精品解析：河南省新乡市原阳县第一高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

2024-2025学年度高二下期入学测试 数 学 试 题 命题人 闫永泉 一、单选题 1. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导判断导函数在内是否大于等于0恒成立即可. 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 2. 已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据为增函数，结合的定义域求解即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递增. 又， 所以解得. 故选：C 3. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，在上单调递减，等价于在上恒成立，进而根据不等式恒成立问题求解即可. 【详解】因为函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上，，则. 当时，不恒为零，也符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C 4. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可. 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 5. 若函数在区间D上单调递增，且函数在区间D上也单调递增（其中是函数的导函数），那么称函数是区间D上的“快增函数”，区间D叫作“快增区间”，则函数的“快增区间”为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“快增函数”的定义先求出函数的单调增区间，再求出函数在函数的单调增区间上的增区间即可. 【详解】由题知恒成立， 当时，，所以，即单调递增； 当时，，所以，即单调递减. 令，， 则. 令，则， 令， 所以当时，， 即时，，单调递增， 所以函数的“快增区间”为. 故选：A. 6. 设函数，则下列选项错误的是（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，， 当时，，当或时，， 函数在和上单调递增，在上单调递减， 故是函数的极小值点，A正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，B错误； 对C，当时，， 而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，C正确； 对D，当时， ， 所以，D正确； 故选：B. 7. 已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，则存在，使得成立，再利用分离参数法求解即可. 【详解】由成立，可得， 设， 则存在，使得成立， 即， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 8. 已知函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得的单调区间和极值，由此列不等式组来求得的取值范围. 【详解】因为， 所以在上，单调递减， 在和上，单调递增， ，． 因为恰有3个零点， 所以，解得． 故选：D 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. B. 是的一个极值点 C. 在上的平均变化率为1 D. 在处的瞬时变化率为2 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复合函数的导数、极值点的概念及平均变化率、瞬时变化率的算法逐项求解即可. 【详解】利用复合函数的求导法则，由，所以A错误； 因为，当时，， 且时，，时，，故为极大值点，所以B正确； 由在上的平均变化率为，所以C错误； 因为，当时，，所以D正确. 故选：BD. 10. 设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在上有极大值 D. 在上有极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，从而可得的单调区间，即可得到结果. 【详解】由得，则，即， 设，由得， 由得， 即函数在单调递增，在单调递减， 即当时，函数取得极小值， 故选：AD. 11. 已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，根据构造函数的思想，明确其单调性，得到两个字母之间的胆小，结合四个选项对应函数的单调性，可得答案. 【详解】令，则对恒成立， ∴在时单调递增.又由实数，满足， 即，∴， 若，则，故A、B选项错误； 令，则， 当时，，此时单调递增，当时，， 此时单调递减，故大小不确定，C选项错误； 令，则，此时单调递增， 又∵，∴，∴，即， 故D选项正确. 故选：ABC. 三、填空题 12. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可. 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的取值范围是. 故答案为： 13. 已知是定义在上的奇函数，又，若时，，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【详解】【解析】令 ，则为偶函数，，当时，，即在 上单调递增， 从而由偶函数性质得，在 上单调递减， 因此 即解集是 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 14. 已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，再利用导数求出最值，代入即可得解. 【详解】由题意，可得， 当时，， 由，可得，由，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为，所以在上单调递减，所以， 所以，解得.所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用导数求得函数的单调性，即可求得函数的最大值； （2）求出导数，分，，，讨论判断单调性，求解. 【小问1详解】 当时，，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取最大值，最大值为． 【小问2详解】 ，， 则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以无极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意； 当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上，的取值范围为． 16. 已知． （1）若时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）函数的单调递减区间为，单调递增区间为和． 【解析】 【分析】（1）求导，根据点斜式即可求解切线方程， （2）利用导函数的正负确定函数的单调性即可. 【小问1详解】 当时，，∴， ∴切线斜率为，又，∴切点坐标为， ∴所求切线方程为，即． 【小问2详解】 ，由，得或 由，得或，由，得 ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为和． 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，对分类讨论函数的单调区间； （2）根据导数的几何意义可求得的值．化简的解析式，求出的导数，由题意知对于任意的，恒成立，列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 . 当时，令得，令得， 则的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，令得，令，得， 则的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，不是单调函数. 【小问2详解】 由得， ∴. ∴， ∴. ∵在区间上总不是单调函数，且， 结合函数的图象可得， 由题意知对于任意的，恒成立， ∴，即，解得. 故m的取值范围为. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）是否存在实数a，使的极大值为3；若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）存在，． 【解析】 【分析】 （1）当时，，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得出函数的单调区间； （2）求导，分和两种情况得出导函数的正负，得出函数的单调性，从而得函数的极大值，建立方程，解之可得答案． 【详解】（1）当时，，所以， 令，得或， 所以当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； （2）存在，，理由如下： ，令，得或， 因为所以 所以当时，恒成立，所以在R上单调递增，此时函数不存在极值，所以； 当时，，所以当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在时，取得极大值，所以，即，解得， 所以存在，，使的极大值为3． 【点睛】利用导函数研究函数的单调性，极值，最值等问题时，关键在于分析出导函数取得正负的区间，如果有参数，需讨论参数的范围，使之能确定导函数取得正负的区间． 19. 已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并说明理由； （2）当，探究在上的极值点个数. 【答案】（1）时，在上单调递增.理由如下： 时，，，，， 所以在上单调递增. （2）当时，在上的极值点个数为0； 当时，在上的极值点个数为1. 【解析】 【分析】（1）求的导函数，根据时，导函数的符号，判断函数的单调性； （2）求的导函数，将探究的极值点个数问题，转化为探究的变号零点个数，再求的导函数，对a分类讨论，得到的极值点个数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， 依题意，只要探究在上的变号零点个数即可， 令，，则， (Ⅰ)当，即时，，此时在上恒成立， 则即单调递增，，在上无零点， 在上的极值点个数为0. (Ⅱ) 当，即时， ，使得，即， 当，；当，， 所以即在上单调递增，在上单调递减， 由于，， 若，即时，在上无零点， 在上的极值点个数为0. 若，即时，在上有1个变号零点， 在上的极值点个数为1. 综上所述，当时，在上的极值点个数为0； 当时，在上的极值点个数为1. 【点睛】方法点睛：利用化归思想，将探究的极值点个数问题，转化为探究的变号零点个数，根据的取值范围对参数进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二下期入学测试 数 学 试 题 命题人 闫永泉 一、单选题 1. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间D上单调递增，且函数在区间D上也单调递增（其中是函数的导函数），那么称函数是区间D上的“快增函数”，区间D叫作“快增区间”，则函数的“快增区间”为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则下列选项错误的是（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7. 已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. B. 是的一个极值点 C. 在上的平均变化率为1 D. 在处的瞬时变化率为2 10. 设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在上有极大值 D. 在上有极小值 11. 已知函数的导数满足对恒成立，且实数，满足，则下列关系式不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________. 13. 已知是定义在上的奇函数，又，若时，，则不等式的解集是__________． 14. 已知函数，使不等式成立，则实数的取值范围是_________． 四、解答题 15. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 16. 已知． （1）若时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间． 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）是否存在实数a，使的极大值为3；若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并说明理由； （2）当，探究在上的极值点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $