17.1 第2课时 勾股定理的应用(1)-【夺冠百分百】2024-2025学年八年级下册数学新导学课时练（人教版）河北专版

第十七章 勾股定理 新导学课时练5 第2课时 勾股定理的应用(1) 知识点二,应用勾股定理解决距离问题 知识梳理·自主学习 3.(2023霸州期中)如图,有两棵树,一棵高 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤: 8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小 (1)将实际问题转化为数学问题 鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则 (2)明确已知条件及结论 , 它至少要飞行 △。 (3)利用 定理解答,并确定实际问题 2 的答案. 2 知识要点·多维突破 知识点一 应用勾股定理解决物高问题 A.6米 B.8米 1.如图,一根垂直于地面的旗 B C.10米 D.12米 杆在离地面5m处折断,旗 4.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开 杆顶部落在离旗杆底部12m 发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路 处,旗杆折断之前的高度是 A.5m 上的停靠站A的距离为300m,与公路上另 B.12m C.13m 一停靠站B的距离为400m,且CA|CB,如 D.18m 2.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3m的门, 图,为了安全起见,爆破点C周用半径250m 范围内不得进入,问在进行爆破时,AB段公 他先横着拿,进不去,又竖起来拿,结果竿比 路是否有危险而需要暂时封锁?请通过计 门高1m,当他把竿斜着时,两端则好顶着门 算进行说明. 的对角,问:竹竿长多少? B 名师点晴 勾股定理在实际生活中应用很多,当 已知直角三角形的一边与另一边的关系, 求直角三角形的另两边时,可设未知数, 根据勾股定理建立方程,通过解方程解决 问题. 23 &新导学课时练 数学·八年级(下)·R 名师点晴 4.(2022石家庄赞皇期中)如图,某自动感应门 利用勾股定理解应用题的三步骤: 的正上方A处装着一个感应器,离地AB (1)根据题意,画出图形. 2.5米,当人体进入感应器的感应范围内时 (2)分析题目中的数量关系,数形结合,正 感应门就会自动打开,一个身高1.6米的学 确标图,将已知条件体现到图形中. 生CD正对门,缓慢走到离门1.2米的地方 (3)在适当的直角三角形中应用勾股定理 时(BC=1.2来),感应门自动打开,则人头 进行计算或建立等量关系,列出方程,解 顶离感应器的距离AD等于 -_ C 决问题. A.1.2米 B.1.5米 C.2.0米 D.2.5米 5.(2023东营中考)一艘船由A港沿北偏东 阶梯训练·知能检测 60{*}方向航行30km至B港,然后再沿北偏 【基础过关】 西30*方向航行40km至C港,则A.C两港 之间的距离为 1.如图,小李准备建一个疏菜大棚,棚宽4m,高 km. 3m.长20m,棚的斜面用塑料布遮盖,不计墙 6.(2022石家庄晋州期末)如图,一人在离水面 ) 的厚度,则阳光透过的最大面积为 高度为5m的岸边C处,用绳子拉船靠岸 A.80m^{ B.100m{} 开始时绳子BC的长为13m ##7# C.140m2 D. 150m2 (1)开始时,船距岸A的距离是 m. 3m (2)若此人收绳5m后,船到达D处,则船向 4m 20m 岸A移动 _m. 第1题图 第2题图 7.“交通管理条例”规定:小汽车在城市街道上 2.如图,书架上放了四个文件夹,已知ACB 行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽 -90^{,AC=24 cm.,BC=7 cm.则AB的长 ) 是 车在一条城市街道直道上行驶,某一时刻刚 ( 好行驶到路面车速检测仪A正前方30mC A. 20cm B. 23cm C.25cm 处,过了2s后,测得小汽车所在地B处与车 D.27cm 速检测仪距离为50m,请问这辆小汽车超速 3.如图,一棵大树在离地面3m,5m两处折成 了吗? 三段,中间一段AB恰好与地面平行,大树顶 B.........-C 部落在离大树底部6m处,则大树折断前的 高度是 r _ B.14m C.11m A.9m D.10m 感应器A ## 第3题图 第4题图 o24 第十七章 勾股定理 新导学课时练5 【素养闯关】 10.(阅读理解题)阅读下列材料,并解答其后的 8.如图,小巷左、有两侧是竖直的墙,一架梯子 问题:我国古代南宋数学家秦九韶在其所著 斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离 书《数书九章》中,利用“三斜求积术”十分巧 BC为0.7m,梯子顶端到地面的距离AC为 妙地解决了已知三角形三边求其面积的问 2.4m.如果保持梯子底端位置不动,将梯子 题,这与西方著名的“海伦公式”是完全等价 斜靠在右墙时,梯子顶端到地面的距离为 的,我们也称这个公式为“海伦一秦九韶公 1.5m,则小巷的宽为 ( ) 式”,该公式是:设在△ABC中,A,B. C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为 2.4m 4 I1.5m (1)【举例应用】已知在△ABC中,A. 0.7m 之B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4, A.2m B.2.5m b-5.c-7,则△ABC的面积为 C.2.6m D.2.7m (2)【实际应用】有一块四边形的草地如图 9.如图,城心公园的著名景点B在大门A的正 所示,现测得AB=(26+42)m,BC= 北方向,游客可以从大门A沿正西方向行至 $$m,CD=7m,AD=4 6m, A=60*,求$$ 景点C,然后沿笔直的赏花步道到达景点B 这块草地的面积 也可以从大门A沿正东方向行至景点D,然 后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方 的景点E,继续沿正北方向行至景点B(点A. B.C,D,E在同一平面内),其中AC一500米, BC-1300米,AD-600米,BE-400米。 (1)求A,B两点的距离 (2)为增强游客的游览体验,提升公园品质, 将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF 与临湖步道DE交汇于点F,且玻璃廊桥AF 垂直于临湖步道DE,求玻璃廊桥AF的长. # 259.解：(1)原式=1十√6. 《2②)原式=+号E 8.解：在Rt△CDF中，DF=√37.CF=5, (3)原式=6-2√5. ∴.CD=√DF-CF=V(37)2-5=2√5， 10.B11.1243 则AB=CD=23, 12.解：(1)原式=a2-3-a2十6a=6a-3, 在Rt△ABF中.AB=2√3，BF=BC+CF=5+5=10, 当a=5+专时，原式=65+）-3=6后 ∴AF=√AB+BF=√(23)+10=47. (2)原式=二2少÷-4=(x-2 9.C10.C11.12 (x-2)Tx(x-2)`(x+2)(x-2) 12.证明：，∠ACB=∠ECD=90, ∴.∠ACD十∠BCD=∠ACD+∠ACE. x(x+2) .∠BCD=∠ACE. 当x=√2一1时，原式= 1 w2-102-1+2)2=1 BC=AC.DC=EC. ∴△ACE≌△BCD(SAS). 【易错专练·纠错补偿】 ∴AE=BD,∠B=∠CAE 1.A2.D :△ACB是等腰直角三角形， 第十七章 勾股定理 .∠B=∠BAC=45°..∠CAE=45 ∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°. 17.1勾股定理 在Rt△ADE中，根据勾股定里，得AD+AE=DE, ..AD+BDDE. 第1课时勾股定理及证明 第2课时勾股定理的应用(1) 【知识梳理·自主学习】 【知识梳理·自主学习】 1.a2十=2平方和平方 勾股 2.而积之和 【知识要点·多维突破】 【知识要点·多维突破】 1.D 1号 2.解：设竹竿高xm,门高(x一1)m 根据题意，得x2=(x一1)+32， 2.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90° 解得x=5.答：竹竿长5m. .c=a+=√6+8=√100=10. 3.C (2)在Rt△ABC中，∠C=90, 4.解：如国，过点C作CD⊥AB于点D, .b=C2-a=13-5=√144=12. BC=400 m.AC=300 m.ACB=90, (3):a:b=8:15.∴.可设a=8k.b=15k,其中k>0. 一用 在Rt△ABC中，∠C=90°，c=34, ∴.(8k)十(15k)2=342,解得k=2. ∴.a=8k=8×2=16,b=15k■15×2=30. ∴根据勾股定理.得AB=√AC十BC=500m. 3.D4.8x 【阶梯训练·知能检测】 AB.CD-BC.AC.CD-240 m. 1.D2.A3.C4.A5.5或46.76 :210m<250m,故有危险，∴AB段公路需要哲时封锁. 7.证明：，”大正方形的面积可以表示为（十b), 【阶梯训练·知能检测】 也可以表示为十4X宁b: 1.B2.C3.D4.B 5.506.(1)12(2)(12-√39) i.(a+b-+4Xub. 7.解：根据题意，得AC=30m,AB=50m,∠C=90°， 即a+i+2ab=e2+2ah. 在R1△ACB中，根据勾度定理， ∴.a2十=e2. 得BC=AB-AC=50-302=402,∴.BC=40m. 144 小汽车2s行驶40m,则1h行驶40×30×60=72000m, 即小汽车行驶速度为72km/h: 0- ,72>70,,小汽车超速了. -101234A56 8.D 如图，点A即为所求。 9.解：(1)在R1△ABC中，∠CAB=90°， 4.D5.C 由勾股定理，得AB=√BC-AC=√T300-500= 6.解：A(-4,0),B(2,0),.OB=2,AB=6. 1200(米)， ,△ABC是等边三商形，CH⊥AB. ,A,B两点的距离为1200米. ..AC=6.AH-BH=3,.OH=BH-OB=1. (2)BE=400米.AB=1200米，.AE=800米. 根据句股定理，得CH=√AC一A平=3√5. 在R△ADE中，∠EAD=90°， C(-1.35). 由勾股定理，得DE=√AEP+AD=√800+6O0= Sm=2ABCH=号×6X35=9a 1000(米)， 【阶梯训练·知能检测】 由面积法，得AD·AE=令DE·AF L,C母题变式B2.B3.D4.8.5 :AF=AD:AE=600X800=480(来). DE 1000 5.(1,3)或(4,3)或(9,3) ,玻璃廊桥AF的长为480米. 6.解：(1)如图所示，正方形ABCD的边长为√②+2=2√反， 10.解：(1)4√6 (2)过点D作DE⊥AB,垂足为E, 连接BD,如图. 在R△ADE中，：∠A=60, -4-3-2-1401234 ∴∠ADE=0,AE-专AD=26, 正方形ABCD的面积为(2V2)=8, 则正方形ABCD即为所求， .BE=AB-AE=26+42-26=42, (2)图中的点E是表示⑧的点」 DE=√AD-AE=√(4V6)-(2√6)=62， 小专题集训二利用勾股定理 ∴BD=√BE+DE=√(4V2)+(62)=2√26. 解决最短路径问题 .Sam=5√10， 1.B2.553.B4.B5.505 :5am-之AB·DE-号×(26+4V②)X62- 6.解：(1)设每一级台阶的高为xdm 根据题意，得18×(4十x)×4=432,解得x=2. 123十24 答：每一城台阶的高为2dm. ∴Sm地鸟um=S△m十S△m=12V5+24十5√/10. (2)四蚬台阶平面展开图为长方形，两边分别为18dm,(2+ 答：孩块苹地的面积为(12√3+24十5√0)m2, 4)×4=24(dm). 刚蚂蚁沿台阶面从点A爬行到，点C的最短路程是此长方 第3课时勾股定理的应用(2) 形的对角线长。 【知识梳理·自主学习】 由勾股定理，得AC=√18+24F=30(dm). 1.实数2.直角勾股定理3.平面图形 答：蝎蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30dm 【知识要点·多维突破】 17.2勾股定理的逆定理 1.C2.D 3.解：(1)在数轴上找出表示4的，点B. 第1课时勾股定理的逆定理 (2)过点B作直线1垂直于OB,在直线1上取BC=1, (3)以原点O为圆心，以(OC为半径作孤，燕与数轴交于【知识梳理·自主学习】 点A. 1.相反逆命题2.逆命题定理3.a+=2 145