专题14 图形的性质——圆（8类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题14 图形的性质--- 圆 课标要求 考点 考向 1. 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 2. 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 3. 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧) 所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 4. 了解三角形的内心与外心。 5. 了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。 6. 能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。 7. 会计算圆的弧长、扇形的面积。 8. 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 相 交 线 与 平 行 线 三 角 形 考向一 圆中的计算---求角度 考向二 圆中的计算---求线段长 考向三 圆中的计算---求弧长 考向四 圆中的计算---求阴影部分的面积 考向五 圆锥的计算 考向六 圆的证明---圆的切线与判定 考向七 圆的证明---圆与相似 考向八 圆的综合应用 考点一 图形的性质---相交线与平行线 ►考向一 圆中的计算---求角度 1．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【分析】先根据外角性质得∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，再由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°即可求得∠ADC． 【解答】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°， ∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理得OA10，即可求出答案． 【解答】解：∵AD＝CD＝8， ∴OB⊥AC， 在Rt△AOD中，OA10， ∴OB＝10， ∴BD＝10﹣6＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OB⊥AC是解题的关键． 3．（2022•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据圆内接四边形的性质，可以得到∠A的度数，再根据圆周角和圆心角的关系，可以得到∠BOD的度数，然后根据OB＝OD，即可得到∠OBD的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝110°， ∴∠A＝70°， ∵∠BOD＝2∠A＝140°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵∠OBD+∠ODB+∠BOD＝180°， ∴∠OBD＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2023•随州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为 　 　． 【分析】连接OC，根据垂径定理及圆心角、弧、弦的关系求得∠AOC的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得答案． 【解答】解：如图，连接OC， ∵OA⊥BC， ∴， ∴∠AOC＝∠AOB＝60°， ∴∠ADC∠AOC＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查圆的有关性质的应用，结合已知条件求得∠AOC的度数是解题的关键． 5．（2023•襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝　 　度． 【分析】首先根据圆内接四边形的性质得∠B＝∠ADE＝70°，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出∠AOC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝70°， ∴∠B＝∠ADE＝70°， ∴∠AOC＝2∠B＝140°． 故答案为：140． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键． ►考向二 圆中的计算---求线段长 6．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．（4）米 C．2米 D．（4）米 【分析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到ADAB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：连接OC交AB于D，连接OA， ∵点C为运行轨道的最低点， ∴OC⊥AB， ∴ADAB＝3（米）， 在Rt△OAD中，OD（米）， ∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4）米， 故选：B． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 7．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 　 　cm（玻璃瓶厚度忽略不计）． 【分析】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为r cm，由垂径定理得AM＝DMAD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA， 设球的半径为r cm， 由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm）， 由垂径定理得：AM＝DMAD＝6（cm）， 在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2， 即62+（12﹣r）2＝r2， 解得：r＝7.5， 即球的半径为7.5cm， 故答案为：7.5． 【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 8．（2022•武汉）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（　　） A．cm B．8cm C．6cm D．10cm 【分析】如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H．利用面积法构建方程求解． 【解答】解：如图，当AB，BC，CD相切于⊙O于点E，F，G时，⊙O的面积最大．连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，过点D作DH⊥BC于点H． ∵AD∥CB，∠BAD＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∵∠DHB＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴AB＝DH＝20cm，AD＝BH＝9cm， ∵BC＝24cm， ∴CH＝BC﹣BH＝24﹣9＝15（cm）， ∴CD25（cm）， 设OE＝OF＝OG＝r cm， 则有（9+24）×2020×r24×r25×r9×（20﹣r）， ∴r＝8， 故选：B． 【点评】本题考查切线的性质，直角梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法构建方程解决问题． 9．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB． （1）直接判断AD与BD的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）． 【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论； （2）设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果． 【解答】解：（1）∵OC⊥AB， ∴AD＝BD； （2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5， ∴BDAB＝13， OD＝OC﹣CD＝R﹣5， ∵∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2， ∴（R﹣5）2+132＝R2， 解得R＝19.4≈19， 答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m． 【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理．此题难度不大，解题的关键是方程思想的应用． 10．（2023•武汉）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC． （1）求证：∠AOB＝2∠BOC； （2）若AB＝4，，求⊙O的半径． 【分析】（1）利用圆周角定理可得，，结合∠ACB＝2∠BAC可证明结论； （2）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，即可求得BE＝2，，利用勾股定理可求解DE＝1，再利用勾股定理可求解圆的半径． 【解答】（1）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC， ∴∠AOB＝2∠BOC； （2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB， ∴AE＝BE， ∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB∠AOB， ∴∠DOB＝∠BOC． ∴BD＝BC． ∵AB＝4，， ∴BE＝2，， 在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°， ∴， 在Rt△BOE中，∠OEB＝90°， OB2＝（OB﹣1）2+22， 解得， 即⊙O的半径是 ． 【点评】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是解题的关键． ►考向三 圆中的计算---求弧长 11．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，则的长为（　　） A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm 【分析】先根据垂径定理求出AD的长，由题意得OD＝OA﹣BD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的值，然后再利用三角比计算出所对的圆心角的度数，由弧长公式求出的长即可． 【解答】解：∵OB⊥AC， ∴AD AC＝150m，∠AOC＝2∠AOB， 在Rt△AOD中， ∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB， ∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2， ∴（OA﹣150）2＝OA2， 解得：OA＝300m， ∴sin∠AOB， ∴∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴的长200πm． 故选：B． 【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出AD的长，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式． 12．（2022•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．2π 【分析】连接CD，根据∠ACB＝90°，∠B＝30°可以得到∠A的度数，再根据AC＝CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【解答】解：连接CD，如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC4， 由题意得：AC＝CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴的长为：， 故选：B． 【点评】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径． 13．（2023•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若DE＝2，GH＝3，求的长l． 【分析】（1）连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，根据等腰三角形的性质得AO为∠BAC的平分线，再根据⊙O与AB相切于点D，DG是⊙O的直径得OD⊥AB，由此可得OM＝OD，进而根据切线的判定可得出结论； （2）方法一：过点E作EN⊥AB于点N，先证△ODE和△OGF全等得DE＝GF＝2，进而得FH＝1，再证△BNE和△CHF全等得EN＝FH＝1，然后在Rt△DEN中利用三角函数可求出∠EDN＝30°，进而得△ODE为等边三角形，据此得∠DOE＝60°，OD＝OE＝DE＝2，则∠DOF＝120°，最后根据弧长公式即可得出答案； 方法二：设∠B＝∠C＝α，则∠DOB＝∠GOF＝90°﹣α，∠CFH＝∠GFO＝90°﹣α，故得∠DOB＝∠CFH，则GO＝GF，进而得△OGF为等边三角形，则∠GOF＝∠DOE＝60°，然后由弧长公式可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OA，过点O作OM⊥AC于点M，如图： ∵AB＝AC，点O是BC的中点， ∴AO为∠BAC的平分线， ∵⊙O与AB相切于点D，DG是⊙O的直径， ∴OD为⊙O的半径， ∴OD⊥AB， 又OM⊥AC， ∴OM＝OD， 即OM为⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解法一：过点E作EN⊥AB于点N，如图： ∵点O为⊙O的圆心， ∴OD＝OG，OE＝OF， 在△ODE和△OGF中， ， ∴△ODE≌△OGF（SAS）， ∴DE＝GF， ∵DE＝2，GH＝3， ∴GF＝2， ∴FH＝GH﹣GF＝3﹣2＝1， ∵AB＝AC，点O是BC的中点， ∴OB＝OC，∠B＝∠C， 又OE＝OF， ∴BE＝CF， ∵GH⊥AC，EN⊥AB， ∴∠BNE＝∠CHF＝90°， 在△BNE和△CHF中， ， ∴△BNE≌△CHF（AAS）， ∴EN＝FH＝1， 在Rt△DEN中，DE＝2，EN＝1， ∴sin∠EDN， ∴锐角∠EDN＝30°， 由（1）可知：OD⊥AB， ∴∠ODE＝90°﹣∠EDN＝90°﹣30°＝60°， 又OD＝OE， ∴△ODE为等边三角形， ∴∠DOE＝60°，OD＝OE＝DE＝2， ∴的长l． 解法二：∵AB＝AC， ∴设∠B＝∠C＝α， ∵GH⊥AC，AC是⊙O的切线， ∴∠DOB＝∠GOF＝90°﹣∠B＝90°﹣α，∠CFH＝∠GFO＝90°﹣∠C＝90°﹣α， ∴∠DOB＝∠CFH， ∴GO＝GF， 又∵OF＝OG， ∴△OGF为等边三角形， ∴∠GOF＝∠DOE＝60°， 又∵OD＝OE＝DE＝2， ∴的长l． 【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算公式，熟练掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答此题的关键． 14．（2024•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若AD，AE＝1，求的长． 【分析】（1）连接OD，证明△OBD≌△OBC，得到∠ODB＝∠OCD＝90°，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）Rt△OAD中，解直角三角形求得OD＝1，∠AOD＝60°，进而求得∠BOC＝60°，根据弧长公式即可求得答案． 【解答】（1）证明：连接OD， 在△OBD和△OBC中， ， ∴△OBD≌△OBC（SSS）， ∴∠ODB＝∠OCD＝90°， ∴OD⊥AB， ∵OD是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为R， 在Rt△OAD中，AD，AE＝1，AO＝AE+OE＝1+R，OD＝R，AD2+OD2＝AO2， ∴（）2+R2＝（1+R）2， 解得R＝1， ∴OD＝1， ∴tan∠AOD， ∴∠AOD＝60°， ∴∠COD＝120°， 由（1）知△OBD≌△OBC， ∴∠BOD＝∠BOC∠COD＝60°， ∴的长． 【点评】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，全等三角形的性质和判定，弧长公式，综合运用相关知识是解决问题的关键． ►考向三 圆中的计算---求阴影部分的面积 15．（2023•湖北）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π B．π C．π D．π 【分析】作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC是直角三角形，从而可得∠AOC＝90°，然后根据图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心， 由题意得：OA2＝12+22＝5， OC2＝12+22＝5， AC2＝12+32＝10， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC＝90°， ∵AO＝OC， ∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积 OA•OCAB•1 2×1 1 ， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（2023•鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　） A．