精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年第二学期 2025届高二年级收心考考试 数学试卷 一､单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 直线倾斜角为，且过点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角确定斜率，再由斜率公式列出等式即可求解； 【详解】由题意可知，则， 由直线过点P，则得， 故选：A 2. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 10 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算性质和等比数列的性质可求得的值. 【详解】因为数列是各项都为正数的等比数列，则， 所以，，则，故. 故选：B. 3. 已知函数，且，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数定义求解. 【详解】∵， ∴， ∴，，解得． 故选：D. 4. 已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 将双曲线的方程化为标准方程并表示出.并结合双曲线的定义、双曲线的几何性质、和,即可求得的值. 【详解】双曲线 化为标准方程可得 即 由双曲线定义可知,所以, 又因为,所以, 由以上两式可得, 由得, 所以, 解得, 故选:A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用,根据等量关系求参数值,属于基础题. 5. 在数列中，，，记为数列的前n项和，则（ ） A. 0 B. 2018 C. 1010 D. 1009 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的递推公式顺次求解其项，可知数列为周期数列，据其周期求和即可. 【详解】解：因为，所以． 因为，所以， ，，， ，，，…， 故数列为周期数列，周期为4． 所以． 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，A（0，1），B（0，4），C是直线上的一动点，M是圆上一点，则当最小时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作A关于直线的对称点，根据对称性可得使最小时的C点坐标，求出其到圆心的距离，进而可得的最小值. 【详解】作A关于直线的对称点，可得（1，0）， 则， 解得当C（，）时取等号， 所以． 故选：A． 7. 已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为的圆心，利用椭圆定义和勾股定理得到，设，得到单调递增，从而求出最值，得到取值范围. 【详解】设为椭圆的右焦点，由题知， 故，显然为的圆心， 则， 由椭圆定义得， 故， 令，理由如下： 设，，则，， 故 ， 因为，所以， ， 函数均单调递增，故在上单调递增， 所以. 故选：A． 8. 符号表示不超过实数的最大整数，如，．数列满足，，．若，为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出的通项公式，并确定其取值范围求出，再利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】由，得，而， 则数列是首项为，公比也为的等比数列，即， 当时，， 显然满足上式，因此， 而， ，则， 显然， 于是，则， 因此， 所以. 故选：B 【点睛】易错点睛：裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 二､多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的按个数计分，多选或错选不得分.） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D. 两个不同的平面的法向量分别是，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用向量共线即可判断；对于B，利用向量垂直判断直线与平面的两种位置关系排除；对于C和D，利用空间向量夹角的坐标公式计算结果即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 又是两条不重合直线，故，即A正确； 对于B，因，可得，即或，故B错误； 对于C，设直线与平面所成角为，则， 因，故有，故C错误； 对于D，由，可得， 则，故，即D正确. 故选：AD. 10. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 使为整数的正整数n的个数为0 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简已知等式由函数的单调性可得A正确；取反例结合等差数列的求和公式可得B错误；化简已知等式可得C正确；结合等差数列的求和公式判断为递增数列，再讨论的取值可得D正确； 【详解】对于A，，所以数列是递增数列，故A正确； 对于B，若， 则，， 所以，故B错误； 对于C，由可知无整数，故C正确； 对于D，因为和是等差数列，且前n项和分别为和， 所以， 所以递增， 所以最小值为时，为，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为，圆，圆上存在动点，过作圆的切线，也与抛物线相切于点，抛物线上任意一点到直线与直线的距离分别为．若点的坐标为，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 圆上的点到直线的最大距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得圆心，结合点的坐标，可求得，进而利用相切可求得线的方程，与抛物线方程联立方程，利用，可求得和切点的坐标，进而可得焦点的坐标，计算可判断AB；设点到直线的距离为，根据，利用点到直线的距离求得即可判断C；求得直线的方程，求得圆心到直线的距离可得圆上的点到直线的最大距离判断D. 【详解】由圆，得圆心， 又点的坐标为，所以． 因为直线为圆的切线，所以，所以， 所以直线的方程为，即． 联立得方程组， 消去并整理，得． 因为直线与抛物线相切，所以，解得（舍去）， 所以抛物线的方程为，所以， 当时，方程为，解得， 所以，解得，所以切点， 所以，故A错误，B正确． 设点到直线的距离为．因为，所以． 因为点到直线的距离，所以，故C正确． 因为，所以直线的方程为，即． 因为圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确． 故选：BCD． 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知实数满足，则的最小值为___. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何意义求最值. 【详解】因为实数满足， 表示原点与 直线上点之间距离， 因为到直线距离为， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式求得公差，再由得到求解即可. 【详解】设公差为，由得，则. 由得即解得. 故答案为： 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线渐近线上的点，且，若，则该双曲线的离心率________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据，得到，利用直角三角形斜边中线性质以及，表示出和的各边，再依据，在两个三角形中分别用余弦定理，进而列出等量关系式并求解. 【详解】不妨取M为渐近线上一点， 因为，所以， 又为的中点，所以， 因为，设，则， 因为，所以， 在和中分别用余弦定理， 则，， 所以，所以，， 则为锐角，，即， 则，，，. 故答案为：. 四､解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共77分） 15. 已知圆的圆心为坐标原点，且与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆心到直线的距离求出半径，即可得到圆的方程. （2）先由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，讨论斜率不存在和存在两种情况，斜率不存在时明显符合题意，斜率存在时先设出直线的点斜式方程，由的值求出直线斜率，从而求解. 【小问1详解】 设圆的半径为，则， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，则，解得：， 当直线的斜率不存在时，，此时圆心到的距离为1，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 化简得：，则，解得：， 即. 