专题08 全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（广东专用）

专题08 全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型 目录 1 模型1.截长补短模型 1 模型2.倍长中线模型 7 13 模型1.截长补短模型 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 例2．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 模型2.倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 例1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决： 如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展： 如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 例2．（2023八年级上·全国·专题练习）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    请回答： （1）小明证明用到的判定定理是：　　； ．  ．  ．  ． （2）的取值范围是 　　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长． 一、填空题 1．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，是的中线，于点C，，且，则的长为 ． 二、解答题 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 3．（18-19八年级下·山西忻州·期中）综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢? 已知：如图1，在中，分别是的中点． 求证： 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一线段长的一半．所以可以用“倍长法”将延长一倍：延长到，使得，连接这样只需证明，且．由于是的中点，容易证明四边形、四边形是平行四边形，证明．．． 问题解决： 上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是_____． (填入选项前的字母代号即可) A．数形结合思想   B．转化思想   C．分类讨论思想   D．方程思想 证明四边形是平行四边形的依据是 反思交流： “智慧小组”在证明中位线定理时，在图1的基础上追加了如上辅助线作法：如图3，分别过点作的垂线，垂足分别为，．． 请你根据“智慧小组”添加的辅助线，证明三角形的中位线定理． 方法迁移： 如图4、四边形和都是正方形，是的中点．求证： 4．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 5．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 命题  如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知：如图1，在中，是边上的中线，； 求证：是直角三角形．    【分析问题】 （1）看见中线，联想到和中点有关的定理，比如：三角形中位线定理；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；______等；（添加一个和中点有关的定理） （2）深入思考后发现：对于有关中点问题，常用以下几种辅助线解决问题． 如图，在中，是边上的中线． 辅助线一：如图2，倍长中线，构造全等三角形或平行四边形； 辅助线二：如图3，倍长线段，构造中位线； 辅助线三：如图4，取的中点M，连接构造中位线，等等．    【解决问题】 请选用（2）中的一种添加辅助线的方法，完成上面命题的证明； 【拓展应用】 （3）如图，菱形的周长为，，点M为边的中点，点N是边上一动点，把∠A沿直线折叠，点A落在点E处，当是直角三角形时，的长度为______．    6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若，求的长． 7．（22-23八年级下·四川眉山·阶段练习）【他山之石】如图，已知的两边，，是中线，求的取值范围． 一茗同学说出他的思路是“倍长中线法”，思路：先将延长至E，使得，再连接、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得，在中再利用三角形边的关系先得到：，最后转化得到：． 【学以致用】如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连结，． （1）探究与的关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的关系，写出你的猜想并加以证明； 【拓展延伸】如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 8．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型 目录 1 模型1.截长补短模型 1 模型2.倍长中线模型 7 13 模型1.截长补短模型 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 例2．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）延长到点H，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （2）延长到点M，使，连接，先证明，再证明，即可解答； （3）延长到点P，使，连接，先证明，再证明，可得，从而得到的周长，即可解答． 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 模型2.倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 例1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决： 如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展： 如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）延长至，使，连接，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围； （2）延长至，使，连接，证明，可得到，，再证明，可得． （3）延长到，使得．首先证明四边形是平行四边形，再证明，推出，由，推出，推出，即可解决问题； 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ； 故答案为：； （2）解：成立． 理由：延长至，使，连接，如图2所示： 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． （3）证明：如图，延长到，使得． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 例2．（2023八年级上·全国·专题练习）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    请回答： （1）小明证明用到的判定定理是：　　； ．  ．  ．  ． （2）的取值范围是 　　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【知识点】根据正方形的性质证明、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）延长到，使，连接，由即可证明问题； （2）由三角形三边的关系即可求出的取值范围； （3）延长，交于，即可证明，得到，，由线段垂直平分线的性质定理得到． 【详解】（1）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中点， ， 在和中， ， ． 故选：； （2）解：∵， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3，延长，交于，   四边形是正方形， ， ∴， ， 是中点， ， ∵， ∴， ∴，， ， 垂直平分， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，一元一次不等式的应用，关键是通过作辅助线构造全等三角形． 一、填空题 1．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，是的中线，于点C，，且，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 延长交的延长线于点F，证明，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8 二、解答题 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 3．（18-19八年级下·山西忻州·期中）综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢? 已知：如图1，在中，分别是的中点． 求证： 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一线段长的一半．