2025年中考数学二轮专题：分式综合测试提升卷

分式综合测试提升卷 一、单选题 1．下列各式，，，，，，，中，分式共有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，，，，是分式，共6个， 故选：B． 2．要使有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得，且， 故选：C． 3．根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式无意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答． 【详解】解：当时，分式无意义， 分式的分母可能是． 当时，分式的值为0， 分式的分子可能是． 分式可能是． 故选：C． 4．将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（    ） A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．不变 D．变为原来的一半 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】把原分式中的x、y分别替换成 2x，2y ，然后利用分式的基本性质化简即可得到答案． 【详解】解：∵分式中x、y的值都变为原来的2倍， ∴分式变为： 则该分式的值变为原来的2倍． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是掌握分式的基本性质． 5．将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【答案】A 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和平方的运算法则，分别计算出各式的值再进行比较即可． 【详解】解：∵=6，=1，=9， 又∵1＜6＜9， ∴＜＜． 故选A． 【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂和平方的运算．负整数指数幂为相应的正整数指数幂的倒数；任何非0实数的0次幂等于1． 6．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】根据分式乘除运算法则对原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解： = =. 故选：B. 【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．若分式运算的结果为x，则在□中添加的运算符号为（    ） A．+ B．+或÷ C．-或÷ D．+或× 【答案】C 【知识点】分式乘法、分式除法、同分母分式加减法 【分析】给括号里分别添加“+、﹣、×、÷”计算，即可得出结论． 【详解】； ； ； ． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除，熟练掌握分式的加减乘除的运算法则是解答的关键． 8．老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目： 若为正整数，求的最大值或最小值． 接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是（   ） 甲：（把原式通分）原式． 乙：（得到化简结果）． 丙：（确定的值）因为为正整数，所以有最小值1． 丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】异分母分式加减法、分式有意义的条件 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，掌握分式的性质，分式有意义的条件是解题的关键． 根据异分母分式的加减运算法则计算，再根据分式有意义的条件判定即可求解． 【详解】解： ，故甲正确， ，故乙正确， ∵分式要意义， ∴， ∴或， ∴首先出错的是丙，故丙错误，C选项符合题意； ∵为正整数，且， ∴的最小值为， ∴原式有最大值，最大值， 故选：C ． 9．已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【答案】C 【知识点】整式的加减运算、等腰三角形的性质和判定、分式加减混合运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 10．若满足,则的值为（     ） A．1或0 B． 或0 C．1或 D．1或 【答案】D 【知识点】分式的求值 【详解】令,则 则且,则k=1，当k=1则；当k=-1，. 故选D. 11．已知a，b为实数，且，，设，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键．先计算出，，然后根据选项的已知条件，逐一计算判断即可． 【详解】解： ，， ， ， A、若，则，但不能判断的符号，故不能得出，即不能得到，故该选项错误，不符合题意； B、若，同理无法判断的符号，不能得到，故该选项错误，不符合题意； C、若，则，故该选项正确，符合题意； D、若，则，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 12．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．是的倍 【答案】C 【知识点】分式除法、分式加减的实际应用 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．先利用平均数的定义得到，，再计算和，从而可得到正确答案． 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， ， 即，所以选项正确； ， ，所以选项错误． 故选：． 13．若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式运算的规律问题； 分别计算出，，，得出，，，...，以，，为一个循环组依次循环，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ...， ∴，，，...，以，，为一个循环组依次循环， ∵， ∴的值是， 故选：A． 14．对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作” 例如：，，…下列说法： ①对于“绝对和差操作，若，则化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，按照分式运算法则即可判断①，举例计算，即可判断②，5个分式，每个分式有正负两种情况，则组合的可能有：（种），根据，可以判断③． 【详解】① ， ∵， ∴， ∴原式，故①正确； ②举例： ， 即至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数，故②正确； ③，，，，这5个分式，每个分式有正负两种情况， 则组合的可能有：（种）， 又∵， ∴至少有两种情况的结果相同， ∴所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果，故③错误， 故正确的有2个， 故选：C． 15．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有（），解得，这时矩形的周长最小，因此（）的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子（）的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，理解并应用题目中的计算方法是解题的关键． 根据题目中的计算方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在原式中分母分子同除以， 即； 在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是， 矩形的周长是； 当矩形成为正方形时，就有（）， 解得：， 这时矩形的周长最小， 因此（）的最小值是． 故选：A． 16．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定： ． 下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式的运算、数字规律等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键， 根据题意，找到循环周期和规律，然后逐一判断即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，，，，…… 即：这列数以x，，，，每四个为一个周期循环， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，，，，， ∴， 由此可得、都是以4个数为一周期的数列， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：D． 二、填空题 17．计算： ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为： 18．已知非零实数，满足，则的值等于 ． 【答案】5 【知识点】分式化简求值 【分析】由条件变形得，，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值． 【详解】解：由得：， 即， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，关键是根据条件，变形为，然后整体代入． 19．若，则 ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键，根据分式加减的运算得到，再根据，得到，解出的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 20．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以 2，再除以它与 1 的和，多次重复进行这种运算的过程如下∶ 则= （用含字母 x 的代数式表示）； 第 n次的运算结果记为，则=   （用含字母 x和 n 的代数式表示）． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】根据计算程序按步骤进行计算，从而即可得解． 【详解】解：将y1=代入得：y2==； 将y2=代入得：y3==，依此类推，第n次运算的结果yn= ． 故答案为，． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，找出题中的规律是解本题的关键． 三、解答题 21．下面是小赣同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)①以上化简步骤中，变形的依据是分式的基本性质和 ； ②从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，请你从，，1中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)①分式的除法法则　②二；应用分式的基本性质时，第二个分式的分子没乘（x－1） (2) 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题目中的解答过程可得出结论； （2）利用分式的混合运算的法则解答即可． 