5π B．54π C．52π D．102π 【分析】连接OD．解直角三角形求出∠DOB＝60°，BC＝4，再根据S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB，求解即可． 【解答】解：连接OD． 在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4， ∴BCAB＝4， ∴OC＝OD＝OB＝2， ∴∠DOB＝2∠C＝60°， ∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB4×4 ＝832π ＝52π． 故选：C． 【点评】本题考查扇形的面积，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积． 17．（2023•恩施州）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，若O1O2＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π B．π C．π D．π 【分析】连接BO1，BO2，得到BO1＝BO2＝O1O2，因此∠BO2O1＝60°，由相交两圆的性质得到O1O2⊥AB，AH＝BH，因此HO1＝HO2，推出△AHO1≌△BHO2，得到阴影的面积＝扇形O2O1B的面积，求出扇形O2O1B的面积，即可得到答案． 【解答】解：连接BO1，BO2， ∵⊙O1和⊙O2是等圆，⊙O1经过⊙O2的圆心O2， ∴BO1＝BO2＝O1O2， ∴∠BO2O1＝60°， ∵O1O2⊥AB， ∴HO1＝HO2， ∵∠AHO1＝∠BHO2＝90°，AH＝BH ∴△AHO1≌△BHO2， ∴阴影的面积＝扇形O2O1B的面积， ∵扇形O2O1B的面积， ∴阴影的面积． 故选：D． 【点评】本题考查相交两圆的性质，阴影面积的计算，关键是由相交两圆的性质推出△AHO1≌△BHO2，得到阴影的面积＝扇形O2O1B的面积． 18．（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．2π C． D． 【分析】作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE得出答案． 【解答】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切， 设切点为F，连接AF，则AF⊥BC． 在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°， ∴CF＝BF＝1． 在Rt△ACF中，AF， ∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE 2 ， 故选：D． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键． 19．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若CE，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【分析】（1）连接OE、OD，证出OE⊥BC，即可得出结论， （2）根据S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF，分别求出△OEB和扇形OEF的面积即可． 【解答】（1）证明：连接OE、OD，如图： ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠OAD＝∠B＝45°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∵点E是弧DF的中点． ∴∠DOE＝∠EOF∠DOF＝45°， ∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90° ∴OE⊥BC， ∵OE是半径， ∴BC是⊙O的切线， （2）解法一：∵OE⊥BC，∠B＝45°， ∴△OEB是等腰三角形， 设BE＝OE＝x，则OBx， ∴AB＝xx， ∵ABBC， ∴xx（x）， 解得x＝2， ∴S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF2×22． 解法二：过O作OH⊥AC于H， ∵∠C＝90°，OE⊥BC，OH⊥AC， ∴四边形OECH为矩形， ∴OH＝CE， ∵∠A＝45°， ∴OA＝2， ∴S阴影＝SRt△OEB﹣S扇形OEF2×22． 【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键． ►考向五 圆锥的计算 20．（2021•湖北）用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 【分析】圆锥的底面圆半径为r cm，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解． 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r cm，依题意，得 2πr， 解得r＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长． 21．（2023•十堰）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．5 B． C． D． 【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【解答】解：由题意知，底面圆的直径AB＝4， 故底面周长等于4π， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π， 解得n＝120°， 所以展开图中∠ASC＝120°÷2＝60°， 因为半径SA＝SB，∠ASB＝60°， 故三角形SAB为等边三角形， 又∵C为SB的中点， 所以AC⊥SB，在直角三角形SAC中，SA＝6，SC＝3， 根据勾股定理求得AC＝3， 所以蚂蚁爬行的最短距离为3． 故选：B． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． ►考向六 圆的证明---圆的切线与判定 22．（2024•武汉）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点． （1）求证：AB与半圆O相切； （2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值． 【分析】（1）连接OD，连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AC，然后利用角平分线的性质得到OH＝OD，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）在Rt△OCD中，根据勾股定理求得OD＝3，OC＝5，进而得到cosC，在Rt△OCA中，由cosC，即可求出sin∠OAC． 【解答】（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∵AC与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AC， 而OH⊥AB， ∴OH＝OD， ∴AB是⊙O的切线； （2）由（1）知OD⊥AC， 在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF+CF＝OD+2，OD2+CD2＝OC2， ∴OD2+42＝（OD+2）2， ∴OD＝3， ∴OC＝5， ∴cosC， 在Rt△OCA中，cosC， ∴sin∠OAC． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解决问题的关键． 23．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G． （1）求证：FG是⊙O的切线； （2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可证∠B＝∠C＝∠OFC，可证OF∥AB，可得结论； （2）由切线的性质可证四边形GFOE是矩形，可得OE＝GF＝2，由锐角三角函数可求解． 【解答】（1）证明：如图，连接OF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵OF＝OC， ∴∠C＝∠OFC， ∴∠OFC＝∠B， ∴OF∥AB， ∵FG⊥AB， ∴FG⊥OF， 又∵OF是半径， ∴GF是⊙O的切线； （2）解：如图，连接OE，过点O作OH⊥CF于H， ∵BG＝1，BF＝3，∠BGF＝90°， ∴FG2， ∵⊙O与AB相切于点E， ∴OE⊥AB， 又∵AB⊥GF，OF⊥GF， ∴四边形GFOE是矩形， ∴OE＝GF＝2， ∴OF＝OC＝2， 又∵OH⊥CF， ∴CH＝FH， ∵cosC＝cosB， ∴， ∴CH， ∴CF． 【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 24．（2023•鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长． 【分析】（1）连接OC，由等弧所对的圆周角相等得出∠EAC＝∠BAC，根据同圆的半径相等得出∠BAC＝∠OCA，于是有∠EAC＝∠OCA，可得出AE∥OC，再根据CD⊥AE，即可得出OC⊥DF，从而问题得证； （2）连接CE，BC，先根据切割线定理求出AD的长，然后由勾股定理求出AC、CE的长，再根据等弧所对的弦相等得出BC＝CE，在Rt△ACB中根据勾股定理求出AB的长，即可求出⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵点C为的中点， ∴， ∴∠EAC＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA， ∴∠EAC＝∠OCA， ∴AE∥OC， ∴∠ADC＝∠OCF， ∵CD⊥AE， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OCF＝90°， 即OC⊥DF， 又OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连接CE，BC， 由（1）知CD是⊙O的切线， ∴CD2＝DE•AD， ∵DE＝1，DC＝2， ∴AD＝4， 在Rt△ADC中，由勾股定理得， 在Rt△DCE中，由勾股定理得， ∵点C是的中点， ∴， ∴EC＝BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 由勾股定理得， ∴⊙O的半径长是2.5． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理的推论，勾股定理，弧、弦之间的关系定理，熟练掌握这些定理是解题的关键． ►考向七 圆的证明---圆与相似 25．（2023•湖北）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC． （1）求证：AE为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长． 【分析】（1）证明△ABD≌△CED（AAS），得出AB＝CE，则四边形ABCE是平行四边形，AE∥BC，作AH⊥BC于H．得出AH为BC的垂直平分线，则OA⊥AE，又点A在⊙O上，即可得证； （2）过点D作DM⊥BC于M，连接OB，垂径定理得出BH＝HCBC＝3，勾股定理得OH＝4，进而可得AH，勾股定理求得AB，证明DM∥AH，可得△CMD∽△CHA，根据相似三角形的性质得出MH，DM，然后求得BM，勾股定理求得BD，证明△FCD∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明，∵AB∥CE， ∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD， 又∵AD＝CD， ∴△ABD≌△CED（ AAS）， ∴AB＝CE． ∴四边形ABCE是平行四边形． ∴AE∥BC． 作AH⊥BC于H． ∵AB＝AC， ∴AH为BC的垂直平分线． ∴点O在AH上． ∴AH⊥AE． 即OA⊥AE，又点A在⊙O上， ∴AE为⊙O的切线； （2）解：过点D作DM⊥BC于M，连接OB， ∵AH为BC的垂直平分线， ∴BH＝HCBC＝3， ∴OH4， ∴AH＝OA+OH＝5+4＝9， ∴AB＝AC， ∴CDAC， ∵AH⊥BC，DM⊥BC， ∴DM∥AH ∴△CMD∽△CHA， 又AD＝CD， ∴， ∴MHHC，DMAH， ∴BM＝BH+MH＝3， ∴BD， ∵∠CFD＝∠BAD，∠FDC＝∠ADB， ∴△FCD∽△ABD， ∴， ∴， ∴FC＝5． 【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 26．（2023•恩施州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长． 【分析】（1）连接OD，作OM⊥BC于M，由AC＝BC，O是AB中点，得到CO平分∠ACB，CO⊥AB，由切线的性质得到OD⊥AC，由角平分线的性质得到OD＝OM，即可证明BC是⊙O的切线； （2）作OH⊥AF于H，得到FG＝2FH，由等腰直角三角形的性质，求出OA＝4，OD＝2，由勾股定理得到AG2，由cosF，得到，求出GH，得到FG． 【解答】（1）证明：连接OD，作OM⊥BC于M， ∵AC＝BC，O是AB中点， ∴CO平分∠ACB，CO⊥AB， ∵AC切圆于D， ∴OD⊥AC， ∴OD＝OM， ∴BC是⊙O的切线； （2）作OH⊥AG 于H， ∴FG＝2GH， ∵△OAC是等腰直角三角形， ∴OAAC44， ∵△AOD是等腰直角三角形， ∴ODAO＝2， ∴OG＝2， ∴AG2， ∵cosG， ∴， ∴GH， ∴FG． 【点评】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形，关键是证明O到BC的距离等于圆的半径OD长；由等腰直角三角形的性质求出AO，OD的长，由勾股定理求出AG的长，由锐角的余弦求出GH的长，即可得到FG的长． 27．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG． （1）求证：FB2＝FE•FG； （2）若AB＝6，求FB和EG的长． 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC， ∴． ∴∠DBA＝∠G． ∵∠EFB＝∠BFG， ∴△EFB∽△BFG， ∴， ∴FB2＝FE•FG； （2）解：连接OE，如图， ∵AB＝AD＝6，∠A＝90°， ∴BD6． ∴OBBD＝3． ∵点E为AB的中点， ∴OE⊥AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC， ∴OE∥BC，OE＝BEAB． ∴． ∴， ∴， ∴BF＝2； ∵点E为AB的中点， ∴AE＝BE＝3， ∴EC3． ∵AE•BE＝EG•EC， ∴EG． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键． ►考向八 圆的综合应用 28．（2023•荆州）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF． （1）求证：①CD是⊙O的切线； ②△DEF∽△DBA； （2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE． 【分析】（1）①由四边形ABCD是菱形，DH⊥AB，可得∠CDH＝∠DHA＝90°，CD⊥OD，故CD是⊙O的切线； ②连接HF，由DH为⊙O直径，有∠DFH＝90°，可得∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，又∠EDF＝∠BDA，从而△DEF∽△DBA； （2）连接AC交BD于G．由菱形ABCD，BD＝6，得AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，AG4，故AC＝2AG＝8，用面积法可得DH，即得sin∠DFE＝sin∠DAH． 【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∵DH⊥AB， ∴∠CDH＝∠DHA＝90°， ∴CD⊥OD， ∵D为⊙O的半径的外端点， ∴CD是⊙O的切线； ②连接HF， ∴∠DEF＝∠DHF， ∵DH为⊙O直径， ∴∠DFH＝90°， ∴∠DHF＝90°﹣∠BDH， ∵∠DHB＝90°， ∴∠DBA＝90°﹣∠BDH， ∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF， ∵∠EDF＝∠BDA， ∴△DEF∽△DBA； （2）解：连接AC交BD于G． ∵菱形ABCD，BD＝6， ∴AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3， 在Rt△AGB中，AG4， ∴AC＝2AG＝8， ∵S菱形ABCDAC•BD＝AB•DH， ∴DH， 由△DEF∽△DBA知：∠DFE＝∠DAH， ∴sin∠DFE＝sin∠DAH． 【点评】本题考查圆的综合应用，涉及锐角三角函数，勾股定理，菱形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理． 29．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3． （1）填空：∠PBA的度数是 　 　，PA的长为 　 　； （2）求△ABC的面积； （3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值． 【分析】（1）由切线的性质可求∠PBA的度数，由勾股定理可求PA的长； （2）由面积法可求BC的长，由勾股定理可求AC的长，即可求解； （3）通过证明△EAC∽△CAF，由相似三角形的性质可求AC，CF，通过证明△ADC∽△ACB，可求AD的长，通过等腰直角三角形的性质可求EF的长，即可求解． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线， ∴∠PBA的度数为90°， ∵AB＝4，PB＝3， ∴PA5， 故答案为：90°，5； （2）∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵S△ABPAP•BCAB•BP， ∴BC， ∴AC， ∴S△ABCAC•BC； （3）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°＝∠ACB， ∴∠ACD+∠BCD＝90°＝∠ABC+∠BCD， ∴∠ACD＝∠ABC， ∵四边形ABCE是圆的内接四边形， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， ∵∠ACD+∠ACF＝180°， ∴∠AEC＝∠ACF， 又∵∠EAC＝∠FAC， ∴△EAC∽△CAF， ∴， ∵AE＝5EC，AC， ∴CF， ∵∠ADC＝90°＝∠ACB，∠BAC＝∠DAC， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AD， ∴CD，DB， ∴DF＝CD+CFAD， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴AF， ∴， ∴AE＝2， ∴EF＝AF﹣AE， ∵DF∥BG， ∴， ∴， ∴FG， ∴． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 30．（2022•荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x． （1）求证：DE是半圆O的切线： （2）当点E落在BD上时，求x的值； （3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式； （4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围． 【分析】（1）证明OE⊥DE，可得结论； （2）图2中，当点E落在BD上时，利用面积法构建方程求出x即可； （3）图2中，当点E落在BD上时，利用面积法求出AJ，AE，再利用相似三角形的性质求解即可； （4）当⊙O与CD相切时，x＝3，当⊙O经过点C时，x2＝（4﹣x）2+32，解得x，结合图形，判断即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAO＝90°， ∵将△OAD沿OD折叠，得到△OED， ∴∠OED＝∠DAO＝90°， ∴OE⊥DE， ∵OE是半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图2中，当点E落在BD下方时， 在Rt△ADB中，∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4， ∴BD5， ∵S△ADB＝S△ADO+S△BDO， ∴3×43×x5×x， ∴x． （3）解：图2中，当点E落在BD上时， ∵DA＝DE，OA＝OE， ∴OD垂直平分线段AE， ∵•AD•AO•DO•AJ， ∴AJ， ∴AE＝2AJ， ∵AG是直径， ∴∠AEG＝∠ABF＝90°， ∵∠EAG＝∠BAF， ∴△AEG∽△ABF， ∴y（）2（0＜x）； （4）当⊙O与CD相切时，x＝3， 当⊙O经过点C时，x2＝（4﹣x）2+32， ∴x， 观察图象可知，当x＜3或x≤4时，半圆O与△BCD的边有两个交点． 【点评】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题． 1．（2024•云梦县校级一模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠ABD＝40°，则∠APD的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 【分析】利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题． 【解答】解：∵∠ABD＝40°， ∴∠ACD＝∠ABD＝40°， ∵∠CAB＝30°， ∴∠APD＝∠ACD+∠CAB＝70°， 故选：D． 【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 2．（2024•湖北模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，AB∥CD，∠B＝70°，连接AC，则∠CAD的度数为（　　） A．25° B．28° C．30° D．35° 【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠D＝110°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝∠B＝70°，则利用三角形内角和定理计算出∠BAC＝40°，接着根据平行线的性质得到∠ACD＝40°，然后利用三角形内角和计算出 ∠CAD的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣70°＝110°， ∵， ∴∠ACB＝∠B＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝40°， ∴∠CAD＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣110°﹣40°＝30°． 故选：C． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理． 3．（2024•宜昌模拟）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为（　　） A．125° B．120° C．110° D．115° 【分析】连接OA、OB，在优弧上取点D，连接AD、BD，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据圆周角定理求出∠ADB，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【解答】解：连接OA、OB，在优弧上取点D，连接AD、BD， ∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵∠P＝70°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°， 由圆周角定理得：∠ADB∠AOB＝55°， ∵四边形ACBD为⊙O内接四边形， ∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝125°， 故选：A． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 4．（2024•大冶市一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】连接OD，由圆周角定理得出∠AOD＝45°，根据垂径定理可得CE＝DECD，证出△DOE为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案． 【解答】解：连接OD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AB＝4， ∴OD＝2，CE＝DECD， ∵∠ACD＝22.5°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝45°， ∴△DOE为等腰直角三角形， ∴DEOD， ∴CD＝2DE＝2， 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5．（2024•十堰一模）如图，AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O，若AD＝BD＝3，则AC的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】由AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，得BC＝BD，BC⊥AC，则∠C＝90°，而AD＝BD＝3，所以BC＝3，AB＝6，则AC3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O， ∴BC＝BD，BC⊥AC， ∴∠C＝90°， ∵AD＝BD＝3， ∴BC＝3，AB＝AD+BD＝3+3＝6， ∴AC3， 故选：B． 【点评】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理等知识，证明∠C＝90°并且求得BC＝3是解题的关键． 6．（2024•广水市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，弧BD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据BE＝BC求出∠BOD，利用弧长公式求解即可． 【解答】解：如图1，当BE＝BC时， ∵BE＝BC，∠ABC＝40°， ∴∠BCE＝∠BEC（180°﹣40°）＝70°， ∴∠BOD＝2∠BCE＝140°， ∴弧BD的长π． 故选：B． 【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据圆周角定理求出∠BOD＝140°． 7．（2024•湖北模拟）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OC，由切线的性质、等腰三角形的性质和圆周角定理求得∠BOC＝2∠A＝60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC＝2，然后利用S阴影＝SRt△OCD﹣S扇形BOC即可解答． 【解答】解：连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°， ∴∠ACO＝∠ACD﹣∠OCD＝120°﹣90°＝30°， ∵OC＝OA， ∴∠A＝∠ACO＝30°， ∴∠BOC＝2∠A＝60°， ∵∠OCD＝90°， ∴， ∴阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形BOC2． 故选：D． 【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积，解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键． 8．（2024•咸安区模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠ACD＝60°，AC＝3，则BE的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OC，由切线的性质得CD⊥OC，则∠OCD＝∠OCE＝90°，所以∠A＝∠OCA＝90°﹣∠ACD＝30°，则∠BOC＝2∠A＝60°，可证明∠E＝∠A＝30°，△BOC是等边三角形，则EC＝AC＝3，BC＝OB，∠OBC＝60°，再证明∠BCE＝∠E＝30°，所以BE＝BC＝OB＝OC，则OE＝2BE，由ECBE＝3，求得BE，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OC，则OC＝OA＝OB， ∵CD与⊙O相切于点C，∠ACD＝60°， ∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝∠OCE＝90°， ∴∠A＝∠OCA＝90°﹣∠ACD＝30°， ∴∠BOC＝2∠A＝60°， ∴∠E＝90°﹣∠BOC＝30°＝∠A，△BOC是等边三角形， ∴EC＝AC＝3，BC＝OB，∠OBC＝60°， ∴∠BCE＝∠OBC﹣∠E＝60°﹣30°＝30°＝∠E， ∴BE＝BC＝OB＝OC， ∴OE＝2BE， ∴ECBE＝3， ∴BE， 故选：A． 【点评】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 9．（2024•铁山区二模）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠B＝65°，∠C＝32°，∠BOC＝100°，∠OAD＝　 　度． 【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出∠OAB、∠OCB，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：如图，连接BC， ∵OA＝OB，∠OBA＝65°， ∴∠OAB＝∠OBA＝65°， ∵OB＝OC，∠BOC＝100°， ∴∠OBC＝∠OCB（180°﹣100°）＝40°， ∵∠OCD＝32°， ∴∠BCD＝32°+40°＝72°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠OAD＝180°﹣72°﹣65°＝43°， 故答案为：43． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 10．（2024•随州一模）学习圆锥有关知识的时候，李老师要求每个同学都做一个圆锥模型，小华用家里的旧纸板做了一个高为3cm，母线长为5cm的圆锥模型，则此圆锥的侧面积为 　 　cm2（用含π的代数式表示）． 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2． 【解答】解：∵圆锥的高为3cm，母线长为5cm， ∴底面圆的半径为4（cm）， ∴底面周长＝8π，侧面面积8π×5＝20π（cm2）． 故答案为：20π． 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 11．（2024•湖北一模）如图，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CAB＝30°，BE＝1，则CD的长为　 　． 【分析】连接OC，由∠CAB＝30°知∠COB＝60°，设OC＝OB＝x，则OE＝x﹣1，根据cos∠COE可得，解之得出x＝2，从而知OC＝2、OE＝1，继而求得CE、CD＝2CE＝2． 【解答】解：如图，连接OC， ∵∠CAB＝30°， ∴∠COB＝60°， 设OC＝OB＝x， ∵BE＝1， ∴OE＝x﹣1， 由cos∠COE可得， 解得：x＝2， 即OC＝2、OE＝1， ∵CD⊥AB， ∴CE， 则CD＝2CE＝2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、垂径定理及勾股定理等知识点． 12．（2024•十堰三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，点B，F在⊙A上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 　 　． 【分析】根据正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠BAF，从而推出圆锥底面半径＝2，即可推出结果． 【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为6，点B，F在⊙A上， ∴AF＝AB＝6，∠BAF， ∴的长4π， ∴圆锥的底面周长为4π， ∴圆锥底面半径＝2， ∴这个圆锥高， 故答案为：4． 【点评】本题考查了正多边形与圆，几何体的展开图，熟记正六边形的性质是解题的关键． 13．（2024•黄石港区一模）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠ODB＝∠CDA，从而得到∠ODC＝90°，然后根据切线的判定方法得到CD为⊙O的切线； （2）连接OE，如图，先利用圆心角、弧、弦的关系，由E为的中点得到∠BOE＝∠DOE，再根据圆周角定理得到∠BOE＝2∠BDE＝60°，接着证明△ODE为等边三角形得到OD＝DE＝2，计算出∠COD＝60°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD进行计算即可． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即∠ODA+∠ODB＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵∠B＝∠CDA， ∴∠ODB＝∠CDA， ∴∠ODA+∠CDA＝90°， 即∠ODC＝90°， ∴OD⊥CD， ∵OD为⊙O的半径， ∴CD为⊙O的切线； （2）解：连接OE，如图， ∵E为的中点， ∴∠BOE＝∠DOE， ∵∠BOE＝2∠BDE＝60°， ∴∠DOE＝60°， ∵OD＝OE， ∴△ODE为等边三角形， ∴OD＝DE＝2， ∵∠COD＝180°﹣∠BOE﹣∠DOE＝60°， ∴CDOD＝2， ∴图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD2×22π． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式． 14．（2024•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接BC，CD，DA，OC． （1）证明：OC∥AD； （2）若AB＝10，，求AD长． 【分析】（1）先连接OD，然后根据同弧所对的圆心角相等，证明∠BOC＝∠COD，再根据圆周角定理证明∠DAB，最后利用平行线的判定证明结论即可； （2）连接BD交CO于点E，先根据等腰三角形三线合一证明BE＝DE，然后根据中位线定理证明AD＝2OE，最后设OE＝x，分别在Rt△CDE和△ODE中，利用勾股定理，列出关于x的方程，求出x，从而求出答案即可． 【解答】（1）证明：如图所示：连接OD， ∵点C是的中点， ∴， ∴∠BOC＝∠COD， ∵∠DAB是所对的圆周角， ∴∠DAB， ∴OC∥AD； （2）解：如图所示：连接BD交CO于点E， ∵OB＝OD，∠COB＝∠COD， ∴OC⊥BD， ∴∠CEB＝∠OED＝90°，BE＝DE， ∴点E是BD的中点， ∵OB＝OA， ∴OE是△ABD的中位线， ∴AD＝2OE， ∵AB＝10， ∵OD＝OC＝5， 设OE＝x，则CE＝5﹣x， 在Rt△OED中， ∵OD2﹣OE2＝DE2＝CD2﹣CE2， ∴， 25﹣x2＝20﹣25+10x﹣x2， 10x＝30， x＝3， ∴AD＝2x＝6． 【点评】本题主要考查了圆的有关运算，解题关键是熟练掌握运用圆周角定理、勾股定理和三角形中位线定理． 15．（2024•硚口区模拟）如图，在⊙O中，，连接AC，BD，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若，BE＝8，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠E＝∠ACD，根据圆周角定理求出∠ACD＝∠D，等量代换即可得解； （2）根据等腰三角形的性质得出BD＝BE＝8，连接OC交BD于点H，连接OD，根据垂径定理求出OC⊥BD，DH＝4，根据勾股定理求出CH＝2，连接OD，再根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵BE∥AC， ∴∠E＝∠ACD， ∵， ∴∠ACD＝∠D， ∴∠D＝∠E． （2）解：由（1）知，∠E＝∠BDC， ∴BD＝BE＝8， 连接OC交BD于点H，连接OD， ∵， ∴OC⊥BD，， 在Rt△CHD中，CD＝2， ∴， 连接OD，设OD＝OC＝r， 在Rt△OHD中，由勾股定理得，OH2+DH2＝OD2， ∴（r﹣2）2+42＝r2， 解得 r＝5， 即⊙O的半径为5． 【点评】此题考查了圆周角定理及圆心角、弧的关系，作出合理的辅助线并熟练运用圆周角定理是解题的关键． 16．（2024•茅箭区校级二模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，O是AB边上一点，⊙O经过点B，D，与AB交于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BC＝3，AC＝4，求AE的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠OBD，由角平分线的性质得出∠OBD＝∠CBD，则∠ODB＝∠CBD，证出∠ADO＝∠ACB＝90°，则可得出结论； （2）由勾股定理求出AB＝5，证明△AOD∽△ABC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵DB平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∴∠ODB＝∠CBD， ∴OD∥BC， ∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∴OD⊥AC， ∵OD是半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ABC中，， ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC， ∴， 即， 解得，， ∴AE＝AB﹣BE． 【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，掌握切线的判定法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 17．（2024•建始县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于点D，AB交OC于点E． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若AE＝10，BE＝6，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OA，利用已知条件OC∥AD求证∠OAD＝90°，即可求解； （2）根据已知条件可求证△AEC∽△ACB，利用相似三角形的线段比可求出半径，即可求解． 【解答】（1）证明：连接OA， ∵AD∥OC， ∴∠AOC+∠OAD＝180°， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°， ∴∠OAD＝90°， ∴OA⊥AD， ∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）∵AO＝CO且∠AOC＝90°， ∴∠ACO＝∠CAO＝45°， 即∠B＝∠ACE， ∵∠CAE＝∠BAC， ∴△AEC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AE•AB＝10×（10+6）＝160， ∴AC＝4， ∴AO＝CO＝4， ∴S阴＝S扇形OAC﹣S△AOC（4）2＝20π﹣40． 【点评】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题，属于中考常考题． 18．（2024•铁山区模拟）△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN． （1）如图1，连接OC，求证：∠BAC＝∠DOC； （2）如图2，当AC是⊙O的直径，点E是OD的中点，时，连接BD，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OB，如图1，根据切线的性质得到OD⊥MN，则OD⊥BC，利用垂径定理得到，然后根据圆周角定理得到结论； （2）先由垂径定理得到，再由勾股定理得到OC＝2，解直角三角形求出∠COE＝60°，则∠BOD＝60°，再跟进S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD进行求解即可． 【解答】（1）证明：连接OB，如图1所示． ∵直线MN与⊙O相切于点D， ∴OD⊥MN， 又∵BC∥MN， ∴OD⊥BC， ∴， ∴， 又∵， ∴∠BAC＝∠DOC； （2）解：连接OB， ∵E是OD的中点， ∴， 由（1）知，OD⊥BC， ∴， 在Rt△OCE中，由勾股定理得OC2＝OE2+CE2， ∴， ∴OC＝2， ∴， ∴∠COE＝60°， ∴∠BOD＝60°， ∴． 【点评】本题主要考查了求不规则图形面积，切线的性质，垂径定理，解直角三角形，圆周角定理等等： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 图形的性质--- 圆 课标要求 考点 考向 1. 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 2. 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 3. 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧) 所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 4. 了解三角形的内心与外心。 5. 了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。 6. 能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。 7. 会计算圆的弧长、扇形的面积。 8. 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 相 交 线 与 平 行 线 三 角 形 考向一 圆中的计算---求角度 考向二 圆中的计算---求线段长 考向三 圆中的计算---求弧长 考向四 圆中的计算---求阴影部分的面积 考向五 圆锥的计算 考向六 圆的证明---圆的切线与判定 考向七 圆的证明---圆与相似 考向八 圆的综合应用 考点一 图形的性质---相交线与平行线 ►考向一 圆中的计算---求角度 1．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2022•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．（2023•随州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为 　 　． 5．（2023•襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝　 　度． ►考向二 圆中的计算---求线段长 6．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．（4）米 C．2米 D．（4）米 7．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 　 　cm（玻璃瓶厚度忽略不计）． 8．（2022•武汉）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（　　） A．cm B．8cm C．6cm D．10cm 9．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB． （1）直接判断AD与BD的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）． 10．（2023•武汉）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC． （1）求证：∠AOB＝2∠BOC； （2）若AB＝4，，求⊙O的半径． ►考向三 圆中的计算---求弧长 11．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，则的长为（　　） A．300πm B．200πm C．150πm D．100πm 12．（2022•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．2π 13．（2023•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，与BC交于点E，F，DG是⊙O的直径，弦GF的延长线交AC于点H，且GH⊥AC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若DE＝2，GH＝3，求的长l． 