所以可以用“倍长法”将延长一倍：延长到，使得，连接这样只需证明，且．由于是的中点，容易证明四边形、四边形是平行四边形，证明．．． 问题解决： 上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是_____． (填入选项前的字母代号即可) A．数形结合思想   B．转化思想   C．分类讨论思想   D．方程思想 证明四边形是平行四边形的依据是 反思交流： “智慧小组”在证明中位线定理时，在图1的基础上追加了如上辅助线作法：如图3，分别过点作的垂线，垂足分别为，．． 请你根据“智慧小组”添加的辅助线，证明三角形的中位线定理． 方法迁移： 如图4、四边形和都是正方形，是的中点．求证： 【答案】（1）B；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）详见解析；（4）详见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、四边形其他综合问题 【分析】（1）根据解题方法知，将证明“”的问题转化为矩形的性质的问题； （2）由平行四边形的判定定理填空； （3）利用“”证明，根据全等三角形对应边相等可得，，同理，，则．然后判断出四边形是矩形，根据矩形的性质即可得到答案； （4）如图4，延长到点，使得，连接、．易证，四边形是平行四边形，结合该平行四边形和图中正方形的性质，证得，故，所以． 【详解】（1）根据根据上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是转化思想． 故选：； （2）证明四边形是平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （3）证明：如图3， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 如图4，延长到点，使得连接，， 是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 四边形和都是正方形， ∴ ∴ ∴ 在和中 ， ∴， ∴， 【点睛】本题为四边形综合题，还考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握． 4．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 5．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 命题  如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知：如图1，在中，是边上的中线，； 求证：是直角三角形．    【分析问题】 （1）看见中线，联想到和中点有关的定理，比如：三角形中位线定理；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；______等；（添加一个和中点有关的定理） （2）深入思考后发现：对于有关中点问题，常用以下几种辅助线解决问题． 如图，在中，是边上的中线． 辅助线一：如图2，倍长中线，构造全等三角形或平行四边形； 辅助线二：如图3，倍长线段，构造中位线； 辅助线三：如图4，取的中点M，连接构造中位线，等等．    【解决问题】 请选用（2）中的一种添加辅助线的方法，完成上面命题的证明； 【拓展应用】 （3）如图，菱形的周长为，，点M为边的中点，点N是边上一动点，把∠A沿直线折叠，点A落在点E处，当是直角三角形时，的长度为______．    【答案】（1）等腰三角形“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）见解析；（3）或3 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可； （2）按照辅助线的作法进行证明即可； （3）由菱形的性质可得，，，由点M为边的中点，可得，由折叠的性质可知，，，则，由题意知，分，两种情况求解；当时，如图5，则，，，根据，求解即可；当时，如图6，记中点为，连接，证明，则，证明是等边三角形，则，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，等腰三角形“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 故答案为：等腰三角形“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）辅助线一：证明：如图2，延长到，使，连接，    ∵是边上的中线，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形． 辅助线二：证明：如图3，延长到，使得，    ∵是边上的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 辅助线三：证明：如图4，取的中点M，连接，    ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （3）解：∵菱形的周长为，， ∴，， ∵点M为边的中点， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， 由题意知，分，两种情况求解； 当时，如图5，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图6，记中点为，连接，    ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理，，， ∴是等边三角形， ∴， 综上所述，的长度为或3， 故答案为：或3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，折叠的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，折叠的性质是解题的关键． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）10 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、三角形三边关系的应用 【分析】（1）①根据证明，即可；②由①得：，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解； （2）延长至点F，使，连接．由（1）得：，从而得到，再由，可得，从而得到，可证明，即可求证； （3）延长至，使得，连接，证明，得到，，进而得到，推出，，证明等边三角形，推出，证明，得到，，进而推出为等边三角形，得到，即可得出结论． 【详解】解：①∵是的中线， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， 故答案为： ②由①得：， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）延长至，使得，连接， ∵是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 7．（22-23八年级下·四川眉山·阶段练习）【他山之石】如图，已知的两边，，是中线，求的取值范围． 一茗同学说出他的思路是“倍长中线法”，思路：先将延长至E，使得，再连接、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得，在中再利用三角形边的关系先得到：，最后转化得到：． 【学以致用】如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连结，． （1）探究与的关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的关系，写出你的猜想并加以证明； 【拓展延伸】如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（1）；（2），，理由见详解；【拓展延伸】不发生变化，理由见详解 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）延长交于点H，由题意易知，则有，然后问题可求解； （2）延长交于点M，由题意易知，则有，然后可得，进而问题可求解； 【拓展延伸】延长到H，使得，连接，由题意易证，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 延长交于点H，如图， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）延长交于点M，如图， ∵四边形和四边形都是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：在（2）中得到的结论不发生变化，理由如下： 延长到H，使得，连接，如图所示： ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，点A、B、G又在一条直线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形、菱形的性质、全等三角形的性质与判定及含30度的直角三角形的性质，熟练掌握正方形、菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 8．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）；理由见解析（2），理由见解析；（3）不成立.新数量关系为：． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$