，面积的最小值为1； ③点E在运动过程中，周长不变化； ④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知是锐角，且，则为______°. 14. 《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为米，同时身高米的小亮的影长为米，则旗杆的高度为_______米. 15. 若是方程的一个实数根，则的值为_______. 16. 如图1，在中，，点从点出发，沿向点运动，速度为，过点作，交边或边于点，当点运动时，点与点重合，的面积与运动时间之间的关系如图2所示，点是图象的最高点，当取最大值时，点的运动时间为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 （1）分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； （2）请写出正确的解答过程． 18. 如图是“水上滑梯”的侧面图，矩形为向上攀爬的梯子，以水面为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，滑梯平台距水面的高度为6米，宽度为1米，滑梯出口C点到水面的距离为1.2米.求： （1）直接写出段所在的反比例函数表达式______（不写自变量取值范围）； （2）求C点到的距离是多少? （3）若滑梯上有一个小球Q，Q距的距离不少于2米，请直接写出点Q到水面的距离至多是_____米. 19. 下面是两位同学设计的“尺规作矩形”的作图过程： 题目：如图①，已知线段，.求作：矩形.（要求：尺规作图） 甲同学作法如图②：①过点A作的垂线；②过点C作的垂线，交于点D； 乙同学作法如图③：①作线段的垂直平分线交于点O；②连接并延长，在延长线上截取；③连接，. （1）依据甲同学的作法，得到矩形的依据是：______； （2）请依据乙同学的作法，说明四边形是矩形； （3）若，，点P是上一动点，从C向D运动，速度为；点Q是上一动点，从C向B运动，速度为；两动点同时出发，直接写出当，满足什么关系时，与相似. 20. 有一转转盘和跳棋子的游戏，规则如下： I.初始时，将棋子放在标有数字“”的那一格； Ⅱ轮流转动转盘； Ⅲ.转盘停止后，指针指向几，就将棋子前进几格（例如：转动转盘，若停止后指针所指数字为③，则棋子前进到标有数字“”那一格），直至到达指定位置. （1）嘉嘉转动转盘，指针指向数字③概率为______； （2）现嘉嘉和琪琪合作完成一轮游戏，共跳同一枚棋子，嘉嘉先转转盘，琪琪再转，补全树状图，并根据树状图求出当琪琪跳棋后，棋子前进到数字“”那一格概率. 21. 近来网络上流传着“不是羽绒服买不起，是军大衣更有性价比”的说法.察觉到商机的某服装超市以每件元的价格购进一批军大衣，商家经过调查统计，当每件军大衣售价为元时，一天可以卖出件，在此基础上，售价每降元，则每天的销售量会增加件．设每件商品的售价为元，每天可获得的销售利润为元． （1）用含的代数式表示下列各量： 每件军大衣的利润为______元； 每天军大衣的销售量为______件； （2）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得的销售利润最大，最大利润是多少? 22. 如图，一个盛了水的长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边点A处向水面上的点O入射，折射后照到水槽底部的点D，已知，测得，，水槽高，，若A，O，B三点在同一条直线上（直线为法线，为入射光线，为折射光线），请依据相关材料回答以下问题： （1）求的长. （2）求点B，D之间的距离（结果精确到）.（参考数据：，，） 23. 甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： （1）甲同学的方案中，拼成的正方形边长是________； （2）求出乙同学方案中拼成正方形的边长； （3）以上两个同学的方案中，________（填“甲”或“乙”）拼成的正方形边长大； （4）请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线并直接写出这个正方形的边长） 24. 如图1，抛物线：与x轴交于A，B两点（点A位于点B左侧），与y轴交于点，抛物线由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到，顶点为点D． （1）直接写出_______，并求出点B的坐标； （2）请说明：无论x为何值，抛物线对应的函数值都小于0． （3）①如图2，连接．请判定的形状，并说明理由； ②平面内存在一点E，使得四边形是以为对角线的菱形，请直接写出E点坐标． （4）将抛物线、的图象位于的部分组合成新图象，记作G，当直线与图象G有3个交点时，请直接写出k的取值范围________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $