第五章 图形的轴对称 重难专项

1 第五章 图形的轴对称 考点 1 轴对称图形的识别 1．B 【难度】0.94 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项 B的图形，能够找到一条直线，使图形沿着直线翻折后， 能够重合，是轴对称图形； 模块 章节重难点考察 考点 1.轴对称图形的识别 考点 2.尺规作图综合—作角平分线 考点 3.角平分线的性质应用 考点 4.尺规作图综合—作垂直平分线 考点 5.垂直平分线的性质应用 考点 6.全等手拉手模型 考点 7.利用等腰三角形的性质求角度或证明 考点 8.等腰三角形的分类讨论与存在性问题 考点 9.等腰（边）三角形的判定性质综合 考点 10.轴对称作图及面积问题 考点 11.将军饮马问题 章节重难点考察 模块导航 2 故选 B． 2．B 【难度】0.85 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（对称轴）折叠，使得直线两侧的图形能够完全重 合；根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形故选项符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 3．2 【难度】0.65 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 即：满足条件的点D的个数为 2个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 考点 2 尺规作图综合—作角平分线 1．A 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 3 【分析】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据内角和定理求得 95BAC  ，由线段垂直平分线的性质可得DA DC ，从而得到 35DAC C    ，即 可得到答案． 【详解】解：∵ 50 , 35B C     ， ∴ 180 95BAC B C     ， 由作图可知，MN是线段 AC的垂直平分线， ∴DA DC ， ∴ 35DAC C    ， ∴ 95 35 60BAD BAC DAC       ， 故选：A． 2．（1）见解析；（2）见解析；（3）6 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）过点 D作 DE⊥AB于 E．证明 DE=DC=2，可 得结论． 【详解】解：（1）作图，射线 AD即为所求作． （2）如图，线段 DE即为所求. （3）过点 D作 DE⊥AB于 E． ∵DC⊥AC，DE⊥AB，AD平分∠BAC， 4 ∴DE=DC=2， ∴S△ABD= 1 2 •AB•DE= 1 2 ×6×2=6． 【点睛】本题考查基本作图，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型． 3．（1）SSS；（2）①图见解析；②AF∥BC且 AF＝BC，见解析 【难度】0.65 【知识点】内错角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、作角 平分线(尺规作图) 【分析】（1）根据作法和全等三角形的判定 SSS即可解答； （2）①根据角平分线的尺规作图的方法步骤作出角平分线即可；②先根据角平分线的定义和 等腰三角形的性质，结合三角形的外角性质得出∠FAB＝∠B，可判断 AF∥BC，再根据线段中 点定义和全等三角形的判定证明△AEF≌△BEC（ASA），进而可得出 AF=BC即可． 【详解】解：（1）由作法可得：OD=OE，PD=PE，又 OP=OP， ∴△OPD≌△OPE（SSS）， ∴∠POD=∠POE， ∴OP为∠AOB的平分线， 故答案为：SSS； （2）①如图所示： ②AF∥BC且 AF＝BC，理由如下： ∵AM平分∠DAB， ∴∠FAB＝ 12 ∠DAB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 5 ∵∠DAB＝∠B＋∠ACB， ∴∠B＝ 12 ∠DAB， ∴∠FAB＝∠B， ∴AF∥BC， ∵点 E为 AB中点， ∴AE＝BE， 在△AEF和△BEC中 FAB B AE BE AEF BEC        ， ∴△AEF≌△BEC（ASA）， ∴AF＝BC． 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、 三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解 答的关键． 考点 3 角平分线的性质应用 1．B 【难度】0.65 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题 的关键是熟练掌握相关性质．过 E作 EM BC 于 M，根据角平分线上的点到角两边的距离相 等可求得EM ，根据平行线和角平分线的性质易证 DCE DEC   ，根据等角对等边求得 CD，从而求得BD，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过 E作 EM BC 于 M， 6 BE 平分 ABC ， EM BC ， EF AB ， 5EF  ， 5EM EF   ， CE 平分 ACB ， ACE DCE  ， ED AC ∥ ， ACE DEC   ， DCE DEC   ， 13CD DE   ， 35BC Q ， 35 13 22BD BC CD      ， 1 1· 22 5 55 2 2EBD S BD EM     V ， 故选：B． 2．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、角平分线的性质定理、 角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点 E作EH BC ，垂足为 H，根据角平分线性质可得 EA ED EH  ，再由角平分 线判定即可得出结论； （2）在 BC上截取 BF BA ，连接EF．先证明 BAE BFE△ ≌△ 可得EF AE ，再证 CED CEF ≌ 可得CD CF 即可证明结论． 7 【详解】（1）证明：过点 E作EH BC ，垂足为 H， ∵BE平分 ABC ， 90A  ， ∴EA EH ， 又∵E是 AB中点，即EA ED ， ∴EH ED ， ∵ 90A D    ，EH BC ， ∴：CE平分 DCB ． （2）解：如图：在 BC上截取 BF BA ，连接EF． BE 平分 ABC ， ABE FBE   ． 在 BAE 和 BFE△ 中， AB BF ABE FBE BE BE       ，  SASBAE BFE ≌ EF AE  ， AEB FEB  ． 8 E 是 AD的中点， DE AE EF   ． 又 BE EC ， 90BEC  ， 90AEB DEC FEB FEC     ， DEC FEC   ， 在 CED△ 和 CEF△ 中 DE EF DEC FEC CE CE       ． CED CEF ≌ ， CD FC  ， CD AB FC BF    ， ∴ AB CD BC  考点 4 尺规作图综合—作垂直平分线 1．(1)见解析； (2)见解析． 【难度】0.85 【知识点】作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）作 AB的垂直平分线交 AC于D； （2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出 72ABC C   ，再利用DA DB 得 到 36ABD A    ，所以 72BDC  ，从而可判断 BCD△ 是等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，点D为所作， 9 （2）证明：∵ AB AC ， ∴ 1 2 ABC C    180 36 72  （ ﹣ ）= ， ∵DA DB ， ∴ 36ABD A    ， ∴ 36 36 72BDC A ABD       ， ∴ BDC C   ， ∴ BCD△ 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了尺规作图和等腰三角形的判定与性质．熟记相关结论是解题关键． 2．见解析 【难度】0.65 【知识点】两点之间线段最短、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图) 【分析】以A为圆心，适当长为半径画弧交直线 l于C D、 ，分别以C D、 为圆心， AD长为 半径画弧，交点为 A，连接 A B ，交直线 l于 P，连接 AP，由线段垂直平分线的性质可得 A P AP  ，则 AP BP A P BP   ，点 P即为所求． 【详解】解：如图，点 P即为所求； 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，尺规作垂线．解题的关键在 于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10 考点 5 垂直平分线的性质应用 1．D 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是求出 BCE 的周长 BC AB  ．先根据线段垂直平分线的性质求出 AE CE ，然后根据三角形的周长公式求解 即可． 【详解】解：∵DE是 AC的垂直平分线， ∴ AE CE ， ∴ BCE 的周长 BC AE BE BC AB     ， ∵ 11AB  ， 8BC  ， ∴ BCE 的周长 8 11 19   ． 故选：D． 2．50 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等腰三角 形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．由 AB AC ， AD是 ABCV 的中线，可 得 B C  ，AD BC ，即 90ADC  ，则 90 70ADE CDE    ，由 AE AD ， 可得 70AED ADE    ，根据 B C AED CDE      ，求解作答即可． 【详解】解：∵ AB AC ， AD是 ABCV 的中线， ∴ B C  ， AD BC ，即 90ADC  ， ∵ 20CDE   ， ∴ 90 70ADE CDE    ， ∵ AE AD ， ∴ 70AED ADE    ， 11 ∴ 50B C AED CDE       ， 故答案为：50． 3． 2 90   【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质 等知识点，先由垂直平分线的性质得 AB BM ，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理 得 90ABD MBD      ，由 ABD CBM   ，可推出  3 90 270 3ABC       ， 最后由三角形的内角和定理即可得解，熟练掌握其三角形的内角和定理，垂直平分线的性质， 等腰三角形的判定和性质的综合应用是解决此题的关键． 【详解】解：∵DM AD ，BD AC 于点D， ∴ AB BM ， ∴ 90ABD MBD      ， ∵ ABD CBM   ， ∴ 90ABD MBD CBM        ， ∴  3 90 270 3ABC       ， ∴    180 180 270 3 2 90C A ABC              ， 故答案为： 2 90   ． 4．(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识 ： （1）由“ASA ”可证 ADC BDF≌  ，可得DC DF ； （2）连接DE，证明 EDC C   ；EA EC ，得出 BE是 AC的垂直平分线，得出 AB BC ， 故可得结论 12 【详解】（1）证明：∵ AD BC 于点 D， ∴ 90 ,ADB ADC    ∵ 90 45 ,DBF DFB ABC      ， ∴ 45 ,BAD ABD     ∴ AD BD ， ∵BE AC 于点 E， ∴ 90DBF C    ， ∴ C DFB   ， 在 ADC△ 和 BDF 中， ADC BDF C DFB AD BD      ， ， ， ∴ ADC BDF≌  ， ∴DC DF ， （2）证明：连接 .DE ∵E在 AD垂直平分线上， ∴EA ED ， ∴ EDA EAD   ， ∵ AD BC ， ∴ 90 90EDA EDC EAD C       ， ， ∴ EDC C   ， ∴ED EC ， ∴EA EC ， ∴ BE是 AC的垂直平分线， 13 ∴ AB BC ， ∵ BC BD CD BD DF    ， ∴ AB BD DF  ， 考点 6 全等手拉手模型 1．