2025年中考数学二轮专题：分式综合测试基础卷

分式综合测试基础卷 一、单选题 1．下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．对于分式，下列说法错误的是（   ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式值为0 C．当时，分式的值为 D．分式的值不可能为2 4．下列各式左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 6．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 7．下列四个分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 8．分式，，的最简公分母是(   ) A． B． C． D． 9．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 10．关于代数式，下列说法正确的是（　　） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，有意义 D．当时，有意义 11．下列计算，错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 12．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 13．若为正整数，则表示的值的点落在如图所示的区域（    ） A．① B．② C．③ D．④ 14．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 15．如图，若约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式，则代数式M是（    ） A． B． C． D． 16．若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 17．计算： ． 18．已知：（、、均不为零），则 ． 19．已知，，计算 ．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 20．当分别取100、、99、、98、、…、2、、1、0时，分式都对应着一个值，将所有这些值相加得到的和等于 ． 三、解答题 21．（1）计算：； （2）化简： 22．先化简，再求值：，其中的值从解集的整数解中选取． 23．下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是整式，请写出整式M，并写出完整的解答过程． 例：先化简，再求值：，其中． 解：原式． …… (1)整式______； (2)请写出完整的解答过程． 24．先化简，再求值，其中与1、3构成的三边长，且为整数． 25．观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 26．福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同． (1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？ (2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案： 方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购； 方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购． 通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 27．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例如，． 解决问题： (1)已知，则______； (2)对于分式， ①按分离常数法可以拆分为______； ②若该分式值为整数，求所有满足条件的整数x的值； (3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B B A A A C D 题号 11 12 13 14 15 16 答案 D A B C D A 1．D 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义：一般地，形如，A、B表示整式，且B中含有字母的式子叫做分式，判断即可． 【详解】解∶A．是整式，不符合题意； B．是整式，不符合题意； C．是整式，不符合题意； D．是分式，符合题意； 故选∶D． 2．B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件进而得出答案． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， ． 故选：B． 3．B 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、分式的求值 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，熟练掌握分式的值为零和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：A． 当时，分式有意义，故说法正确； B．当时，分式无意义，故说法错误； C．当时，分式的值为，故说法正确； D．， ∵， ∴分式的值不可能为2，故说法正确；． 故选：B． 4．B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质并运用是解决此题的关键．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断即可． 【详解】解：当时，，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，原变形不准确，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B． 5．B 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 6．A 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，因此令分子分母同乘5即可． 【详解】解：， 故选A． 7．A 【知识点】最简分式、约分 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】解：A、为最简分式，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 8．A 【知识点】最简公分母 【分析】根据确定最简公分母的方法是： (1)取各分母系数的最小公倍数； (2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； (3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母；即可得出答案． 【详解】解：分式，，的最简公分母是(m+n)2(m-n)； 故选A． 【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 9．C 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可． 【详解】∵分式与分式的最简公分母是， ∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为． 故选C． 10．D 【知识点】零指数幂 【分析】根据当时，有意义，且，即判断即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得， 即当时， 故选：D． 【点睛】本题考查了0次幂有意义的条件；熟练掌握0次幂有意义的条件是解题的关键． 11．D 【分析】选项A根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算，选项B根据积的乘方和幂的乘方进行计算，选项C根据幂的乘方和进行计算，选项D根据计算，即可判断出答案． 【详解】A．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，A选项正确，故不能选； B．，选项B正确，故不能选； C． ，选项C正确，故不能选； D．根据，，选项D错误，故选D， 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，负指数幂，零指数幂的运算，熟练掌握这些运算法则是解决本题的关键． 12．A 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 先根据乘法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为 ． 故选：A． 13．B 【知识点】分式加减乘除混合运算、不等式的性质 【分析】先根据分式的混合计算法则求出，然后求出即可得到答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ∴， ∴，即， ∴， ∴表示的值的点落在如图所示的区域②， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，不等式的性质，正确求出是解题的关键． 14．C 【知识点】分式化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，完全平方公式的运用，把两边平方即可得的值，然后根据即可求值 【详解】解：∵， ∴，即， 则， ∴， ∴， 故选：C 15．D 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】根据，即可求得 【详解】∵上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式， ∴， ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了分式加减混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决问题的关键 16．A 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式运算的规律问题； 分别计算出，，，得出，，，...，以，，为一个循环组依次循环，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ...， ∴，，，...，以，，为一个循环组依次循环， ∵， ∴的值是， 故选：A． 17． 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、实数的混合运算 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，根据负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 18．/ 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的求值，根据已知条件可设，，，将其代入所求式子，计算即可．解此类题可根据分式的基本性质先用未知数表示出，，，再代入计算． 【详解】解：（，，均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：． 19． 16 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式的求值 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值为整数，根据分式的混合运算法则求得，再根据的值为正整数，可得或2或3或6，即可求解．理解分式的值为整数时对分式的分子与分母的要求是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ∵的值为正整数，为整数 ∴或2或3或6， ∴符合题意的，3，4，7， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：，16． 20．-1 【知识点】分式化简求值 【分析】先把x=n和x=代入代数式，并对代数式化简，得到它们的和为0，然后把x=1、0代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和． 【详解】解：∵当x=n时，分式的值= ； 当x=时，分式的值= ∴当x分别取值，n（n为正整数）时，两分式的和==0 ∴当x的值互为倒数时，两分式的和为0． ∵除x=0和x=1外，其它的数都是成对的且互为倒数， ∴所有这些值相加得到的和 故答案为：-1． 【点睛】本题考查的是代数式的求值以及分式的化简，本题的x的取值较多，并且除x=0和x=1外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，是解题的关键． 21．（1）；（2） 【知识点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序，以及分式的混合运算，解答此题的关键是要明确：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的运算． （1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算小括号里面的减法，然后计算小括号外面的乘法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 22．，． 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、分式除法、整式与分式相加减 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法运算，最后根据分式有意义的条件，选取合适的x的值代入求解即可． 【详解】原式 的整数解，0，1，2 由分式有意义的条件：分式的分母不能为零可得，， 因此，只有符合题意 则当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的减法与除法运算、分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题关键． 23．(1)a (2)见解析 【知识点】异分母分式加减法、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式加减运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质即可求解； （2）先通分，化简后，将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ． （2）解：原式 ， 当时， 原式． 24．， 【知识点】分式化简求值、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了分式的化简求值，三角形三边关系，先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，然后根据三角形三边关系得到，然后代数求解即可． 【详解】解：原式 ， 与1、3构成的三边长，且为整数， ， 又为整数， ， 当时，原式． 25．(1) (2)证明见解析 【知识点】与实数运算相关的规律题、异分母分式加减法 【分析】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算； （1）由已知等式总结归纳可得； （2）先计算等式的右边括号内分式的减法运算，再乘以，再结合运算结果可得结论. 【详解】（1）解：由题意可得：（n为正整数）； （2）证明： ∴这个结论是正确的． 26．(1)甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元 (2)农场选择方案一合算，见解析 【知识点】分式乘除混合运算、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式．熟练掌握一元一次方程的应用，列代数式是解题的关键． （1）根据题意，得，计算求解，进而可求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价； （2）由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴甲种葡萄的实际销售单价为（元）， 乙种葡萄的实际销售单价为（元）． 答：甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元． （2）解：由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为， ∵． ∴农场选择方案一更合算． 27．(1) (2)①；②0、1、3、4； (3) 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、整式与分式相加减、分式加减的实际应用 【分析】（1）根据分离常数法即可得解； （2）①将分离为即可得解，根据为整数，则，即可得解； （3）把化为，根据的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为5； （2）解：①， 故答案为； ②若值为整数，即为整数，亦即为整数， 故，， ∴可取0、1、3、4； （3）解：．理由： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，分式的基本性质，不等式，理解并能运用“分离常数法”是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 分式综合测试基础卷 一、单选题 1．下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义：一般地，形如，A、B表示整式，且B中含有字母的式子叫做分式，判断即可． 【详解】解∶A．是整式，不符合题意； B．是整式，不符合题意； C．是整式，不符合题意； D．是分式，符合题意； 故选∶D． 2．若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件进而得出答案． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， ． 故选：B． 3．对于分式，下列说法错误的是（   ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式值为0 C．当时，分式的值为 D．分式的值不可能为2 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、分式的求值 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，熟练掌握分式的值为零和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：A． 当时，分式有意义，故说法正确； B．当时，分式无意义，故说法错误； C．当时，分式的值为，故说法正确； D．， ∵， ∴分式的值不可能为2，故说法正确；． 故选：B． 4．下列各式左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质并运用是解决此题的关键．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断即可． 【详解】解：当时，，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，原变形不准确，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B． 5．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 6．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，因此令分子分母同乘5即可． 【详解】解：， 故选A． 7．下列四个分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简分式、约分 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】解：A、为最简分式，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 8．分式，，的最简公分母是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简公分母 【分析】根据确定最简公分母的方法是： (1)取各分母系数的最小公倍数； (2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； (3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母；即可得出答案． 【详解】解：分式，，的最简公分母是(m+n)2(m-n)； 故选A． 【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 9．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可． 【详解】∵分式与分式的最简公分母是， ∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为． 故选C． 10．关于代数式，下列说法正确的是（　　） A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．当时，有意义 D．当时，有意义 【答案】D 【知识点】零指数幂 【分析】根据当时，有意义，且，即判断即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得， 即当时， 故选：D． 【点睛】本题考查了0次幂有意义的条件；熟练掌握0次幂有意义的条件是解题的关键． 11．下列计算，错误的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】选项A根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算，选项B根据积的乘方和幂的乘方进行计算，选项C根据幂的乘方和进行计算，选项D根据计算，即可判断出答案． 【详解】A．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，A选项正确，故不能选； B．，选项B正确，故不能选； C． ，选项C正确，故不能选； D．根据，，选项D错误，故选D， 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，负指数幂，零指数幂的运算，熟练掌握这些运算法则是解决本题的关键． 12．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 先根据乘法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为 ． 故选：A． 13．若为正整数，则表示的值的点落在如图所示的区域（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】分式加减乘除混合运算、不等式的性质 【分析】先根据分式的混合计算法则求出，然后求出即可得到答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ∴， ∴，即， ∴， ∴表示的值的点落在如图所示的区域②， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，不等式的性质，正确求出是解题的关键． 14．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，完全平方公式的运用，把两边平方即可得的值，然后根据即可求值 【详解】解：∵， ∴，即， 则， ∴， ∴， 故选：C 15．如图，若约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式，则代数式M是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】根据，即可求得 【详解】∵上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式， ∴， ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了分式加减混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决问题的关键 16．若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式运算的规律问题； 分别计算出，，，得出，，，...，以，，为一个循环组依次循环，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ...， ∴，，，...，以，，为一个循环组依次循环， ∵， ∴的值是， 故选：A． 二、填空题 17．计算： ． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、实数的混合运算 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，根据负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 18．已知：（、、均不为零），则 ． 【答案】/ 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的求值，根据已知条件可设，，，将其代入所求式子，计算即可．解此类题可根据分式的基本性质先用未知数表示出，，，再代入计算． 【详解】解：（，，均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：． 19．已知，，计算 ．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 16 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式的求值 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值为整数，根据分式的混合运算法则求得，再根据的值为正整数，可得或2或3或6，即可求解．理解分式的值为整数时对分式的分子与分母的要求是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ∵的值为正整数，为整数 ∴或2或3或6， ∴符合题意的，3，4，7， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：，16． 20．当分别取100、、99、、98、、…、2、、1、0时，分式都对应着一个值，将所有这些值相加得到的和等于 ． 【答案】-1 【知识点】分式化简求值 【分析】先把x=n和x=代入代数式，并对代数式化简，得到它们的和为0，然后把x=1、0代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和． 【详解】解：∵当x=n时，分式的值= ； 当x=时，分式的值= ∴当x分别取值，n（n为正整数）时，两分式的和==0 ∴当x的值互为倒数时，两分式的和为0． ∵除x=0和x=1外，其它的数都是成对的且互为倒数， ∴所有这些值相加得到的和 故答案为：-1． 【点睛】本题考查的是代数式的求值以及分式的化简，本题的x的取值较多，并且除x=0和x=1外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，是解题的关键． 三、解答题 21．（1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【知识点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序，以及分式的混合运算，解答此题的关键是要明确：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的运算． （1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先计算小括号里面的减法，然后计算小括号外面的乘法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 22．先化简，再求值：，其中的值从解集的整数解中选取． 【答案】，． 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、分式除法、整式与分式相加减 【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法运算，最后根据分式有意义的条件，选取合适的x的值代入求解即可． 【详解】原式 的整数解，0，1，2 由分式有意义的条件：分式的分母不能为零可得，， 因此，只有符合题意 则当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的减法与除法运算、分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题关键． 23．下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是整式，请写出整式M，并写出完整的解答过程． 例：先化简，再求值：，其中． 解：原式． …… (1)整式______； (2)请写出完整的解答过程． 【答案】(1)a (2)见解析 【知识点】异分母分式加减法、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式加减运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质即可求解； （2）先通分，化简后，将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ． （2）解：原式 ， 当时， 原式． 24．先化简，再求值，其中与1、3构成的三边长，且为整数． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了分式的化简求值，三角形三边关系，先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，然后根据三角形三边关系得到，然后代数求解即可． 【详解】解：原式 ， 与1、3构成的三边长，且为整数， ， 又为整数， ， 当时，原式． 25．观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】与实数运算相关的规律题、异分母分式加减法 【分析】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算； （1）由已知等式总结归纳可得； （2）先计算等式的右边括号内分式的减法运算，再乘以，再结合运算结果可得结论. 【详解】（1）解：由题意可得：（n为正整数）； （2）证明： ∴这个结论是正确的． 26．福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同． (1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？ (2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案： 方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购； 方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购． 通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 【答案】(1)甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元 (2)农场选择方案一合算，见解析 【知识点】分式乘除混合运算、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式．熟练掌握一元一次方程的应用，列代数式是解题的关键． （1）根据题意，得，计算求解，进而可求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价； （2）由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴甲种葡萄的实际销售单价为（元）， 乙种葡萄的实际销售单价为（元）． 答：甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元． （2）解：由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为， ∵． ∴农场选择方案一更合算． 27．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例如，． 解决问题： (1)已知，则______； (2)对于分式， ①按分离常数法可以拆分为______； ②若该分式值为整数，求所有满足条件的整数x的值； (3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围______． 【答案】(1) (2)①；②0、1、3、4； (3) 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、整式与分式相加减、分式加减的实际应用 【分析】（1）根据分离常数法即可得解； （2）①将分离为即可得解，根据为整数，则，即可得解； （3）把化为，根据的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为5； （2）解：①， 故答案为； ②若值为整数，即为整数，亦即为整数， 故，， ∴可取0、1、3、4； （3）解：．理由： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，分式的基本性质，不等式，理解并能运用“分离常数法”是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$