专题11 二次函数的综合应用（压轴题）（8类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题11 二次函数的综合应用（压轴题） 课标要求 考点 考向 1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2. 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 3. 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题。 4. 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 二 次 函 数 的 综 合 应 用 考向一 二次函数与面积的综合问题 考向二 二次函数与特殊图形的综合问题 考向三 二次函数与角度的综合问题 考向四 二次函数与相似三角形的综合问题 考向五 二次函数与线段交点的综合问题 考向六 二次函数与定值（定点）的综合问题 考向七 二次函数与字母取值范围问题 考向八 二次函数的其它综合问题 考点一 二次函数的综合应用 ►考向一 二次函数与面积的综合问题 1．（2023•湖北）已知抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC． （1）直接写出结果；b＝　 ，c＝　 　，点A的坐标为 　 　，tan∠ABC＝　 ； （2）如图1，当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标； （3）如图2，点D在y轴负半轴上，OD＝OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD＝90°．点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE＝DF，记BE+QF的最小值为m． ①求m的值； ②设△PCB的面积为S，若，请直接写出k的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得 、c＝2，从而可得 OB＝4，OC＝2，由 y＝0，可得 ，求得 A（﹣1，0），在Rt△COB 中，根据正切的定义求值即可； （2）过点C作CD∥x轴，交BP于点D，过点P作 PE∥x轴，交y轴于点E，由 ，即∠OCA＝∠ABC，再由∠PCB＝2∠ABC，可得∠EPC＝ABC，证明△PEC∽△BOC，可得 ，设点P坐标为 ，可得 ，再进行求 解即可； （3）①作DH⊥DQ，且使DH＝BQ，连接FH．根据SAS证明△BQE≌△HDF，可得 BE+QF＝FH+QF≥QH，即Q，F，H共线时，BE+QF的值最小．作QG⊥AB于点G，设 G（n2） 则 ，根据QG＝BG求出点Q的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可； ②作 PT∥y轴，交BC于点T，求出BC解析式，设 ，利用三 角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线 经过点B（4，0），C（0，2）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线 与x轴交于A、B（4，0）两点， ∴y＝0时，，解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，0）， ∴OB＝4，OC＝2， 在 Rt△COB 中，． 故答案为：，2，（﹣1，0），； （2）过点C作CD∥x轴，交BP于点D，过点P作 PE∥x轴，交y轴于点E， ∵AO＝1，OC＝2，OB＝4， ∴， 由（1）可得，，即 tan∠OCA＝tan∠ABC， ∴∠OCA＝∠ABC， ∵∠PCB＝2∠OCA， ∴∠PCB＝2∠ABC， ∵CD∥x轴，EP∥x轴， ∴∠ABC＝∠DCB，∠EPC＝∠PCD， ∴∠EPC＝ABC， 又∵∠PEC＝∠BOC＝90° ∴△PEC∽△BOC， ∴， 设点P坐标为 ，则 EP＝t，， ∴， 解得：t＝0 （舍），t＝2， ∴点P坐标为（2，3）； （3）①如图2，作DH⊥DQ，且使 DH＝BQ，连接FH， ∵∠BQD+∠BDQ＝90°，∠HDF+∠BDQ＝90°， ∴∠BQD＝∠HDF， ∵QE＝DF，DH＝BQ， ∴△BQE≌△HDF（SAS）， ∴BE＝FH， ∴BE+QF＝FH+QF≥QH， ∴Q，F，H共线时，BE+QF的值最小．作QG⊥AB于点G， ∵OB＝OD，∠BOD＝90°， ∴∠OBD＝45°， ∵∠QBD＝90°， ∴∠QBG＝45°， ∴QG＝BG．设G（n，0），则 ， ∴， 解得 n＝1 或 n＝4 （舍去）， ∴Q（1，3）， ∴QG＝BG＝4﹣1＝3， ∴ ， ∴m＝QH2； ②如图3，作PT∥y轴，交BC于点T， ∵BC解析式为 ， 设，， 则 ， ∵点P在第一象限， ∴0＜S≤4， ∴， ∴0＜17﹣k≤4， ∴13≤k＜17． 【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角 形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2023•荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b． （1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　 　； （2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2． ①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积； ②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）y关于x的函数应分一次函数与二次函数两种情况，其中二次函数应分为①与x轴有两个交点且一个交点为原点；②与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两种情况讨论； （2）①如图，设直线l与BC交于点F，待定系数法求得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，当x＝0时，y＝8，得到C（0，8），P（1，9），求得直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，得到F（1，6），根据三角形的面积公式即可得到结论； ②如图，设直线x＝m交x轴于H，由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），得到PH＝﹣m2+2m+8，根据相似三角形的性质得到OD＝8﹣2m，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时， y关于x的函数解析式为y＝3x， 此时y＝3x与x轴的交点坐标为（，0）， 与y轴的交点坐标为（0，）； ②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数， ∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点， ∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况． 当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时， 由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x． 当y＝0时，﹣2x2+x＝0， 解得x1＝0，x2． ∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（，0）． 当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时， 由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等实数根． ∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）a＝0， 解得a， 此时yx2x， 当x＝0时，y， ∴与y轴的交点坐标为（0，）， 当y＝0时，x2x0， 解得x1＝x2， ∴与x轴的交点坐标为（，0）， 综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，， 故答案为：2或0或； （2）①如图，设直线l与BC交于点F， 根据题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8， 当x＝0时，y＝8， ∴C（0，8）， ∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点， ∴P（1，9）， ∵B（4，0），C（0，8）， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8， ∴F（1，6）， ∴PF＝9﹣6＝3， ∴△PBC的面积OB•PF6； ②S1﹣S2存在最大值， 理由：如图，设直线x＝m交x轴于H， 由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8）， ∴PH＝﹣m2+2m+8， ∵OD∥PH， ∴△AOD∽△AHP， ∴， ∴， ∴OD＝8﹣2m， ∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC3m2+8m＝﹣3（m）2， ∵﹣3＜0，0＜m＜4， ∴当m时，S1﹣S2存在最大值，最大值为． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，注意当函数没有明确为何函数时，要注意对函数进行分情况讨论． ►考向二 二次函数与特殊图形的综合问题 3．（2023•恩施州）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线yx2+bx+c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B． （1）如图，若A（0，），抛物线的对称轴为直线x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y时x的取值范围； （2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标； （3）若抛物线yx2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），F（1，﹣1），且m＜n，求正整数m，n的值． 【分析】（1）把A点的坐标代入抛物线的解析式，可得c，由对称轴是，可求得b；当y时，结合图象求得x的范围； （2）连接AB，在对称轴上截取BD＝AB，分两种情况进行讨论，根据题意可得A、B、C、P四点共圆，先证A、D、C在同一直线上，根据等边三角形的性质，两点之间的距离公式，坐标系中的交点坐标特征等即可求解． （3））由抛物线过点D（m，2），E（n，2）可设设抛物线解析式为y，于是再将点F（1，﹣1）的坐标代入解析式中可得（m﹣1）（n﹣1）＝6，再利用m＜n，m，n为正整数求解即可． 【解答】解：（1）∵A ，抛物线的对称轴为直线x＝3． ∴c，， 解得：b＝3， ∴抛物线解析式为y， 当y时，， 解得：x1＝0，x2＝6， ∴x的取值范围是：0≤x≤6； （2）连接AB，在对称轴上截取BD＝AB， 由已知可得：OA，OB＝3， 在Rt△AOB中， tan∠OAB， ∴∠OAB＝60°， ∴∠PAB＝180°﹣∠OAB＝120°， ∵△BCP是等边三角形， ∴∠BCP＝60°， ∴∠PAB+∠BCP＝180°， ∴A、B、C、P四点共圆， ∴∠BAC＝∠BPC＝60°， ∵BD＝AB， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∴点D在AC上， BD＝AB， ∴D（3，）， 设AD的解析式为y＝kx+b，则有： ， 解得：， ∴AC的解析式为：y， 由，得： x1＝0，x2， 当x时，y， ∴C（，）， 设P（0，y），则有： ， 解得：y， ∴P（0，）； 当C与A重合时， ∵∠OAB＝60°， ∴点P与点A关于x轴对称，符合题意， 此时，P（0，），C（0，）； ∴C（，），P（0，）或P（0，），C（0，）； （3）∵抛物线yx2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2）， ∴设抛物线解析式为y， 将点F（1，﹣1）代入y中，得， 整理得：（m﹣1）（n﹣1）＝6， ∵m＜n，且m，n为正整数， ∴1＜m＜n， ∴m﹣1，n﹣1为正整数，且m﹣1＜n﹣1， ∴当m﹣1＝1，n﹣1＝6时， 解得：m＝2，n＝7； 当m﹣1＝2，n﹣1＝3时， 解得：m＝3，n＝4． ∴m＝2，n＝7或m＝3，n＝4． 【点评】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2023•宜昌）如图，已知A（0，2），B（2，0）．点E位于第二象限且在直线y＝﹣2x上，∠EOD＝90°，OD＝OE，连接AB，DE，AE，DB． （1）直接判断△AOB的形状：△AOB是 　 三角形； （2）求证：△AOE≌△BOD； （3）直线EA交x轴于点C（t，0），t＞2．将经过B，C两点的抛物线y1＝ax2+bx﹣4向左平移2个单位，得到抛物线y2． ①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值； ②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值； ③将抛物线y2再向下平移个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标． 【分析】（1）由A（0，2），B（2，0）得到 OA＝OB＝2，又由∠AOB＝90°，即可得到结论； （2）由∠EOD＝90°，∠AOB＝90° 得到∠AOE＝∠BOD，又有 AO＝OB，OD＝OE，利用SAS即 可证明△AOE≌△BOD； （3）①求出直线AC的解析式和抛物线y1的解析式，联立得x2﹣（t+3）x+3t＝0，Δ＝（t+3）2﹣4×3t＝（t﹣3）2＝0，即可得到t的值； ②抛物线向左平移2个单位得到抛物线，则抛物线y2的顶点，将顶点 代入 得到t2﹣6r＝0，解得t1＝0，t2＝6，根据t＞2即可得到t的值； ③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，先证明△ODN≌△EOM（AAS），则ON＝EM，DN＝OM，设EM＝2OM＝2m，由OA∥EM得到OC：CM＝OA：EM，则 求得得到 ，由抛物线y2再向下平移 个单位，得到抛物线 把 代入抛物线 得到3t2﹣19t+6＝0 解得，t2＝6 由t＞2，得t＝6，即可得到点D的坐标． 【解答】（1）解：∵A（0，2），B（2，0）， ∴OA＝OB＝2，∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角； （2）证明：∵∠EOD＝90°，∠AOB＝90°， ∴∠AOB﹣∠AOD＝∠DOE﹣∠AOD， ∴∠AOE＝∠BOD， ∵AO＝OB，OD＝OE， ∴△AOE≌△BOD（SAS）； （3）解：①设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∵A（0，2），C（t，0）， ∴， ∴ ∴yACx+2， 将C（t，0），B（2，0）代入抛物线， 得，，解得， ∴， ∵直线 与抛物线有唯一交点， ∴联立解析式组成方程组解得 x2﹣（t+3）x+3t＝0， ∴Δ＝（t+3）2﹣4×3t＝（t﹣3）2＝0， ∴t＝3； ②∵抛物线 向左平移2个单位得到 y2， ∴抛物线， ∴抛物线y2的顶点 ， 将顶点代入yEAx+2，t2﹣6t＝0，解得t1＝0，t2＝6， ∵t＞2， ∴t＝6； ③过点E作EM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥x轴，垂足为N． ∴∠EMO＝∠OND＝90°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠EOM+∠MEO＝∠EOM+∠NOD＝90°， ∴∠MEO＝∠NOD， ∵OD＝OE， ∴△ODN≌△EOM（AAS）， ∴ON＝EM，DN＝OM， ∵OE的解析式为y＝﹣2x， ∴设EM＝2OM＝2m， ∴DN＝OM＝m， ∵EM⊥x轴， ∴OA∥EM， ∴△CAO∽△CEM， ∴OC：CM＝OA：EM， ∴， ∴， ∴，， ∴D（，）， ∵抛物线y2再向下平移 个单位，得到抛物线y3， ∴抛物线， ∴D（，），代入抛物线， ∴3t2﹣19t+6＝0 解得t1，t2＝6， 由t＞2，得t＝6， ∴， ∴D（，）． 【点评】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的平移、二次函数与一次函数的交点问题、待定 系数法求函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握二次函数的平移和数形结合是解题的关键． ►考向三 二次函数与角度的综合问题 5．（2024•武汉）抛物线yx2+2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标； （3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式． 【分析】（1）在yx2+2x中，令x＝0得C（0，），令y＝0得A（1，0），B（﹣5，0）； （2）由A（，0），C（0，）得直线AC的解析式为yx，设直线PQ的解析式为yx+b'，P（t，t2+2t），可得b't2t，故Q（0，t2t）；根据BC平分线段PQ，知PQ的中点（，t2t）在直线BC上，求得直线BC解析式为yx，有t2t，解出t的值从而可得P（﹣2，）； （3）过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S，证明△ETG∽△GSF，可得ET•FS＝GS•TG，求出D（0．﹣5），设直线EF的解析式为y1＝k1x，直线ED的解析式为y2＝k2x﹣5，联立得x2+（2﹣k1）x0，联立 得x2+（2﹣k2）x0，设xE＝e，xF＝f，xG＝g，故ef＝﹣5，eg＝5，e+g＝2k2﹣4，从而知f＝﹣g，ETe2+2e（g2+2g）（e+g+4）（e﹣g），FSf2+2f（g2+2g）（f+g+4）（f﹣g），故（e+g+4）（e﹣g）•（f+g+4）（f﹣g）＝（g﹣e）（f﹣g），可得e+g＝﹣5，即得2k2﹣4＝﹣5，k2，得直线DE解析式为yx﹣5． 【解答】解：（1）在yx2+2x中，令x＝0得y， ∴C（0，）， 令y＝0得0x2+2x， 解得x＝﹣5或x＝1， ∴A（1，0），B（﹣5，0）； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把A（，0），C（0，）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为yx， 由PQ∥AC，设直线PQ的解析式为yx+b'， 设P（t，t2+2t）， ∴t2+2tt+b'， ∴b't2t， ∴直线PQ的解析式为yxt2t， 令x＝0得yt2t， ∴Q（0，t2t）； ∵BC平分线段PQ， ∴PQ的中点（，t2t）在直线BC上， 由B（﹣5，0），C（0，）得直线BC解析式为yx， ∴t2t， 解得t＝﹣2或t＝0（舍去）， ∴P（﹣2，）； （3）过点G作TS∥x轴，过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S，如图： ∴∠T＝∠S＝∠EGF＝90°， ∴∠EGT＝90°﹣∠FGS＝∠GFS， ∴△ETG∽△GSF， ∴， ∴ET•FS＝GS•TG， ∵点D与原点O关于 对称， ∴D（0，﹣5）， 设直线EF的解析式为y1＝k1x，直线ED的解析式为y2＝k2x﹣5， 联立得：k1xx2+2x， ∴x2+（2﹣k1）x0， 联立 得：k2x﹣5x2+2x， ∴x2+（2﹣k2）x0， 设xE＝e，xF＝f，xG＝g， ∴ef＝﹣5，eg＝5，e+g＝2k2﹣4， ∴f＝﹣g，ETe2+2e（g2+2g）（e+g+4）（e﹣g），FSf2+2f（g2+2g）（f+g+4）（f﹣g）， ∵ET•FS＝GS•TG， ∴（e+g+4）（e﹣g）•（f+g+4）（f﹣g）＝（g﹣e）（f﹣g）， ∴（e+g+4）（e﹣g）•（﹣g+g+4）（﹣g﹣g）＝（g﹣e）（﹣g﹣g）， ∴e+g＝﹣5， ∴2k2﹣4＝﹣5， 解得k2， ∴直线DE解析式为yx﹣5． 【点评】本题考查二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2023•黄石）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知抛物线上有一点P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值； （3）若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在Rt△AOC中，tan∠CAO，则tan∠ABP，得到直线BP的表达式为：y（x﹣4），进而求解； （3）作∠EAG＝∠BCD，证明△BCD∽△GAE且相似比为1：2，故当C、E、G共线时，CE+2BD＝CE+EG＝CG为最小，进而求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）， 即﹣12a＝4，则a， 故抛物线的表达式为：yx2x+4①； （2）在Rt△AOC中，tan∠CAO， ∵∠CAO+∠ABP＝90°， 则tan∠ABP， 故设直线BP的表达式为：y（x﹣4）②， 联立①②得：x2x+4（x﹣4）， 解得：xx0（不合题意的值已舍去）； （3）作∠EAG＝∠BCD， 设AG＝2BC＝2×48， ∵AE＝2CD， ∴△BCD∽△GAE且相似比为1：2， 则EG＝2BD， 故当C、E、G共线时，CE+2BD＝CE+EG＝CG为最小， 在△ABC中，设AC边上的高为h， 则S△ABCAC•hAB×CO， 即5h＝4×7， 解得：h， 则sin∠ACBsin∠EAG， 则tan∠EAG＝7， 过点G作GN⊥x轴于点N， 则NG＝AG•sin∠EAG， 即点G的纵坐标为：， 同理可得，点G的横坐标为：， 即点G（，）， 由点C、G的坐标得，CG， 即CE+2BD的最小值为． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 7．（2023•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标； （3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围． 【分析】（1）运用待定系数法将点B、点C坐标代入解析式可求解； （2）用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+12，可证△BGE是等腰直角三角形，设D（t，8），通过证明△AFD∽△GDE，相似三角形的性质得出m﹣t＝4，则DG＝AF，可证△AFD≌△GDE，由面积关系列出方程可求解； （3）通过证明△OGH∽△BPG，可得，由待定系数法可求BS的解析式，联立方程组可求点P坐标，由勾股定理可求BP的长，由二次函数的性质可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为yx2x+8； （2）∵抛物线yx2x+8与y轴交于点A， 当x＝0时，y＝8， ∴A（0，8），则OA＝8， ∵B（4，8）， ∴AB∥x轴，AB＝4， ∵点F是OA的中点， ∴F（0，4）， ∴AB＝AF＝4， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（4，8），C（8，4）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+12， 设E（m，﹣m+12）（4＜m＜8）， 如图1，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G， 则∠G＝90°， ∴G（m，8）， ∴GE＝8﹣（﹣m+12）＝m﹣4，BG＝m﹣4， ∴BG＝GE， ∴△BGE是等腰直角三角形， 设D（t，8），则AD＝t，DG＝m﹣t， ∵DE⊥FD， ∴∠FDE＝90°， ∵∠FAD＝∠G＝∠FDE＝90°， ∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝∠GDE， ∴△AFD∽△GDE， ∴，即， ∴t（m﹣t）＝4（m﹣4）， 即（t﹣4）m＝（t﹣4）（t+4）， ∵t≠4， ∴m＝t+4， 即m﹣t＝4， ∴DG＝AF， ∴△AFD≌△GDE（ASA）， ∴DF＝DE， 又∵DE⊥DF， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴S△DEFDF2， ∵S△ADFAD•AF， 当△DEF面积是△ADF面积的3倍时， 即DF2＝3AD•AF， ∴DF2＝12AD， 在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2＝t2+42， ∴AD2+AF2＝12AD， ∴t2+42＝12t， 解得：t＝6﹣2或t＝26（舍去）， ∴D（6﹣2，8）； （3）∵∠GBP＝∠HGP＝∠BOH， 又∠OGH+∠HGP＝∠GBP+∠BPG， ∴∠OGH＝∠BPG， ∴△OGH∽△BPG， ∴， 设BP交x轴于点S，过点B作BT⊥x轴于点T，如图2， ∵∠GBP＝∠BOH， ∴SB＝SO， ∵OT＝4，BT＝8， ∴OB4， 设BS＝k，则TS＝k﹣4， 在Rt△TBS中，SB2＝ST2+BT2， ∴k2＝（k﹣4）2+82， 解得：k＝10， ∴S（10，0）， 设直线BS的解析式为y＝ex+f，则， 解得：， ∴直线BS的解析式为yx， 联立， 解得：或， ∴P（，）， ∴PB， ∵， 设OG＝n，则BG＝OB﹣OG＝4n， ∴， 整理得：mn2n（n﹣2）2， ∵点G在线段OB上（与点O，B不重合）， ∴0＜OG＜4， ∴0＜n＜4， ∴当n＝2时，m取得的最大值为， ∴0＜m． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． ►考向四 二次函数与相似三角形的综合问题 8．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值； （3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【分析】（1）分别令x、y为0，解方程即可求得点A、B、C的坐标； （2）分两种情况：①若△BE1D1∽△CE1F1 时，可得∠BCF1＝∠CBO，由平行线的判定可得CF1∥OB，即CF1∥x轴，点F与C的纵坐标相同，建立方程求解即可．②若△BE2D2∽△F2E2C 时，过 F2 作F2T⊥y轴于点T．可证得△BCO∽△CF2T，，即，解方程即可求得答案； （3）由题意知抛物线C2：y＝x2，联立方程求解即可得G（2，4）．