(1) ACE△ ；BD CE (2)BD CE ； BD CE ；理由见解析 (3)4；4 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和 SAS综合（SAS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角 形的性质和判定 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解 题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）由 BAC DAE   ，可得 BAD CAE  ，根据SAS可得 ABD ACE≌△ △ ，则可得 出结论； （2）由 90BAC DAE    ，得 BAD CAE  ，即可证  SASABD ACE ≌ ，有 BD CE ， ACE ABC   ，而 ABCV 是等腰三角形且 90BAC  ，知 45ABC ACB    ，故 45ACE ABC   ，即可得 45 45 90BCE ACB ACE       ， BD CE ； （3）证明 45OMO  ，当OP有最小，即OP 最小，即垂线段最短，当O P y   轴时，OP  最小，则可得出答案． 【详解】（1）∵ BAC DAE   ， ∴ BAC CAD DAE CAD    ，即 BAD CAE  ， 在 ABD△ 和 ACE△ 中， 14 AB AC BAD CAE AD AE       ， ∴  SASABD ACE ≌ ； 故答案为： ACE△ ；BD CE ； （2）解：BD与CE的数量关系是BD CE ，位置关系是 BD CE ∵ 90BAC DAE    ， ∴ BAC CAD DAE CAD    ，即 BAD CAE  ， 在 ABD△ 和 ACE△ 中， AB AC BAD CAE AD AE       ， ∴  SASABD ACE ≌ ， ∴BD CE ， ACE ABC   ， ∵ ABC 是等腰三角形且 90BAC  ， ∴ 45ABC ACB    ， ∴ 45ACE ABC   ， ∴ 45 45 90BCE ACB ACE       ， ∴ BD CE ； （3）∵ MNP△ 是等腰直角三角形， ∴ 45MNP NPM    ， 将 OPM 绕 M点顺时针旋转90得 OPM  （N与P重合）， 连接OO， 15 ∴ PMO P MO  ≌ ， ∴MO MO ，OP O P  ， ∴ 45OMO  ， 当OP有最小，即OP 最小，当O P y   轴时， 由 45OOP   ， 90O P O   ， ∴ 4O P OM    ， 4ON OP  ， ∴ 4ON  ，OP最小值为 4． 2．(1) ACE△ ，40； (2)①证明见解析；②4 【难度】0.4 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和 SAS 综合（SAS）、等腰三角形的定义 【分析】（1）利用SAS证明 ，得出 ABD ACE  ，结合三角形外角的性 质即可得出 BDC BAC  ，即可求解； （2）①利用SAS证明 CAE DAB ≌ ，得出CE BD ， ACE ADB   ，然后利用三角形外 角的性质即可得出CE BD ； ②利用①中 CAE DAB ≌ ，得出 45ACE D    ，则可求 CFD ACE   ，利用等角对等 边得出 AF AC ，可得出 AG AC ，由 ABG 的面积可求 12AB AG  ，由 ABE 和 ACD 的面积之和为 20，可求 2 2 40AB AC  ，利用完全平方公式变形求出 8AB AC  ， 16 4AB AC  ，求出 AB、 AC，进而求出 AG，即可求解． 【详解】（1）解：如图 1中， 在 DAB 和 EAC 中， AD AE DAB EAC AB AC        SASDAB EAC ≌ ， ABD ACE  ， DEB AEC  ， 40BDC BAC   ， 故答案为： ACE△ ，40； （2）解：① ABE 和 ACD 均为等腰直角三角形， 90BAE CAD    ， AB AE∴ ， AC AD ， BAE BAC CAD BAC     ， CAE BAD   ， 在 CAE 和 DAB 中， AC AD CAE DAB AB AE        SASCAE DAB ≌ ， CE BD  ， ACE ADB   ， 17 DOE DCE BDC   CDB ACE ACD   CDB ADB ACD   90ADC ACD   ， CE BD  ； ② ABE 和 ACD 的面积之和为 20， ABE 和 ACD 均为等腰直角三角形， 2 2 40AB AC   ， 45ACD D    ， 90BAE CAD    ， AB AE ， AC AD ， 180 90 90CAF     ， CAE DAB≌△ △ ， 45ACE D   ， 45 45 90DCE ACD ACE        ， 90 45CFD D    ， CFD ACE   ， AF AC  ， AF AG ， AG AC  ， ABG△ 的面积为 6， 90BAG  ， 1 6 2 AB AG   ，即 12AB AG  ， 12AB AC   ，  2 2 2 2 40 24 64AB AC AB AC AB AC         ， 0AB AC  ， 8AB AC   ，  2 2 2 2 40 24 16AB AC AB AC AB AC        ， 18 4AB AC   ， 180 45 135ACB      ， ACB ABC  ， AB AC  ， 4AB AC   ， 6AB  ， 2AC  ， 6AE  ， 2AG  ， 6 2 4EG AE AG      ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质等 知识，明确题意，寻找出全等三角形是解题的关键． 考点 7 利用等腰三角形的性质求角度或证明 1． 