14．（2024•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若AD，AE＝1，求的长． ►考向三 圆中的计算---求阴影部分的面积 15．（2023•湖北）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π B．π C．π D．π 16．（2023•鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　） A．5π B．54π C．52π D．102π 17．（2023•恩施州）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，若O1O2＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π B．π C．π D．π 18．（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．2π C． D． 19．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若CE，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． ►考向五 圆锥的计算 20．（2021•湖北）用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 21．（2023•十堰）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　） A．5 B． C． D． ►考向六 圆的证明---圆的切线与判定 22．（2024•武汉）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点． （1）求证：AB与半圆O相切； （2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值． 23．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G． （1）求证：FG是⊙O的切线； （2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长． 24．（2023•鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长． ►考向七 圆的证明---圆与相似 25．（2023•湖北）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC． （1）求证：AE为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长． 26．（2023•恩施州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长． 27．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG． （1）求证：FB2＝FE•FG； （2）若AB＝6，求FB和EG的长． ►考向八 圆的综合应用 28．（2023•荆州）如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF． （1）求证：①CD是⊙O的切线； ②△DEF∽△DBA； （2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE． 29．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3． （1）填空：∠PBA的度数是 　 　，PA的长为 　 　； （2）求△ABC的面积； （3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于 点F，G，求的值． 30．（2022•荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x． （1）求证：DE是半圆O的切线： （2）当点E落在BD上时，求x的值； （3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式； （4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围． 1．（2024•云梦县校级一模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB＝30°，∠ABD＝40°，则∠APD的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 2．（2024•湖北模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，AB∥CD，∠B＝70°，连接AC，则∠CAD的度数为（　　） A．25° B．28° C．30° D．35° 3．（2024•宜昌模拟）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为（　　） A．125° B．120° C．110° D．115° 4．（2024•大冶市一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　） A． B．2 C． D． 5．（2024•十堰一模）如图，AB、BC是⊙O的切线，D、C为切点，AC经过圆心O，若AD＝BD＝3，则AC的长度是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•广水市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，弧BD的长为（　　） A． B． C． D． 7．（2024•湖北模拟）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，CD是⊙O的切线，若∠ACD＝120°，，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 8．（2024•咸安区模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠ACD＝60°，AC＝3，则BE的长度是（　　） A． B． C． D． 9．（2024•铁山区二模）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠B＝65°，∠C＝32°，∠BOC＝100°，∠OAD＝　 　度． 10．（2024•随州一模）学习圆锥有关知识的时候，李老师要求每个同学都做一个圆锥模型，小华用家里的旧纸板做了一个高为3cm，母线长为5cm的圆锥模型，则此圆锥的侧面积为 　 　cm2（用含π的代数式表示）． 11．（2024•湖北一模）如图，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CAB＝30°，BE＝1，则CD的长为　 　． 12．（2024•十堰三模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，点B，F在⊙A上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 　 　． 13．（2024•黄石港区一模）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积． 14．（2024•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接BC，CD，DA，OC． （1）证明：OC∥AD； （2）若AB＝10，，求AD长． 15．（2024•硚口区模拟）如图，在⊙O中，，连接AC，BD，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若，BE＝8，求⊙O的半径． 16．（2024•茅箭区校级二模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，O是AB边上一点，⊙O经过点B，D，与AB交于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BC＝3，AC＝4，求AE的长． 17．（2024•建始县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于点D，AB交OC于点E． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若AE＝10，BE＝6，求图中阴影部分的面积． 18．（2024•铁山区模拟）△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN． （1）如图1，连接OC，求证：∠BAC＝∠DOC； （2）如图2，当AC是⊙O的直径，点E是OD的中点，时，连接BD，求图中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$