根据中点坐标公式可得H（1，2）．设 M（m，m2），N（n，n2），可得直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．将点H的坐标代入可得mn＝m+n﹣2．同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx．联立方程组求解可得P（，）．代入y＝kx+b，整理得2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，比较系数可得k＝2，b＝﹣2，故点P在定直线y＝2x﹣2上． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， 当x＝0时，y＝﹣8， ∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）． （2）∵F是直线x＝t与抛物线 C1的交点， ∴F（t，t2﹣2t﹣8）． ①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时． 则∠BCF1＝∠CBO， ∴CF1∥OB． ∵C（0，﹣8）， ∴t2﹣2t﹣8＝﹣8． 解得：t＝0（舍去）或t＝2． ②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时． 过 F2 作F2T⊥y轴于点T． ∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°， ∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°， ∴∠F2CT＝∠OBC， 又∵∠CTF2＝∠BOC， ∴△BCO∽△CF2T， ∴， ∵B（4，0），C（0，﹣8）， ∴OB＝4，OC＝8． ∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2， ∴， ∴2t2﹣3t＝0， 解得：t＝0（舍去）或 ， 综上，符合题意的t的值为2或； （3）点P在一条定直线上． 由题意知抛物线C2：y＝x2， ∵直线OG的解析式为y＝2x， ∴G（2，4）． ∵H是OG的中点， ∴H（1，2）． 设 M（m，m2），N（n，n2），直线MN的解析式为y＝k1x+b1． 则， 解得：， ∴直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn． ∵直线MN经过点H（1，2）， ∴mn＝m+n﹣2． 同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx． 联立，得， ∵直线OM与NG相交于点P， ∴n﹣m+2≠0． 解得：， ∵mn＝m+n﹣2， ∴P（，）． 设点P在直线y＝kx+b上，则， 整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b， 比较系数，得， ∴k＝2，b＝﹣2． ∴当k＝2，b＝﹣2时，无论m，n为何值时，等式恒成立． ∴点P在定直线y＝2x﹣2上． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题． 9．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N． （1）直接写出抛物线和直线BC的解析式； （2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值； （3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题得抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将点C坐标代入求a，进而得到抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y＝kx+t，将B、C两点坐标代入求解即可得到直线BC的解析式． （2）由题可得M坐标，分别求出OC，OM，CM，对等腰三角形OCM中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解． （3）对P点在B点左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解m，进而得到点P，点Q的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）， ∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2）， 将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a， ∴a＝﹣1， ∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2． 设直线BC的表达式为y＝kx+t， 将B（2，0），C（0，2）代入得， ， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2． （2）∵点M在直线BC上，且P（m，n）， ∴点M的坐标为（m，﹣m+2）， ∴OC＝2 ∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4， 当△OCM为等腰三角形时， ①若CM＝OM，则CM2＝OM2， 即2m2＝2m2﹣4m+4， 解得m＝1； ②若CM＝OC，则CM2＝OC2， 即2m2＝4， 解得或m（舍去）； ③若OM＝OC，则OM2＝OC2， 即2m2﹣4m+4＝4， 解得m＝2（舍）或m＝0（舍去）． 综上，m＝1或m． （3）∵点P与点C相对应， ∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB， ①若点P在点B的左侧， 则， 当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时， 直线OP的表达式为y＝x， ∴﹣m2+m+2＝m， 解得或m（舍去）， ∴，即OP＝2， ∴，即， 解得OQ， ∴， 当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时， ， ∴，即， 解得m＝1±（舍去）． 当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时， PQ，OQ＝m﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣2， ∴，即， 解得m，（负值舍去）， ∴P（），Q（0.）． ②若点P在点B的右侧， 则∠CBN＝135°，BN＝m﹣2， 当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时， 直线OP的表达式为y＝﹣x， ∴﹣m2+m+2＝﹣m， 解得m＝1或m＝1（舍去）， ∴， ∴，即， 解得OQ＝1， ∴， 当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时， PQ，OQ＝m2﹣2m﹣2， ∴，即， 解得m＝1（舍）或m＝1（舍去）， 综上，P（），Q（0， ）或P（），Q（0.）或P（），Q（0，）或． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等相关知识． ►考向五 二次函数与线段交点的综合问题 10．（2024•湖北）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N，设L的顶点横坐标为n，NC的长为d． ①求d关于n的函数解析式； ②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域（不含边界）记为W，当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设M（m，﹣m2+2m+3），作MH⊥x轴于点H，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关于m的方程求解即可； （3）①由二次函数平移可得出图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，从而得到CN＝d＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|，再分类讨论去绝对值即可； ②根据题干条件得出整数点（0，1），（0，2），（1，1），再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）， ∴0＝﹣1﹣b+3， 解得：b＝2； （2）∵b＝2， ∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 令y＝0，解得x＝﹣1或x＝3，令x＝0得y＝3， ∴A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3）， 设M（m，﹣m2+2m+3）， 作MH⊥x轴于点H，如图， ∵∠MAB＝∠ACO， ∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即， ∴ 解得m或m＝﹣1（舍去）， ∴M的横坐标为； （3）①∵将二次函数沿水平方向平移， ∴纵坐标不变为4， ∴图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4， ∴N（0，﹣n2+4）， ∴d＝CN＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|， ∴d； ②由①得d，画出大致图象如下， ∵d随着n增加而增加， ∴﹣1≤n≤0或n≥1， △ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界）， 当U内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时， 当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1， ∴， ∴n，n≥1或n≤1， ∴n＜1， ∵﹣1≤n＜0 或n≥1， ∴﹣1≤n≤1； 当U内恰有2个整数点（0，1），（1，1）时， 当x＝0时，1＜yL≤2，当x＝1时，yL＞1， ∴， ∴n或n，1n＜1， ∴n， ∵﹣1≤n＜0 或n≥1， ∴n； 当U内恰有2个整数点（0，2），（1，1）时，此种情况不存在，舍去． 综上所述，n的取值范围为﹣1≤n≤1或n． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，包括用待定系数法求二次函数表达式及二次函数与线段交点的问题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及数形结合法是解题关键． ►考向六 二次函数与字母取值范围问题 11．（2023•襄阳）在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b经过抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m（m≠0）的顶点． （1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P． ①求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标； ②t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值； ③当k＝2时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点F，令S＝EF，求S的最大值． （2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为Q．当直线l同时经过点Q和（1）中抛物线的顶点P时，设直线l与抛物线的另一个交点为B，与y轴的交点为A．若|QB﹣QA|≥1，直接写出k的取值范围． 【分析】（1）由抛物线经过原点，可得2m2﹣m＝0，即可求得m，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；②分三种情况：当t+1，即t时，y随x增大而减小，当t时，则若t≤x≤t+1时，y的最小值为，不符合题意，当t时，y随x增大而增大，分别列方程求解即可；③把P（，）代入y＝2x+b，可得y＝2x，设点E（m，m2+m），可得S（m）2，利用二次函数的性质即可求得答案； （2）利用配方法可得Q（﹣m，m2﹣m），运用待定系数法可得直线l的解析式为y＝（﹣m）xm，进而可得A（0，m），B（﹣2m，2m2﹣2m），分两种情况：当m时，点B在第二象限，点A在y轴的负半轴上，作点A关于点Q的对称点A′，可得A′（﹣2m，2m2m），QA＝QA′，再由|QB﹣QA|≥1，即|A′B|≥1，可得[（﹣2m）﹣（﹣2m）]2+[（2m2﹣2m）﹣（2m2m）]2≥1，解不等式即可求得答案；当m时，点B在第一象限，点Q在A、B之间，作点A关于点Q的对称点A′，同理可求得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线经过原点， ∴2m2﹣m＝0， 解得：m＝0或， ∵m≠0， ∴m， ①抛物线的解析式为y＝x2+x， ∵y＝x2+x＝（x）2， ∴顶点P的坐标为（，）； ②当t+1，即t时，y随x增大而减小， 由题意得：（t+1）2+t+1＝2， 解得：t1＝﹣3，t2＝0（舍去）， ∴t的值为﹣3， 当t时，则若t≤x≤t+1时，y的最小值为，不符合题意， 当t时，y随x增大而增大， 由题意得：t2+t＝2， 解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝1， ∴t的值为1， 综上所述，t的值为﹣3或1； ③由题意得：当k＝2时，y＝2x+b经过点P（，）， ∴2×（）+b， ∴b， ∴y＝2x， 设点E（m，m2+m），且m， ∵EF∥x轴， ∴F（m2m，m2+m）， ∴S＝EF＝m﹣（m2m）m2m（m）2， ∵0，m， ∴当m时，S取得最大值； （2）∵y＝x2+2mx+2m2﹣m＝（x+m）2+m2﹣m， ∴Q（﹣m，m2﹣m）， ∵直线l：y＝kx+b经过点P、Q， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为y＝（﹣m）xm， 令x＝0，得ym， ∴A（0，m）， 联立方程得：x2+2mx+2m2﹣m＝（﹣m）xm， 解得：x1＝﹣m，x2＝﹣2m， 当x＝﹣2m时，y＝（﹣m）（﹣2m）m＝2m2﹣2m， ∴B（﹣2m，2m2﹣2m）， 当m时，点B在对称轴左侧的抛物线上，点A在y轴的负半轴上，作点A关于点Q的对称点A′，如图， 则A′（﹣2m，2m2m），QA＝QA′， ∵|QB﹣QA|≥1， ∴|QB﹣QA′|≥1， 即|A′B|2≥1， ∴[（﹣2m）﹣（﹣2m）]2+[（2m2﹣2m）﹣（2m2m）]2≥1， 化简得：m2﹣m0， 令m2﹣m0， 解得：m1（舍去），m2， ∴m， ∵m＝﹣k， ∴﹣k， ∴k； 当m时，点B在对称轴右侧的抛物线上，点Q在A、B之间，作点A关于点Q的对称点A′，如图， 则A′（﹣2m，2m2m），QA＝QA′， ∵|QB﹣QA|≥1， ∴|QB﹣QA′|≥1， 即|A′B|2≥1， ∴[（﹣2m）﹣（﹣2m）]2+[（2m2﹣2m）﹣（2m2m）]2≥1， 化简得：m2﹣m0， 令m2﹣m0， 解得：m1，m2（舍去）， ∴m， ∵m＝﹣k， ∴﹣k， ∴k； 综上所述，k的取值范围为k或k． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，一次函数图象与抛物线的交点等，涉及知识点多，难度大，熟练掌握二次函数的图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键． 12．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B． （1）求点B的坐标及直线AC的解析式； （2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值； （3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围． 【分析】（1）求出A、B、C三点坐标，再用待定系数法求直线AC的解析式即可； （2）分四种情况讨论：①当m＞1时，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m（舍）；②当m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m（舍）；③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m1或m1（舍）；④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m1（舍）或m1； （3）分两种情况讨论：①当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直线BA的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，由Δ＝0时，解得h，此时抛物线的顶点为（，），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；当抛物线经过点A时，（1﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣4，解得k＝0（舍）或k＝1，当抛物线的顶点为（2，﹣5）时，平移后的抛物线与射线BA有一个公共点． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点A（1，﹣4）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵CB∥x轴， ∴B（2，﹣3）， 设直线AC解析式为y＝kx+b， ， 解得， ∴y＝﹣x﹣3； （2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1， ①当m＞1时， x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3， x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3， ∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2， 解得m（舍）； ②当m+2＜1，即m＜﹣1， x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3， x＝m+2时，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3， ∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2， 解得m（舍）； ③当m≤1≤m+1，即0≤m≤1， x＝1时，q＝﹣4， x＝m+2时，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3， ∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2， 解得m1或m1（舍）； ④当m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0， x＝1时，q＝﹣4， x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3， ∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2， 解得m＝1（舍）或m＝1， 综上所述：m的值1或1； （3）设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x﹣3， ①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位， ∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h， 设直线BA的解析式为y＝k'x+b'， ∴， 解得， ∴y＝x﹣5， 联立方程组， 整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0， 当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0， 解得h， 此时抛物线的顶点为（，），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点； ②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位， ∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k， 当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3， 解得k＝0（舍）或k＝3， 此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点， 当抛物线经过点A时，（1﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣4， 解得k＝0（舍）或k＝1， 当抛物线的顶点为（2，﹣5）时，平移后的抛物线与射线BA有一个公共点， ∴综上所述：1＜n≤4或n． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． ►考向七 二次函数与定值（定点）的综合问题 13．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC． （1）抛物线的解析式为 　 ；（直接写出结果） （2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数； （3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）求出直线AC，BD的解析式，联立得出点E的坐标，根据题意，作辅助线，得出，证明△ABC∽△AEB，根据相似三角形的性质即可求解． （3）设点M，点N的坐标，求出直线BC、CN、BM的解析式，联立即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0）， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为y． 故答案为：y． （2）∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）， 设直线AC的解析式为y＝k1x+b1， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣6， 同理，由点D（2，﹣8），B（6，0），可得直线BD的解析式为y＝2x﹣12， 令﹣3x﹣6＝2x﹣12， 解得x， ∴点E的坐标为（）， 由题意可得，OA＝2，OB＝OC＝6，AB＝8， ∴AC， 如图，过点E作EF⊥x轴于点F， ∴AE， ∴， ∴， ∵∠BAC＝∠EAB， ∴△ABC∽△AEB， ∴∠ABC＝∠AEB， ∵OB＝OC，∠COB＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵∠AEB＝45°， ∴∠CEB＝45°， 答：∠CEB的度数为45°． （3）设点M的坐标为（m，），点N的坐标为（n，）， ∵直线MN与BC不重合， ∴m≠0且m≠6，n≠0且n≠6， 如图， 由点B（6，0），点C（0，﹣6），可得直线BC的解析式为y＝x﹣6， ∵MN∥BC， 设直线MN的解析式为y＝x+t， ∴x+t， ∴ ∴m+n＝6 ∴点N的坐标可以表示为（6﹣m，）， 设直线CN的解析式为y＝k2x+b2， ∴， 解得， ∴直线CN的解析式为y， 同上，可得直线BM的解析式为y， ∴， ∴mx＝3m， ∴x＝3， ∴点P的横坐标为定值3． 【点评】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．（2022•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）． （1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标； （2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c向上平移，使顶点E落在x轴上的P点，此时的抛物线记为C，过P作两条互相垂直的直线与抛物线C交于不同于P的M，N两点（M位于N的右侧），过M，N分别作x轴的垂线交x轴于点M1，N1． ①求证：△PMM1∽△NPN1； ②设直线MN的方程为y＝kx+m，求证：k+m为常数． 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）①利用一线三垂直即可证明； ②先求平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2，设N（x1，kx1+m），M（x2，kx2+m），联立方程组y，整理得x2﹣（2+k）x+1﹣m＝0，由根与系数的关系可得x1+x2＝2+k，x1•x2＝1﹣m，再由△PMM1∽△NPN1，可得，整理后可求k+m＝1或k+m＝0（舍）． 【解答】（1）解：将A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）代入y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣8， ∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9， ∴E（1，﹣9）； （2）①证明：∵PN⊥PM， ∴∠MPN＝90°， ∴∠NPN1+∠MPM1＝90°， ∵NN1⊥x轴，MM1⊥x轴， ∴∠NN1P＝∠MM1P＝90°， ∴∠N1PN+∠PNN1＝90°， ∴∠MPM1＝∠PNN1， ∴△PMM1∽△NPN1； ②证明：由题意可知平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2， 设N（x1，kx1+m），M（x2，kx2+m）， 联立方程组， 整理得x2﹣（2+k）x+1﹣m＝0， ∴x1+x2＝2+k，x1•x2＝1﹣m， ∵△PMM1∽△NPN1， ∴，即， ∴k+m＝（k+m）2， ∴k+m＝1或k+m＝0， ∵M、N与P不重合， ∴k+m＝1， ∴k+m为常数． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． ►考向八 二次函数的其它综合问题 15．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y，其中PF＝PN，FH＝2OF． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线yx2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 ； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线yx2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线yx2的焦点为F，准线方程为l．直线m：yx﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k），直线l过点M（h，k）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线yx2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积． 【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可； （2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得82y0﹣1，然后根据y0，求出y0，进而可得x0，问题得解； （3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，根据两点之间线段最短可得当F，P，E三点共线时，d1+d2的值最小；待定系数法求直线PE的解析式，根据点E是直线PE和直线m的交点，求得点E的坐标为（，），即可求得d1+d2的最小值； （4）根据题意求得抛物线yx2﹣1的焦点坐标为F（0，0），准线l的方程为y＝﹣2，过点P作准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，根据两点之间线段最短可得当D，P，G三点共线时，PO+PD的值最小；求得（），即可求得的面积． 【解答】解：（1）∵抛物线yx2中a， ∴1，1， ∴抛物线yx2的焦点坐标为F（0，1），准线l的方程为y＝﹣1， 故答案为：（0，1），y＝﹣1； （2）由（1）知抛物线yx2的焦点F的坐标为（0，1）， ∵点P（x0，y0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴3y0，整理得：82y0﹣1， 又∵y0， ∴4y0＝82y0﹣1， 解得：y0或y0（舍去）， ∴x0（负值舍去）， ∴点P的坐标为（，）； （3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF＝d1+1，PE＝d2，如图： 若使得d1+d2取最小值，即PF+PE﹣1的值最小，故当F，P，E三点共线时，PF+PE﹣1＝EF﹣1，即此刻d1+d2的值最小； ∵直线PE与直线m垂直，故设直线PE的解析式为y＝﹣2x+b， 将F（0，1）代入解得：b＝1， ∴直线PE的解析式为y＝﹣2x+1， ∵点E是直线PE和直线m的交点， 令﹣2x+1x﹣3，解得：x， 故点E的坐标为（，）， ∴d1+d21． 即d1+d2的最小值为1． （4）∵抛物线yx2﹣1中a， ∴1，1， ∴抛物线yx2﹣1的焦点坐标为（0，0），准线l的方程为y＝﹣2， 过点P作PG⊥准线l交于点G，结合题意和（1）中结论可知PG＝PF，则PO+PD＝PG+PD，如图： 若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故当D，P，G三点共线时，PO+PD＝PG+PD＝DG，即此刻PO+PD的值最小；如图： ∵点D的坐标为（﹣1，），DG⊥准线l， ∴点P的横坐标为﹣1，代入yx2﹣1解得y， 即P（﹣1，），OP， 则△OPD的面积为1． 【点评】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论． 1．（2024•云梦县模拟）如图1，已知直线y＝﹣x+5与坐标轴相交于A，B，点C坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点．点P是抛物线上第一象限一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示． ①求AE+DF的值； ②点P在抛物线上运动时，四边形AEFB的面积S是否存在最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可解答； （2）①设点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），则点D的坐标为（m，﹣m+5），点F的坐标为（m，0），表示出OE，AE，DF，即可解答； ②表示出S，可得对称轴为，0＜m＜5，当点P在对称轴左侧时，S随m的减小而增大，且无限趋近m＝0时S的值，但无法等于；当点P在对称轴右侧时，S随m的增大而增大，且无限趋近m＝5时S的值，但无法等于，即可解答． 【解答】解：（1）由题易得：点A（0，5），B（5，0）， 又∵点C（﹣1，0）， 设此抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）， 把点A（0，5）代入可得﹣5a＝5， 所以a＝﹣1， 所以y＝﹣（x+1）（x﹣5）， 即此抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5． （2）①设点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），则点D的坐标为（m，﹣m+5），点F的坐标为（m，0）， 在Rt△COE和Rt△CFP中， 由得，， ∴（m﹣5）＝5﹣m， ∴AE＝5﹣（5﹣m）＝m， 由点D的坐标为（m，﹣m+5）得DF＝﹣m+5， ∴AE+DF＝m+（﹣m+5）＝5． ②不存在，理由如下： ∵S＝S△AOB﹣S△EOF， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上， 又∵点P在第一象限， ∴0＜m＜5， 当点P在对称轴左侧时，S随m的减小而增大，且无限趋近m＝0时S的值，但无法等于； 当点P在对称轴右侧时，S随m的增大而增大，且无限趋近m＝5时S的值，但无法等于； 所以当点P在第一象限时，不存在S的最大值． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，三角形的面积，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 2．（2024•咸丰县模拟）综合与探究 如图，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式． （2）若PF＝2PE，求m的值． （3）在点P的运动过程中，是否存在m使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据函数图象的特点求A、B、C的坐标，用待定系数法求直线BC的解析式即可； （2）由题可知P（m，m﹣4），则E（m，m2﹣3m﹣4），F（m，0），再由PF＝2PE，得到方程4﹣m＝2（﹣m2+4m），求出m的值即可； （3）先求出PC2＝2m2，PE2＝（m2﹣4m）2，CE2＝m2+（m2﹣3m）2，当∠PCE＝90°时，PE2＝2PC2，解得m＝2或m＝6（舍）；当∠CEP＝90°时，2m2+2（m2﹣3m）2＝2m2，解得m＝3或m＝5（舍）． 【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0， 解得x＝4或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 当x＝0时，y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， 设直线BC的解析式为y＝kx﹣4， 将点B代入可得4k﹣4＝0， 解得k＝1， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣4； （2）∵点P的横坐标为m， ∴P（m，m﹣4），则E（m，m2﹣3m﹣4），F（m，0）， ∴PF＝4﹣m，PE＝﹣m2+4m， ∵PF＝2PE， ∴4﹣m＝2（﹣m2+4m）， 解得m＝4（舍）或m； （3）存在m使得△CPE为等腰直角三角形，理由如下： 由（2）可得，PC2＝2m2，PE2＝（m2﹣4m）2，CE2＝m2+（m2﹣3m）2， 当∠PCE＝90°时，PE2＝2PC2，即（m2﹣4m）2＝4m2， 解得m＝2或m＝6（舍）； 当∠CEP＝90°时，2CE2＝PC2，即2m2+2（m2﹣3m）2＝2m2， 解得m＝3或m＝0（舍）； 综上所述：m的值为3或2． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 3．（2024•十堰三模）已知抛物线y＝ax2x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）填空：a＝　 　，k＝　 ，t＝　 ； （2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQPQ的最大值． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可求解； （2）作PM⊥x轴交于M，可求PMm2m+6，AM＝m﹣3，通过证明△COA∽△AMP，利用，求m的值即可求P点坐标； （3）作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，通过证明△PQN∽△BOC，求出QNPN，PQPN，再由△CNE∽△CBO，求出CNENm，则CQPQ＝CN+PN（m）2，即可求解． 【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2x﹣6， ∴64a+22﹣6＝0， ∴a， ∴yx2x﹣6， 当y＝0时，t2t﹣6＝0， 解得t＝3或t＝8（舍）， ∴t＝3， ∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上， ∴8k﹣6＝0， 解得k； 故答案为：；；3； （2）如图1，作PM⊥x轴交于M， ∵P点横坐标为m， ∴P（m，m2m﹣6）， ∴PMm2m+6，AM＝m﹣3， 在Rt△COA和Rt△AMP中， ∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°， ∴∠OAC＝∠APM， ∴△COA∽△AMP， ∴，即OA•MA＝CO•PM， 3（m﹣3）＝6（m2m+6）， 解得m＝3（舍）或m＝10， ∴P（10，）； （3）如图2，作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E， ∴PNm2m﹣6﹣（m﹣6）m2+2m， ∵PN⊥x轴， ∴PN∥OC， ∴∠PNQ＝∠OCB， ∴Rt△PQN∽Rt△BOC， ∴， ∵OB＝8，OC＝6，BC＝10， ∴QNPN，PQPN， 由△CNE∽△CBO， ∴CNENm， ∴CQPQ＝CN+NQPQ＝CN+PN， ∴CQPQmm2+2mm2m（m）2， 当m时，CQPQ的最大值是． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 4．（2024•武汉模拟）如图1，经过原点的抛物线C1：y＝ax2+4ax（a＞0），点A为其顶点． （1）若顶点A点的坐标为（﹣2，﹣4），请直接写出抛物线的解析式 　 ； （2）在（1）的条件下，抛物线C1交x轴于另一点B，点Q在y轴负半轴上，在抛物线C1上找点P，使∠PBO＝∠AOQ，求点P的坐标； （3）如图2，将抛物线C1平移得到顶点在坐标原点的抛物线C2：y＝ax2（a＞0），且抛物线C2与直线l：y＝x+b交于D，E两点（点D在点E左侧），连接OD，OE，若∠DOE＝45°，求ab的值． 【分析】（1）将点A（﹣2，﹣4）代入y＝ax2+4ax，可求a的值； （2）过点A作AG⊥y轴交于G点，可推导出tan∠PBO，过点B作BM⊥AO交于y轴于M点，交抛物线于点P，则M（0，﹣2），直线BM与抛物线的交点为P点；作直线yx﹣2关于x轴的对称直线为yx+2，该直线与抛物线的交点为另一P点． （3）在x轴上取点K，F，连接DK，EF，使∠DKO＝∠EFO＝45°，过点D作DH⊥x轴交于H点，过点E作EN⊥x轴交于N点，可证明△DKO∽△OEF，则，设D（n，an2），E（t，at2），能得到①，当ax2＝x+b时，根据根与系数的关系可得n+t，nt②，联立①②可得ab＝6． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，﹣4）代入y＝ax2+4ax， ∴4a﹣8a＝﹣4， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2+4x， 故答案为：y＝x2+4x； （2）当y＝0时，x2+4x＝0， 解得x＝0或x＝﹣4， ∴B（﹣4，0）， ∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4， ∴A（﹣2，﹣4）， 过点A作AG⊥y轴交于G点， ∴AG＝2，OG＝4， ∴tan∠AOG， ∵∠PBO＝∠AOQ， ∴tan∠PBO， 过点B作BM⊥AO交于y轴于M点，交抛物线于点P， ∵BO＝4， ∴OM＝2， ∴M（0，﹣2）， 设直线BM的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BM的解析式为yx﹣2， 当x﹣2＝x2+4x时，解得x＝﹣4或x， ∴P（，）； 作直线yx﹣2关于x轴的对称直线为yx+2， 当x+2＝x2+4x时，解得x＝﹣4或x， ∴P（，）； 综上所述：P点坐标为（，）或（，）； （3）在x轴上取点K，F，连接DK，EF，使∠DKO＝∠EFO＝45°，过点D作DH⊥x轴交于H点，过点E作EN⊥x轴交于N点， ∵∠DOE＝45°， ∴∠KDO+∠DOK＝∠DOK+∠EOF， ∴∠KDO＝∠EOF， ∴△DKO∽△OEF， ∴， 设D（n，an2），E（t，at2）， ∴OH＝﹣n，DH＝KH＝an2，EN＝NF＝at2，ON＝t， ∴KO＝an2﹣n，OF＝t+at2，DKan2，EFat2， ∴①， 当ax2＝x+b时，n+t，nt②， 联立①②可得ab＝6． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 5．（2024•广水市模拟）已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图（1），点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值； （3）如图（2），过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据顶点式设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，结合点B（﹣2，﹣3），求得a即可； （2）利用待定系数法求得直线OB的解析式为，设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为，利用平行可得，得到即可求得最值； （3）过点P作PQ∥y轴交x轴于点Q，求得C（﹣3，0），D（1，0），设P（t，t2+2t﹣3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，利用平行得△CEF∽△CQP，有，求得，同理得，化简得EF+EG＝8即可． 【解答】解：（1）根据抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣4， ∵抛物线经过点B（﹣2，﹣3）， ∴a（﹣2+1）2﹣4＝﹣3， 解得a＝1， 则y＝x2+2x﹣3； （2）设直线OB的解析式为y＝kx，过点B（﹣2，﹣3），则﹣2k＝﹣3， 解得， 那么直线OB的解析式为， 设M（t，t2+2t﹣3），MN＝s， 则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为， 由MN∥x轴，得， 解得， 当时，MN有最大值，最大值为； （3）EF+EG为定值．理由如下， 如图，过点P作PQ∥y轴交x轴于点Q， 在y＝x2+2x﹣3中，令y＝0解得x＝﹣3或x＝1， 故C（﹣3，0），D（1，0）， 设P（t，t2+2t﹣3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t， ∵PQ∥EF， ∴△CEF∽△CQP， ∴， ∴ 同理，△EGD∽△QPD， ∴， ∴ ∴， 故EF+EG是定值，且为8． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、求二次函数的最值以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练二次函数的性质和相似三角形的性质． 6．（2024•新洲区模拟）已知抛物线C1：y＝ax2﹣3ax+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）写出抛物线的解析式； （2）如图1，E是第四象限抛物线上一点，AE交y轴于点D，若CECD，求直线AE的解析式； （3）如图2，平移抛物线C1得到抛物线C2，使其顶点为（0，），Q为x轴上一点，直线QF和QG与抛物线都只有一个公共点，且分别与y轴交于点F，G，P为y轴上点F，G上方一点，若∠PQF＝∠PGQ，求点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点E作EH⊥y轴于点H，设E（t，t2t﹣2），则直线AE的解析式为y（t﹣4）xt﹣2，所以D（0，t﹣2），分别求出CHt，OH＝OC+CH＝2t，由t2t﹣2＝﹣（2t），解得t1＝0（舍），t2，即可求直线AE的解析式； （3）设Q（m，0），求直线QF的解析式为y＝k1x﹣k1m，当k1x﹣k1mx2时，可得2mk1﹣1＝0，设直线QG的解析式为y＝k2x+b，同理有2mk2﹣1＝0，则k1，k2为一元二次方程k2﹣2mk﹣1＝0的两根，根据根与系数的关系可得k1+k2＝2m，k1k2＝﹣1，设P（0，t），证明△PQF∽△PGQ，可得PQ2＝PF•PG，由方程m2+t2＝（t+k1m） （t+k2m），求出t＝1，即可得P（0，1）． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），C（0，﹣2）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x﹣2； （2）过点E作EH⊥y轴于点H，设E（t，t2t﹣2）， 设直线AE的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴直线AE的解析式为y（t﹣4）xt﹣2， ∴D（0，t﹣2）， ∵C（0，﹣2）， ∴CDt， ∵CECD， ∴CEt， ∵EH＝t， ∴CHt，OH＝OC+CH＝2t， ∴t2t﹣2＝﹣（2t）， 解得t1＝0（舍），t2， ∴直线AE的解析式为yx； （3）设Q（m，0）， 设直线QF的解析式为y＝k1x+b'， ∴k1m+b'＝0， 解得b'＝﹣k1m， ∴直线QF的解析式为y＝k1x﹣k1m， 当k1x﹣k1mx2时，整理得x2﹣2k1x+1+2k1m＝0， ∴Δ1﹣2k1m＝0， ∴2mk1﹣1＝0， 设直线QG的解析式为y＝k2x+b，同理有2mk2﹣1＝0， ∴k1，k2为一元二次方程k2﹣2mk﹣1＝0的两根， ∴k1+k2＝2m，k1k2＝﹣1， 设P（0，t）， ∴PF＝t+k1m，PG＝t+k2m，PQ2＝m2+t2， ∵∠PQF＝∠PGQ，∠FPQ＝∠GPQ， ∴△PQF∽△PGQ， ∴PQ2＝PF•PG， ∴m2+t2＝（t+k1m） （t+k2m）， ∴m2＝k1k2m2+tm（k1+k2）＝﹣m2+2tm2， ∴2m2（t﹣1）＝0， ∵m≠0， ∴t﹣1＝0， ∴t＝1， ∴P（0，1）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 7．（2024•汉川市模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），C（4，5）两点，与x轴交于点B（5，0）． （1）则抛物线的解析式为 　 　； （2）如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，连接BC，BE，设点P的横坐标为m． ①当PE＝2ED时，求P点坐标； ②当点P在抛物线上运动的过程中，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，请求出此时m的值． 【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）①可得出P点坐标（m，﹣m2+4m+5），则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标； ②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于m的方程，即可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（4，5），B（5，0），代入抛物线解析式得： ，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5， 故答案为：y＝﹣x2+4x+5； （2）①∵点P的横坐标为m， ∴P（m，﹣m2+4m+5），则E（m，m+1），D（m，0）， 则PE＝|﹣m2+4m+5﹣（m+1）|＝|﹣m2+3m+4|，DE＝|m+1|， ∵PE＝2ED， ∴|﹣m2+3m+4|＝2|m+1|， 当﹣m2+3m+4＝2（m+1）时，解得m＝﹣1或m＝2，但当m＝﹣1时，P与A重合不合题意，舍去， ∴P（2，9）； 当﹣m2+3m+4＝﹣2（m+1）时，解得m＝﹣1或m＝6，但当m＝﹣1时，P与A重合不合题意，舍去， ∴P（6，﹣7）； 综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）； ②∵P（m，﹣m2+4m+5），E（m，m+1），C（4，5），B（5，0）， ∴CE|m﹣4|， BE， BC， 当△BEC为等腰三角形时，则有BE＝CE、CE＝BC或BE＝BC三种情况， 当BE＝CE时，则|m﹣4|， 解得m； 当CE＝BC时，则 |m﹣4|，解得m＝4或m＝4； 当BE＝BC时，则， 解得m＝0或m＝4（舍去）； 综上可知，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，此时m的值为或4或4或0． 【点评】本题为二次函数的综合题，考查了待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标分别表示出PE和ED的长是解题关键，在（2）②中用P点坐标表示出BE、CE和BC的长是解题的关键，注意分三种情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 8．（2024•孝感一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）经过点A（2，0），点B（0，3）．点P在抛物线上，其横坐标为m． （1）求此抛物线解析式； （2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出x的取值范围； （3）若此抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最高点的纵坐标为﹣2﹣m． ①求m的值； ②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式求出此抛物线与x轴的交点横坐标为x1＝﹣6，x2＝2，再结合函数图象，由此即可得； （3）①先求出抛物线的对称轴和顶点坐标、以及点P的坐标，再分m≤﹣2和m＞2两种情况，分别画出函数图象，利用函数的增减性求解即可得； ②设点Q的坐标为Q（2，n），分m＝﹣6和两种情况，分别根据等腰直角三角形的定义建立方程组，解方程组即可得． 【解答】解：（1）根据题意得： ， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； （2）令y＝0，则， 解得：x1＝﹣6，x2＝2， 根据图象可知，P在x轴上方时，x的取值范围是﹣6＜x＜2； （3）∵， ∴抛物线的顶点坐标是（﹣2，4）， ①当m≤﹣2时，点P在对称轴上或对称轴左侧，最高点坐标为（﹣2，4）， ∴﹣2﹣m＝4，解得m＝﹣6， 当m＞2时，点P在对称轴右侧，最高点纵坐标为， ∴， 解得：， ∴m的值为﹣6或； ②当m＝﹣6时，如图①， 以P或A为直角顶点作等腰直角三角形，点Q不能落在对称轴上，因为直角边PQ或AQ和对称轴平行；以点Q为直角顶点作等腰直角三角形，点Q恰好落在抛物线的顶点上，根据对称性可知 Q1（﹣2，4），显然 Q1关于x轴对称点Q2也满足条件，Q2（﹣2，﹣4）； 当 时，如图②， 通过绘图可知，由点A 或点Q为直角顶点均不存在满足条件的等腰直角三角形，以P为直角顶点可以作出满足条件的等腰直角三角形． 过点P分别作x轴和对称轴的垂线，垂足分别为M、N， 对称轴与x轴的交点为G．则， 当时，， ∴， ∴， ∴PM＝MG， ∵GM＝PN， ∴PM＝PN， 又∵AP＝PQ3， ∴△PMA≌△PNQ3（SSS）， ∴AM＝Q3N， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）或． 【点评】本题考查了二次函数的综合运用、等腰直角三角形、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 9．（2024•湖北一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求得抛物线的解析式； （2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，由PE∥x轴，得△EPD∽△ABD，进而得出（t）2，再运用二次函数的性质即可求得答案； （3）设点P的坐标，则点M的坐标可表示，PM长度可表示，利用翻折推出PM＝CM，列方程求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图， 设P（t，﹣t2﹣2t+3）， ∵PE∥x轴， ∴点E的纵坐标为﹣t2﹣2t+3， 则﹣t2﹣2t+3＝x+3， ∴x＝﹣t2﹣2t， ∴E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3）， ∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t， ∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB＝1﹣（﹣3）＝4， ∵PE∥x轴， ∴△EPD∽△ABD， ∴， ∴（t）2， ∵0， ∴当t时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（，）； （3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3）， 则M（m，m+3）， ∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|， CM|m|， ∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上， 而PM∥y轴， ∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′， ∴∠PCM′＝∠MPC， ∴∠PCM＝∠MPC， ∴PM＝CM， ∴|m2+3m||m|， 当m2+3mm时， 解得：m1＝0（舍去），m23， 此时点M（3，）； 当m2+3mm时， 解得：m1＝0（舍去），m23， 此时点M（3，）； 综上，点M的坐标为（3，）或（3，）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一问推出PM＝CM为解题关键． 