12 m 5 【难度】0.65 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，垂直平分线的判定与性质，垂线段最短，三角形的 面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点 B作BF AC 交 AD于点H ，交 AC于点F ， 根据等腰三角形三线合一，可知BD CD ，从而知道 AD是线段 BC的垂直平分线，推导出 BE CE ，那么CE EF BE EF   ，当点E和G重合时，F 与H 重合时，BE EF 最短， 且此时BE EF BH  ，最后结合 2 2ABC BC AD AC BHS    ，求得 BH 的长度，得到 CE EF 的最小值． 【详解】过点 B作 BH AC 交 AD于点G，交 AC于点H ，连接 BE、CE、EF，如图所 示： 19 AB AC ， AD BC ， 3 m 2 BD  3 m 2 BD CD   AD 是线段 BC的垂直平分线 BE CE  ， CE EF BE EF    根据垂线段最短，可知当点E与点G重合，F 与H 重合时，BE EF 最短 此时 BE EF BG GH BH    2 2ABC BC AD AC BHS    ， 3 m 2 BD CD  ， 5 m 2 AB AC  ， 2mAD  5 3 2 2 2 2 BH   12 m 5 BH  CE EF∴ 的最小值为12 m 5 故答案为： 12 m 5 ． 2．72或 540 7      【难度】0.4 【知识点】等边对等角、折叠问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质，设 A   ，根据等边对等角得 20 180 2 ABC ACB     ，根据折叠的性质得 AN BN ，继而得到 NBA A     ， 2BNC NBA A      ， 180 3 2 NBC   ，然后分三种情况：①若NB NC ；②若 BN BC ；③若CB CN ，分别建立关于 的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握 等边对等角，方程思想和分类讨论思想的应用． 【详解】解：设 A   ， ∵ AB AC ， ∴ 180 2 ABC C     ， ∵把 ABC 折叠，使点 B与点A重合， ∴ AN BN ， ∴ NBA A     ， ∴ 2BNC NBA A          ， ∴ 180 180 3180 180 2 2 2 NBC C BNC              ∵ CBN△ 是等腰三角形， ①若NB NC ，则 NBC C  ， 即 180 3 180 2 2      ， 解得： 0  ，不符合题意； ②若BN BC ，则 C BNC  ， 即 180 2 2    ， 解得： 36  ， ∴ 180 180 36 72 2 2 C        ； 21 ③若CB CN ，则 NBC BNC  ， 即 180 3 2 2    ， 解得： 180 7        ， ∴ 180180 180 5407 2 2 7 C                 ， 综上所述， C 的度数为72或 540 7      ． 故答案为：72或 540 7      ． 3．(1)110 (2)18 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌 握线段垂直平分线的性质是解答的关键． （1）先根据线段垂直平分线得到 AD BD ，AE CE ，再根据等边对等角得到 BAD B∠ ∠ ， CAE C  ，进而利用三角形的内角和定理求得 70B C   即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长求解即可． 【详解】（1）解：∵DM EN、 分别垂直平分 AB和 AC，交 BC于 D、E， ∴ AD BD ， AE CE ， ∴ BAD B∠ ∠ ， CAE C  ， ∵ 40DAE  ， 180B BAD DAE CAE C      ， ∴2 2 40 180B C      ，则 70B C   ， ∴  180 110ABC B C      ； 22 （2）解：∵ ADE 的周长为 18， ∴ 18AD DE AE   由（1）知， AD BD ， AE CE ， ∴ 18BD DE CE   ， ∴ 18BC  ． 考点 8 等腰三角形的分类讨论与存在性问题 1．65，65或50，80 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形“等边对等角”的性质．分别考虑当50角为顶角和为底角 时的情况，再根据等腰三角形的性质“等边对等角”即可进行求解． 【详解】解：当50为底角时，则另一个底角也为50， 此时顶角度数为：180 2 50 80     ， 当50为顶角时，此时两个底角度数相等，都等于：  1 180 50 65 2     ， 故答案为：65，65或50，80． 2．7，7，3 【难度】0.85 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，一元一次方程的运用，掌握等 腰三角形的定义，运用三边数量关系列方程求解是解题的关键． 根据等腰三角形的性质分类讨论：当腰长为 x时，即边长分别为 , , 2 1x x x  ；当腰长为2 1x 时， 即边长分别为 2 1, 2 1,x x x  ；由三角形三边数量关系确定等腰三角形的三边，由此列方程求 解即可． 【详解】解：等腰 ABC 的周长为17，其中两条边长分别是 x和 2 1x  ， 23 当腰长为 x时，即边长分别为 , , 2 1x x x  ， ∵ 2 1x x x   ，不符合题意，舍去； 当腰长为2 1x 时，即边长分别为 2 1, 2 1,x x x  ， ∵ 2 1 2 1 2 1x x x x x       ， ∴ 2 1 2 1 17x x x     ， 解得， 3x  ，则2 1 2 3 1 7x      ， ∴等腰三角形三边长分别为7，7，3， 故答案为：为7，7，3 ． 3．(1) AB BC (2) 16 cm 3 、 16 cm 3 、 28 cm 3 或8cm、8cm、 4cm 【难度】0.65 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时 符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键． （1）根据三角形中线的定义可得结论； （2）点E把 AC分为长度相等的两条线段． BE将 ABC 的周长分成差为4cm的两部分，则 4AB BC  或 4 ，分别列等式可解答． 