综上，直线的方程为或. 16. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， （1）若，求数列的通项公式； （2）若，求 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，结合等差数列和等比数列的通项即可得出公差和公比，即可求得结果. （2）利用已知求出，再利用等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为， 由，得， 又，得， 与联立，解得（舍去）或， 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 由，得，解得或， 当时，由得，则， 当时，由得，则， 综上，或. 17. 已知抛物线上一点的横坐标为到抛物线的焦点的距离为2. （1）求抛物线的方程； （2）直线交抛物线于两点，为坐标原点，满足，求面积的最小值. 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，结合题目中的方程，表示出点的坐标，并建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，并联立方程，写出韦达定理，根据题目中的等式，求得参数，利用两点距离公式以及点到直线距离公式，结合三角形面积公式整理函数解析式，可得答案. 【小问1详解】 令，因为到抛物线的焦点的距离为2，所以， 代入得：，且，解得， 故求抛物线的方程为： 【小问2详解】 令直线的方程为：. 联立直线与抛物线的方程得：，消去可得： ，由题意可得， 故. 因为，所以，又，则， 解得，显然恒成立. 得直线的方程为：. ， 原点到直线的距离， 所以面积， 当时，面积的最小值为32. 18. 已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求； 【答案】（1），； （2）； 【解析】 分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再借助等差数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，分奇偶求出的通项，并结合裂项相消法及错位相减求出对应前项和，再利用分组求和法求解. 【小问1详解】 等差数列中，，而，解得， 公差，则； 设等比数列的公比为，，由，得， 即，解得，， 所以数列和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得，当为奇数时，， 则； 当为偶数时，，， ， 则， 两式相减得 ，因此， 所以. 19. 已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为. （1）求曲线的方程； （2）已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值. （3）求的取值范围； 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及椭圆的定义写出曲线的方程； （2）讨论直线与轴的位置关系，设直线为或并联立椭圆方程，点，应用斜率的两点式及韦达定理求； （3）由（2）及弦长公式或向量数量积的坐标表示得到关于参数m的表示，即可求范围. 【小问1详解】 连接，则，设点，圆的圆心，半径为4，， 点的轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长，焦距， ，则曲线的方程为. 【小问2详解】 （法一）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，点都在轴上，， ②若直线不与轴重合，令直线为，， 联立，消去，得， 则， 由韦达定理得， ， 综上所述：. （法二）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴垂直，直线与直线关于轴对称，； ②若直线不与轴垂直，令直线为，， 联立，消去，得，则， 由韦达定理得， 设 ， 综上所述：. 【小问3详解】 （法一）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，则； ②若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点， 由（1）中方法一及弦长公式得， 由，则， 综上所述，的取值范围是. （法二）分以下两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，不妨设，则； ②当直线的斜率存在时，设直线为，， 由（2）方法二及弦长公式得 ， 由， 综上所述，的取值范围是. （法三）分以下两种情况讨论： ①若直线与轴重合，则 ②若直线不与轴重合，设直线为，， 则，结合（1）中方法一， 由，则， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第二、三问，设直线与椭圆并应用韦达定理，由斜率两点式、弦长公式或向量数量积的坐标表示，求值或列方程为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年第二学期 2025届高二年级收心考考试 数学试卷 一､单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 直线倾斜角为，且过点，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 10 B. 9 C. 6 D. 3 3. 已知函数，且，则m的值为（ ） A B. 2 C. D. 4. 已知是双曲线的两个焦点，点为该双曲线上一点，若，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 5. 在数列中，，，记为数列的前n项和，则（ ） A. 0 B. 2018 C. 1010 D. 1009 6. 在平面直角坐标系中，A（0，1），B（0，4），C是直线上的一动点，M是圆上一点，则当最小时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 符号表示不超过实数的最大整数，如，．数列满足，，．若，为数列的前项和，则（ ） A B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的按个数计分，多选或错选不得分.） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D. 两个不同的平面的法向量分别是，，则 10. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 使为整数的正整数n的个数为0 D. 的最小值为 11. 已知抛物线的焦点为，圆，圆上存在动点，过作圆的切线，也与抛物线相切于点，抛物线上任意一点到直线与直线的距离分别为．若点的坐标为，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 圆上的点到直线的最大距离为 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知实数满足，则的最小值为___. 13. 已知等差数列首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________. 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线渐近线上的点，且，若，则该双曲线的离心率________. 四､解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，共77分） 15. 已知圆的圆心为坐标原点，且与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 16. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， （1）若，求数列的通项公式； （2）若，求 17. 已知抛物线上一点的横坐标为到抛物线的焦点的距离为2. （1）求抛物线的方程； （2）直线交抛物线于两点，为坐标原点，满足，求面积的最小值. 18. 已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求； 19. 已知点，点是圆上任意一点，线段垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为. （1）求曲线方程； （2）已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值. （3）求的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$