10．（2024•茅箭区一模）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由； （3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据直线y＝﹣x+5经过点B，C，即可确定B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可； （2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB＝OC得到∠ABP＝45°，进一步说明∠APB＝90°，则∠APC＝90°即可判定△APC的形状； （3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C， ∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）． 当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）． ∴． 解得． ∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5； （2）△APC为直角三角形，理由如下： ∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5． ∴A（1，0），B（5，0）． ∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴直线l为x＝3， ∴△APB为等腰三角形． ∵C的坐标为（0，5），B的坐标为（5，0）， ∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°． ∵PA＝PB， ∴∠PAB＝∠ABP＝45°， ∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°． ∴∠APC＝180°﹣90°＝90°． ∴△APC为直角三角形； （3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E， ∵M1A＝M1C， ∴∠ACM1＝∠CAM1． ∴∠AM1B＝2∠ACB． ∵△ANB为等腰直角三角形． ∴AH＝BH＝NH＝2． ∴N（3，2）． 设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）． ∵C（0，5），A（1，0）， ∴． 解得b＝5，k＝﹣5． ∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5， 设EM1的函数解析式为yx+n， ∵点E的坐标为（）． ∴n， 解得：n． ∴EM1的函数解析式为yx． ∵． 解得． ∴M1的坐标为（）； 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2， 设M2（a，﹣a+5）， 则有：3，解得a． ∴﹣a+5． ∴M2的坐标为（，）． 综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 【点评】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图象、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 11．（2024•宜昌模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作PD⊥PA，交直线l于点D．若PA＝PD，求m的值； （3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥EP交EP的延长线于点F，先证明△PAE≌△DPF（AAS），得PE＝DF，根据P（m，﹣m2+2m+3），表示出点D的横坐标，根据直线l的解析式为x＝1，点D在直线l上，则m2﹣m﹣3＝1，且点P在直线l的右侧时，即1＜m＜3，得出m的值； （3）①先根据待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再分当﹣1＜m＜0时，点P在点Q的左侧，当0＜m＜3时，点P在点Q的右侧两种情况讨论；②画出函数图象，分析图象即可得出结论． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， 抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3， 故b＝2，c＝3； （2）过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥EP交EP的延长线于点F， ∴∠PEA＝∠F＝90°， ∵PD⊥PA，PA＝PD， ∴∠PAE+∠APE＝90°，∠DPF+∠APE＝90°， ∴∠PAE＝∠DPF， ∴△PAE≌△DPF（AAS）， ∴PE＝DF， ∵P（m，﹣m2+2m+3），A（﹣1，0）， ∴PE＝DF＝﹣m2+2m+3，点D的横坐标为m﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣m﹣3， 直线l的解析式为x＝1，点D在直线l上， ∴m2﹣m﹣3＝1，且点P在直线l的右侧时，即1＜m＜3， ∴； （3）①抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3， x＝0时，y＝3，即C（0，3），B（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ， 解得：， 故直线BC的解析式为y＝﹣x+3， y＝﹣x+3＝﹣m2+2m+3时，x＝m2﹣2m，即Q（m2﹣2m，﹣m2+2m+3）， 当﹣1＜m＜0时，点P在点Q的左侧，d＝PQ＝m2﹣2m﹣m＝m2﹣3m， 当0＜m＜3时，点P在点Q的右侧，d＝PQ＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m， 故； ②绘制的函数图象如图所示： 点，B（0，0），C（3，0）， 故当时，m的值只有1个，故点P只有1个； 当时，m的值只有2个，故点P只有2个； 画出﹣1＜m≤3时，d与m的关系图象如图， 1．d＝0时，点p的位置只有一个，即P与B重合， 2.0＜d时，对于d的每一个确定的值，点p有三个不同的位置， 3．d时，点p有两个不同的位置，坐标为（，3），（，）， 4.d＜4时，对于d的每一个确定值，点P只有一个不同的值， 5．d≥4时，没有符合要求的点p． 综上，故当p＝±2时，点p都有3个不同的位置；当d＝0时，点p的位置只有一个，0＜d时，点p有三个不同的位置，d时，点p有两个不同的位置，d＜4时，对于d的每一个确定值，点P只有一个不同的值，d≥4时，没有符合要求的点p．． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，本题的关键是运用分类讨论的思想方法． 12．（2024•武汉模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）． （1）直接写出该抛物线的解析式； （2）如图（1），在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，求点E的坐标； （3）如图（2），过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点D作DS⊥x轴于S，延长CE交x轴于G，可证得△CGO∽△ADS，求得G（﹣6，0），运用待定系数法可得直线CG的解析式为yx﹣3，再联立方程组即可求得点E的坐标（，）； （3）分别过点F、G作x、y轴的垂线交于点H，设P（﹣1，m），可得直线FG的解析式为y＝px+p+m，与抛物线y＝x2+2x﹣3联立可得x2+（2﹣p）x﹣3﹣p﹣m＝0，利用根与系数关系得xF+xG＝p﹣2，xFxG＝﹣3﹣p﹣m，设M（xM，yM），根据M是线段FG的中点，可得xM，得出MN，FG2＝（1+p2）（p2+4m+16），令t，即FG2＝t2MN2，可得（1+p2）（p2+4m+16）＝t2（）2，整理得（t2﹣16）p2+（4m+16）t2﹣16＝0，由t是定值，得t的取值与p无关，故t2﹣16＝0，且（4m+16）t2﹣16＝0，即可求得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4）， ∴y＝a（x+1）2﹣4， 把A（﹣3，0）代入y＝a（x+1）2﹣4， ∴a（﹣3+1）2﹣4＝0， 解得：a＝1， ∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3， ∴该抛物线的解析式y＝x2+2x﹣3； （2）过点D作DS⊥x轴于S，延长CE交x轴于G， ∵∠COG＝∠ASD＝90°，∠OCE＝∠OAD， ∴△CGO∽△ADS， ∴，即， ∴OG＝6， ∴G（﹣6，0）， 设直线CG的解析式为y＝kx+d，则， 解得：， ∴直线CG的解析式为yx﹣3， 与抛物线解析式y＝x2+2x﹣3联立得， 解得：（舍去），， ∴点E的坐标为（，）； （3）如图（2），分别过点F、G作x、y轴的垂线交于点H， ∵点P在对称轴上，设P（﹣1，m）， 设直线FG的解析式为y＝px+q，则﹣p+q＝m， ∴q＝p+m， ∴直线FG的解析式为y＝px+p+m， 与抛物线y＝x2+2x﹣3联立得， 整理得：x2+（2﹣p）x﹣3﹣p﹣m＝0， ∴xF+xG＝p﹣2，xFxG＝﹣3﹣p﹣m， 设M（xM，yM）， ∵M是线段FG的中点， ∴xG﹣xM＝xM﹣xF， ∴xM， 当xM时，yM＝pp+m， ∴M（，）， 将x代入y＝x2+2x﹣3，得y， ∴N（，）， ∴MN， 在Rt△FGH中，FG2＝FH2+GH2＝（yG﹣yF）2+（xG﹣xF）2＝（1+p2）（xG﹣xF）2， ∵（xG﹣xF）2＝（xG+xF）2﹣4xFxG＝（p﹣2）2﹣4（﹣3﹣p﹣m）＝p2+4m+16， ∴FG2＝（1+p2）（p2+4m+16）， 令t， ∴FG2＝t2MN2， ∴（1+p2）（p2+4m+16）＝t2（）2， 整理得（t2﹣16）p2+（4m+16）t2﹣16＝0， ∵t是定值， ∴t的取值与p无关， ∴t2﹣16＝0，且（4m+16）t2﹣16＝0， 解得：t＝4，m， ∴P（﹣1，）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 二次函数的综合应用（压轴题） 课标要求 考点 考向 1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2. 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 3. 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题。 4. 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 二 次 函 数 的 综 合 应 用 考向一 二次函数与面积的综合问题 考向二 二次函数与特殊图形的综合问题 考向三 二次函数与角度的综合问题 考向四 二次函数与相似三角形的综合问题 考向五 二次函数与线段交点的综合问题 考向六 二次函数与定值（定点）的综合问题 考向七 二次函数与字母取值范围问题 考向八 二次函数的其它综合问题 考点一 二次函数的综合应用 ►考向一 二次函数与面积的综合问题 1．（2023•湖北）已知抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC． （1）直接写出结果；b＝　 ，c＝　 　，点A的坐标为 　 　，tan∠ABC＝　 ； （2）如图1，当∠PCB＝2∠OCA时，求点P的坐标； （3）如图2，点D在y轴负半轴上，OD＝OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD＝90°．点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE＝DF，记BE+QF的最小值为m． ①求m的值； ②设△PCB的面积为S，若，请直接写出k的取值范围． 2．（2023•荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b． （1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　 　； （2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2． ①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积； ②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． ►考向二 二次函数与特殊图形的综合问题 3．