【详解】（1）解： BE 是腰 AC上的中线， AE EC  ． ( )AB BE AE BC BE CE AB BE AE BC BE CE AB BC             ， ABE 的周长与 BEC 的周长之差为： AB BC ． 故答案为： AB BC ； （2）根据已知可得， 2 20AB BC  ， 4AB BC  或 2 20AB BC  ， 4AB BC   ， 24 解得 8cmAB  ， 4cmBC  或 16 cm 3 AB  ， 28 cm 3 BC  ， 所以 ABC 的三边分别为8cm、8cm、4cm或16 cm 3 、 16 cm 3 、 28 cm 3 ． 4．(1)115，25，大 (2)见解析 (3)存在 ADEV 是等腰三角形的情形，此时 BDA 等于80或110 【难度】0.65 【知识点】用 ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者 AAS）、等边对等角、三角形内角和 定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和三角形外角和内角和的定理， 掌握等边对等角、判定两个三角形全等和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． （1）利用三角形外角的性质和三角形的内角和定理解题即可； （2）根据ASA证明全等即可； （3）根据等腰三角形的腰的情况分类讨论，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质即 可分别求出 BDA ． 【详解】（1）解：∵在 BAD 中， 40B  ， 25BAD  ， 40ADE  ， ∴ ADC B BAD ADE EDC      ， 180 115ADB B BAD     ， ∴ 25EDC BAD    ， 当点D从点 B向点C运动时， BAD 逐渐变大， 故答案为：115，25，大； （2）证明：∵ AB AC ， 40B  ， ∴ 40C B   ， 由（1）得 EDC BAD   ， ∵ 2DC AB  ， ∴  ASAABD DCE ≌ ； （3）解：存在 ADE 是等腰三角形的情形，理由如下： 25 ∵ 40C B   ， ∴ 180 40 40 100BAC      ， 当 AD AE 时， 40AED ADE   ， ∴ 180 40 40 100DAE      ， ∴点 D与点 B重合，不符合题意； 当DA DE 时，  1 180 40 70 2 DAE DEA         ， ∴ 70 40 110BDA DAC C       ； 当EA ED 时， 40EAD ADE   ， ∴ 40 40 80BDA DAC C       ； 综上所述， ADE 是等腰三角形时， BDA 的度数为110或80． 考点 9 等腰（边）三角形的判定性质综合 1．(1)证明见解析 (2)5 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA 或者 AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由折叠知，EB EC ， 45BCE ABC   ，EF垂直平分 BC，根据已知 条件可证明  ASABEH CEA ≌ ，即可得BH AC ； （2）连接GC，可证 DCG DGC  ，从而可求得GD的长． 【详解】（1）证明：由折叠知，EB EC ， 45BCE ABC   ，EF垂直平分 BC． ∴ 90BEC   ∴ 90AEC  ． ∵BA BC ， 45ABC  ． 26 ∴ 180 67.5 2       ABCA ACB ． ∴ 22.5    ACE ACB BCE ． ∵BD平分 ABC ． ∴ 1 22.5 2       EBH CBH ABC ． ∴ EBH ACE． 在 BEH△ 和 CEA 中 BEH AEC EB EC EBH ACE        ∴  ASABEH CEA ≌ ． ∴ BH CA ． （2）解：∵由对折可得： 22.5GBC GCB   ， ∴ 180 2 22.5 135BGC      ， ∴ 45DGC  ． ∴ 45   DCG ACB GCB ． ∴ DCG DGC  ． ∴ 5GD CD  ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练 掌握上述知识点是解答本题的关键． 27 2．(1) 12st  (2)t为 4 秒 (3)能，M、N运动的时间为 4秒或 8 秒或 16秒 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等的性质和 ASA（AAS） 综合（ASA或者 AAS） 【分析】此题考查等边三角形性质与全等三角形的判定和性质，以及通过题目所给信息，合理 设置未知数建立方程，并求出对应的解． （1）写出点M 与点 N 的运动距离公式，并写出两点重合的表达式，解出方程即可； （2）因为 ABCV 为等边三角形，则 MAN 为60，结合 AMN 为等边三角形的性质、列式 计算，即可作答． （3）结合等腰三角形的性质，进行分类讨论，即点M 、N 运动 4 秒后，可得到等边三角形 AMN， 即 AMN 是以MN为底边的等腰三角形；当点M 、N 在 AC边上运动时，可以得到以MN为 底的等腰三角形；当点M 、N 在 BC边上运动时，也可以得到以MN为底的等腰三角形，进 行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：当点N 第一次到达 B点时，M 、N 同时停止运动，且点N 第一次到达 B点需要运动  12 12 12 36 cm   运动时间  36 2 18 s  t ． 点M 的运动距离设为m， 则m t ； 设点 N 的运动距离为 n， 则 2n t ． M 、N 两点重合， 可表示为： 12m n  ，即 12 2t t  解得：  12 st  ； （2）解：设经过 t秒后， AMN 为等边三角形 ∵ 60MAN   28 ∴当 AM AN 时， AMN 为等边三角形 AM t ， 12 2AN AB BN t    12 2t t   ， 解得： 4t  即 AMN 为等边三角形时， t为 4秒． （3）解：由（2）得，点M 、N 运动 4 秒后，可得到等边三角形 AMN，即 AMN 是以MN 为底边的等腰三角形； 当点M 、N 在 AC边上运动时，可以得到以MN为底的等腰三角形． 假设 BMN 是等腰三角形，则 BN BM ， BMN BNM   BMC ANB   ， 又 AB BC AC  ， ACB 是等边三角形， 60C B   ， 在 BCM 和 ABN 中， C A  ， BMC ANB   ， BC AB (AAS)BCM ABN ≌ CM AN  12CM t  ， 2 12AN t  12 2 12t t    ， 解得： 8t  ， 即当 t为 8 秒， BMN 为以MN为底边的等腰三角形； 同理可得，当点M 、N 在 BC边上运动时，也可以得到以MN为底的等腰三角形， 此时 AN AM ， ABN ACM△ ≌△ ，可得：CM BN 设当点M 、N 在 BC边上运动时，M 、 N 运动的时间 y秒时， AMN 是等腰三角形， 12CM y  ， 36 2NB y  ， 29 由题意得， 12 36 2y y   ， 解得： 16y  综上所述，点M 、N 能否与 ABC 中的某一顶点构成等腰三角形，M 、 N 运动的时间为 4 秒或 8秒或 16秒． 3．(1)① CAD ；② 12 (2)30 (3)8 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①由直角三角形的性质得出答案；②由等边三角形形的性质可得出答案； （2）由等边三角形及等腰三角形的性质求出 AEC 和 BEC 的度数，则可得出答案； （3）在CG上截取GH EG ，连接EH ，BG，证明 AASCHE AGB≌ （ ）△ △ ，由全等三 角形的性质可得出 2AG CH  ，则可得出答案． 【详解】（1）①∵ 60C  ， 90ADB  ， ∴ 30CAD  ， 故答案为： CAD ； ②∵ ABC 是等边三角形， ∴ AB AC BC  ， ∵ AD BC ， ∴ 1 30 2 CAD BAC    ，BD CD ， ∴ 1 1 2 2 CD AC CB  ． 故答案为： 1 2 ； （2）∵ 60ACB  ，CB AC ， ∴ ABC 是等边三角形， 30 ∵ AC CE ， ∴ BC CE ， ∴  1 1180 60 60 2 2 BEC EBC             ， ∵ AC CE ， ∴  1 1180 90 2 2 CAE AEC           ， ∴ 1 190 60 30 2 2 AEB AEC BEC a a                ； （3）在CG上截取GH EG ，连接EH ，BG， ∵BC CE AC  ，F为 BE的中点， ∴CF BE ，  BCG ECG， ∴CF是 BE的中垂线， ∴BG GE ， 由（2）可知 30AEB  ， ∴ 60EGF  ， ∵EG GH ， ∴ EGH 是等边三角形， ∴EG EH ， 60GHE  ， ∴ BG EH ， 1 第五章 图形的轴对称 考点 1 轴对称图形的识别 1．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是 （ ） A． B． C． D． 模块 章节重难点考察 考点 1.轴对称图形的识别 考点 2.尺规作图综合—作角平分线 考点 3.角平分线的性质应用 考点 4.尺规作图综合—作垂直平分线 考点 5.垂直平分线的性质应用 考点 6.全等手拉手模型 考点 7.利用等腰三角形的性质求角度或证明 考点 8.等腰三角形的分类讨论与存在性问题 考点 9.等腰（边）三角形的判定性质综合 考点 10.轴对称作图及面积问题 考点 11.将军饮马问题 章节重难点考察 模块导航 2 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形 的是（ ） A． 赵爽弦图 B． 科克曲线 C． 阿基米德螺线 D． 斐波那契螺旋线 3．（22-23七年级下·重庆南岸·期末）图是 4 4 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其 中点 , ,A B C均在格点上．请在给定的网格中，找一格点D，使以点 , , ,A B C D为顶点的四边 形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是 个． 考点 2 尺规作图综合—作角平分线 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在 ABC 中， 50 , 35B C     ，分别以点 A和点 C 为圆心，大于 1 2 AC的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线MN，交 BC于点 D，连 接 AD，则 BAD 的度数为（ ） A．60 B．70 C．75 D．85 3 2．（20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，在Rt ABC 中， 90C  ， 6AB  ． （1）根据要求用尺规作图：作 CAB 的平分线交 BC于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．） （2）根据要求用尺规作图：作出点D到边 AB的距离DE；（不写作法，只保留作图痕迹．） （3）在（1）（2）的条件下， 2CD  ，求 ADB 的面积． 3．（20-21七年级下·广东佛山·期末）解答下列问题 （1）如图 1，使用角尺这个工具，可以画出角平分线．做法如下：已知∠AOB，在边 OA、边 OB上分别取 OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 D，E重合，这时过角尺顶 点 P的射线 OP就是∠AOB的平分线，此处用到三角形全等的判定方法是_______________． （2）①如图 2，在△ABC中，AB＝AC，D是 CA延长线上的一点，点 E是 AB的中点．利用 尺规作图作∠DAB的平分线 AM，连接 CE并延长交 AM于点 F．（要求：在图中标明相应字 母，保留作图痕迹，不写作法） ②试猜想 AF与 BC有怎样的关系，并说明理由． 4 考点 3 角平分线的性质应用 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在 ABC 中，BE，CE分别是 ABC 和 ACB 的平分线，ED AC∥ ，交 BC于点 D， EF AB 于点 F．若 35BC  ， 5EF  ， 13DE  ， 则 EBD△ 的面积为（ ） A．50 B．55 C．60 D．65 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，E是 AD中点， BE平分 ABC ． (1)若 90A D    ，求证：CE平分 DCB ． (2)若 BE EC ，求证： AB CD BC  ． 5 考点 4 尺规作图综合—作垂直平分线 1．（19-20八年级上·福建泉州·期末）如图，已知等腰 ABC 顶角 36A  ． (1)在 AC上作一点 D，使 AD BD （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明， 最后用黑色墨水笔加黑）． (2)求证： BCD△ 是等腰三角形． 2．（22-23七年级下·贵州毕节·期末）作图题： 金沙县新城区黄河大道 l的一侧有 A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在 黄河大道 l上修建一个公交车站．请问公交车站 P建在什么位置从商住小区 A乘坐公交车到小 区 B的路程最近，请在图中做出点 P的位置． 考点 5 垂直平分线的性质应用 1．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在 ABC 中， 11AB  ， 6AC  ， 8BC  ，AC 的垂直平分线交 AC于点D，交 AB于点E，则 BCE 的周长为（ ） A．18 B．14 C．17 D．19 6 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 ABC 中， AB AC ， AD是 ABC 的中 线，点 E在 AC上，且 AE AD ，连接DE，若 20CDE  ，则 B 的度数为 °． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在 ABC 中，BD AC 于点D，点M 是 AC上 一点，DM AD ，MN BC 于点 N ，且 ABD CBM   ，若 A   ，则用 表示 C 的度数为 ． 4．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图， ABC 中， 45 ,ABC AD BC    于点 D， BE AC 于点 E， AD与 BE交于点 F． (1)求证：DC DF ； (2)若点 E恰在线段 AD的垂直平分线上，求证： AB BD DF  ． 7 考点 6 全等手拉手模型 1．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角 的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看 作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图 1， ABC 与 ADE 都是等腰三角形， AB AC ， AD AE ，且 BAC DAE   ，则有 ABD△ ≌ ；线段BD和CE的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图 2， ABC 和 ADE 是都是等腰三角形，即 AB AC ， AD AE ，且 90BAC DAE    ，B，C，D在同一条直线上．请判断线段BD与CE存在怎样的数量关 系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图 3，直线 1 2l l ，垂足为点 O， 2l 上有一点 M在点 O右侧且 4OM  ，点 N是 1l 上一个动点，连接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN MP ， 90NMP  ， 连接OP．请直接写出线段OP的最小值及此时ON的长度． 8 2．（23-24七年级下·广东深圳·期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个 模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角 顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为 “手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图 1，在 ABC 与 ADE 中，AB AC ，AD AE ，  40BAC DAE AB AD     ， 连接BD，CE，当点E落在 AB边上，且D，E，C三点共线时，则在这个“手拉手模型” 中，和 ABD△ 全等的三角形是____________， BDC 的度数为____________． (2)如图 2，已知 ABC ，分别以 AB、 AC为直角边向 ABC 两侧作等腰直角 ABE 和等腰直 角 ACD ，其中 90BAE CAD    ，连接CE、BD，线段CE和BD交于点O． ①证明：CE BD 且CE BD ； ②若DC与 BC在同一直线上，如图 3，延长DA与CE交于点F ，连接 BF并延长，BF的延 长线与边 AE交于点G，且 AF AG ，若 ABE 和 ACD 的面积之和为 20， ABG 的面积 为 6，求线段EG的长． 9 考点 7 利用等腰三角形的性质求角度或证明 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）古建筑中，三角形结构被广泛运用在房梁设计中．如图， 在等腰三角形 ABC 的房梁中， AB AC ， 5 m 2 AB  ， 3 m 2 BD  ， 2mAD  ， AD是边 BC上的高．因年久失修，该房梁需要加固，于是工人准备在高 AD上找一点 E，在边 AC上 找一点 F，使得绳子从 C点出发，先绕到点 E，再绕到点 F，要使所用的绳子最短，则CE EF 的最小值为 ． 2．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）在 ABC 中，AB AC ，把 ABC 折叠，使点 B与点 A重合，折痕交 AB于点M ，交 AC于点N ．如果 CBN△ 是等腰三角形，则 C 的度数 为 ． 10 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图所示，在 ABC 中，DM EN、 分别垂直平分 AB和 AC，交 BC于 D、E． (1)若 40DAE  ，求 BAC 的度数； (2)若 ADE 的周长为 18，求 BC的长度． 考点 8 等腰三角形的分类讨论与存在性问题 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知 ABC 是等腰三角形，其中一个角的度数为50， 另外两个角的度数分别为 ． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知等腰 ABC 的周长为17，其中两条边长分别是 x和 2 1x  ，则该三角形的三边长分别为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在 ABC 中， AB AC ，BE是腰 AC上的中线． (1)若 AB BC ，则 ABE 的周长与 BEC 的周长之差为___________； (2)若 ABC 的周长为20cm， BE将 ABC 分成周长差为4cm的两部分，求 ABC 的边长． 11 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在 ABC 中， 2, 40AB AC B    ，点D在 线段 BC上运动（不与点B C、 重合），连结 AD，作 40 ,ADE DE   交线段 AC于点E． (1)若 25 ,BAD ADB     ________ ， EDC  ________ ，点D从点 B向点C运动时， BAD 逐渐变________（填“大”或“小”）． (2)若 2DC  ，求证： ABD DCE≌△ △ ． (3)在点D的运动过程中，是否存在 ADE 是等腰三角形的情形？若存在，请直接写出此时 BDA 的度数；若不存在，请说明理由． 考点 9 等腰（边）三角形的判定性质综合 1．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在等腰 ABC 中，BA BC ， 45ABC  ， BD平分 ABC ，折叠 ABC 使得点 B与点C重合，折痕交 AB、 BC、BD于点E、F 、 G，连接CE交BD于点H ． (1)求证：BH AC ； (2)连接 GC，若 5CD  ，求GD的长． 12 2．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图， ABC 中， 12cmAB BC AC   ，M 、N 分 别从点A、点 B同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点M 的运动速度为1cm/s， 点 N 的运动速度为2cm/s．当点 N 第一次到达 B点时，M 、 N 同时停止运动．设运动时间 为 ( 0)t t  ． (1)当 M、N两点重合时，求 t的值． (2)当 AMN 为等边三角形时，求 t的值． (3)点 M、N运动过程中，点 M、N能否与 ABC 中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出 对应的时间 t，若不能请说明理由． 3．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创 新组”三个数学活动小组，探究等边三角形的有关问题． (1)如图①，“智慧组”在等边 ABC 中，作 AD BC 于点 D，经过探究提出下面结论：在直角 三角形 Rt ABD（ ）△ 中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 1 2 BD AB     ． ①Rt ACD△ 中等于30的角为_____；②CD  ______ AC（直接填空） (2)“奋进组”直接探究了下面的问题： 13 已知：在 ABC 中，CA CB ， 60ACB  ，以CA为腰，在 ABC 外作等腰 CAE ，使 CA CE ， ACE   0 120   （ ），连接 BE，则 AEB 的度数是个定值，利用图②求 出 AEB 的度数； (3)“创新组”发现：在图②取 BE中点 F，连接CF并延长CF交直线 AE于点 G，若 2AG  ， 4AE  ，则可得出线段 FG的长．请求出线段 FG的长． 考点 10 轴对称作图及面积问题 1．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在边长为 1个单位的正方形网格中， ABC 经 过平移后得到 A B C   ，图中标出了点 B的对应点 B．根据下列条件，利用网格点和无刻度 的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）： (1)画出 A B C   ； (2)画出 ABC 的高BD； (3)连接 AA、CC，那么 AA与CC的关系是 ，线段AC扫过的图形的面积为 ． (4)在 AB的右侧确定格点 Q，使 ABQ 的面积和 ABC 的面积相等，这样的 Q点有 个． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在4 5 的方格纸中， ABC 的顶点均在格点上， 按下列要求作图． (1)作出图1中 ABC 的边 BC上的高线 AH （需要标出垂足H 点）； 14 (2)在图 2中找出一格点D，使 A，B，C，D所组成的四边形是轴对称图形（作出一个即可）； (3)直接写出（2）中你所作四边形的面积． 考点 11 将军饮马问题 1．（21-22七年级下·宁夏银川·期末）如图，在 ABC 中， 90BAC  ， 3AB  ， 4AC  ， EF垂直平分 BC，点 P为直线EF上任意一点，则 AP BP 的最小值是 ． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边 l上建一个燃气站，向 l 同侧的 A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点 A关于 l的对称点 A，线段 A B 与直线 l的交点 C的位置即为所求，即在 点 C处建燃气站，所得路线 ACB是最短的．为了证明点 C的位置即为所求，不妨在直线 l上 另外任取一点C，连接 AC，BC，证明 AC CB AC C B    ．请完成这个证明； (2)如果在 A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规 定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）．