（2023•恩施州）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线yx2+bx+c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B． （1）如图，若A（0，），抛物线的对称轴为直线x＝3．求抛物线的解析式，并直接写出y时x的取值范围； （2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标； （3）若抛物线yx2+bx+c经过点D（m，2），E（n，2），F（1，﹣1），且m＜n，求正整数m，n的值． 4．（2023•宜昌）如图，已知A（0，2），B（2，0）．点E位于第二象限且在直线y＝﹣2x上，∠EOD＝90°，OD＝OE，连接AB，DE，AE，DB． （1）直接判断△AOB的形状：△AOB是 　 三角形； （2）求证：△AOE≌△BOD； （3）直线EA交x轴于点C（t，0），t＞2．将经过B，C两点的抛物线y1＝ax2+bx﹣4向左平移2个单位，得到抛物线y2． ①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值； ②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值； ③将抛物线y2再向下平移个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标． ►考向三 二次函数与角度的综合问题 5．（2024•武汉）抛物线yx2+2x交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标； （3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式． 6．（2023•黄石）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知抛物线上有一点P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值； （3）若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值． 7．（2023•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标； （3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围． ►考向四 二次函数与相似三角形的综合问题 8．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值； （3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 9．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N． （1）直接写出抛物线和直线BC的解析式； （2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值； （3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由． ►考向五 二次函数与线段交点的综合问题 10．（2024•湖北）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N，设L的顶点横坐标为n，NC的长为d． ①求d关于n的函数解析式； ②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域（不含边界）记为W，当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围． ►考向六 二次函数与字母取值范围问题 11．（2023•襄阳）在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b经过抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m（m≠0）的顶点． （1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为P． ①求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标； ②t≤x≤t+1时，y的最小值为2，求t的值； ③当k＝2时．动点E在直线l下方的抛物线上，过点E作EF∥x轴交直线l于点F，令S＝EF，求S的最大值． （2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为Q．当直线l同时经过点Q和（1）中抛物线的顶点P时，设直线l与抛物线的另一个交点为B，与y轴的交点为A．若|QB﹣QA|≥1，直接写出k的取值范围． 12．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B． （1）求点B的坐标及直线AC的解析式； （2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值； （3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围． ►考向七 二次函数与定值（定点）的综合问题 13．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC． （1）抛物线的解析式为 　 ；（直接写出结果） （2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数； （3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由． 14．（2022•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）． （1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标； （2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c向上平移，使顶点E落在x轴上的P点，此时的抛物线记为C，过P作两条互相垂直的直线与抛物线C交于不同于P的M，N两点（M位于N的右侧），过M，N分别作x轴的垂线交x轴于点M1，N1． ①求证：△PMM1∽△NPN1； ②设直线MN的方程为y＝kx+m，求证：k+m为常数． ►考向八 二次函数的其它综合问题 15．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y，其中PF＝PN，FH＝2OF． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线yx2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 ； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线yx2上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线yx2的焦点为F，准线方程为l．直线m：yx﹣3交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k），直线l过点M（h，k）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点D（﹣1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线yx2﹣1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积． 1．（2024•云梦县模拟）如图1，已知直线y＝﹣x+5与坐标轴相交于A，B，点C坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点．点P是抛物线上第一象限一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示． ①求AE+DF的值； ②点P在抛物线上运动时，四边形AEFB的面积S是否存在最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024•咸丰县模拟）综合与探究 如图，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．若点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式． （2）若PF＝2PE，求m的值． （3）在点P的运动过程中，是否存在m使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 3．（2024•十堰三模）已知抛物线y＝ax2x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）填空：a＝　 　，k＝　 ，t＝　 ； （2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； （3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQPQ的最大值． 4．（2024•武汉模拟）如图1，经过原点的抛物线C1：y＝ax2+4ax（a＞0），点A为其顶点． （1）若顶点A点的坐标为（﹣2，﹣4），请直接写出抛物线的解析式 　 ； （2）在（1）的条件下，抛物线C1交x轴于另一点B，点Q在y轴负半轴上，在抛物线C1上找点P，使∠PBO＝∠AOQ，求点P的坐标； （3）如图2，将抛物线C1平移得到顶点在坐标原点的抛物线C2：y＝ax2（a＞0），且抛物线C2与直线l：y＝x+b交于D，E两点（点D在点E左侧），连接OD，OE，若∠DOE＝45°，求ab的值． 5．（2024•广水市模拟）已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图（1），点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值； （3）如图（2），过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 6．（2024•新洲区模拟）已知抛物线C1：y＝ax2﹣3ax+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）写出抛物线的解析式； （2）如图1，E是第四象限抛物线上一点，AE交y轴于点D，若CECD，求直线AE的解析式； （3）如图2，平移抛物线C1得到抛物线C2，使其顶点为（0，），Q为x轴上一点，直线QF和QG与抛物线都只有一个公共点，且分别与y轴交于点F，G，P为y轴上点F，G上方一点，若∠PQF＝∠PGQ，求点P的坐标． 7．（2024•汉川市模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），C（4，5）两点，与x轴交于点B（5，0）． （1）则抛物线的解析式为 　 　； （2）如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E，连接BC，BE，设点P的横坐标为m． ①当PE＝2ED时，求P点坐标； ②当点P在抛物线上运动的过程中，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，请求出此时m的值． 8．（2024•孝感一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）经过点A（2，0），点B（0，3）．点P在抛物线上，其横坐标为m． （1）求此抛物线解析式； （2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出x的取值范围； （3）若此抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最高点的纵坐标为﹣2﹣m． ①求m的值； ②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标． 9．（2024•湖北一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 10．（2024•茅箭区一模）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由； （3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2024•宜昌模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作PD⊥PA，交直线l于点D．若PA＝PD，求m的值； （3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 12．（2024•武汉模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）． （1）直接写出该抛物线的解析式； （2）如图（1），在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，求点E的坐标； （3）如图（2），过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$