【详解】（1）解：①以上化简步骤中，第一步变形的依据是分式的基本性质和分式的除法法则， ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子没乘， 故答案为：①分式的基本性质和分式的除法法则；②二；应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子没乘； （2）解： ； ∵ ∴， ∴当时，原式． 22．先化简，再求值：，其中x为整数且满足不等式组． 【答案】，. 【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解 【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，由x为整数且满足不等式组可以求得x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可得答案． 【详解】解：原式= = =， 由得，2＜x≤3， ∵x是整数， ∴x=3， ∴原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握分式的化简求值的方法是解答本题的关键． 23．已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求正整数y的值． (3)设，若m为整数，求正整数y的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)0或1或3 (3)1或0或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式的加减计算： （1）利用作差法得到，，得到，则； （2）先得到，再由y是正整数，得到或或，解之即可； （3）先求出，再由y是正整数，得到或或，解之即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∵y是正整数， ∴或或， ∴或或； （3）解：∵，， ∴， ∵y是正整数， ∴或或 ∴或或． 24．阅读下列材料，然后回答问题 . 已知 ，，，，，，….，当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，. （1）求；（用含的代数式表示） （2）直接写出 ；（用含的代数式表示） （3）计算：= ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）先计算出S2，再计算出S3即可. （2）根据S1，S2，S3，S4，S5，S6，….的值，得出当n为大于1的偶数时的结果的规律，从而得出结果. （3）根据式子的规律，第n项奇数项与第n+1项偶数项相加得-1，可得出结果. 【详解】（1）∵ ， ∴ ∴ （2）由题意，可得 ， S5=-a-1, S6=a, …… 根据以上结果可知，S7=S1,后面每6个数就依次循环一次 ∵2020=336×6+4， ∴ （3） =（-1）+（-1）+（-1）+…+（-1） = 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的特点，利用技巧进行解答． 25．阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 【答案】(1)；或；或； (2) 【知识点】因式分解的应用、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】（1）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式． （2）根据题意可得，原不等式变形为，即，把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求解即可． 【详解】（1）解：， 根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：，解②得：无解， 所以原不等式的解集是； ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； ， ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； 故答案为：；或；或； （2）解： ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴①或② 解①得：无解，解②得：， ∴原不等式的解集是． 26．观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． (1)根据以上式子填空： ① ． ② ． (2)求分式的最小值． (3)已知为整数，求能使分式的值为整数的所有值的和． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】（1）根据所给的规律对①②进行运算即可； （2）结合所给的规律进行求解即可； （3）结合所给的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2） ， 要求原式的最小值，则的值最大， 当时，， ∴的最小值为：； （3） ， 要使结果为整数， 则为整数， 的值为：或或或， 其和为：． 【点睛】本题主要考查分式的加减，数字的变化规律，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，及找到存在的规律． 27．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【知识点】最简分式、按要求构造分式、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 分式综合测试提升卷 一、单选题 1．下列各式，，，，，，，中，分式共有（ ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 2．要使有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 3．根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 4．将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（    ） A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．不变 D．变为原来的一半 5．将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 6．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 7．若分式运算的结果为x，则在□中添加的运算符号为（    ） A．+ B．+或÷ C．-或÷ D．+或× 8．老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目： 若为正整数，求的最大值或最小值． 接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是（   ） 甲：（把原式通分）原式． 乙：（得到化简结果）． 丙：（确定的值）因为为正整数，所以有最小值1． 丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 10．若满足,则的值为（     ） A．1或0 B． 或0 C．1或 D．1或 11．已知a，b为实数，且，，设，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．是的倍 13．若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 14．对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作” 例如：，，…下列说法： ①对于“绝对和差操作，若，则化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有（），解得，这时矩形的周长最小，因此（）的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子（）的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定： ． 下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 17．计算： ． 18．已知非零实数，满足，则的值等于 ． 19．若，则 ． 20．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以 2，再除以它与 1 的和，多次重复进行这种运算的过程如下∶ 则= （用含字母 x 的代数式表示）； 第 n次的运算结果记为，则=   （用含字母 x和 n 的代数式表示）． 三、解答题 21．下面是小赣同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)①以上化简步骤中，变形的依据是分式的基本性质和 ； ②从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，请你从，，1中选择一个合适的数代入求值． 22．先化简，再求值：，其中x为整数且满足不等式组． 23．已知，． (1)当时，比较与0的大小，并说明理由； (2)设，若m为整数，求正整数y的值． (3)设，若m为整数，求正整数y的值． 24．阅读下列材料，然后回答问题 . 已知 ，，，，，，….，当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，. （1）求；（用含的代数式表示） （2）直接写出 ；（用含的代数式表示） （3）计算：= ． 25．阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 26．观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． (1)根据以上式子填空： ① ． ② ． (2)求分式的最小值． (3)已知为整数，求能使分式的值为整数的所有值的和． 27．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A A B C C C D 题号 11 12 13 14 15 16 答案 C C A C A D 1．B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，，，，是分式，共6个， 故选：B． 2．C 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得，且， 故选：C． 3．C 【知识点】分式无意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答． 【详解】解：当时，分式无意义， 分式的分母可能是． 当时，分式的值为0， 分式的分子可能是． 分式可能是． 故选：C． 4．A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】把原分式中的x、y分别替换成 2x，2y ，然后利用分式的基本性质化简即可得到答案． 【详解】解：∵分式中x、y的值都变为原来的2倍， ∴分式变为： 则该分式的值变为原来的2倍． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是掌握分式的基本性质． 5．A 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和平方的运算法则，分别计算出各式的值再进行比较即可． 【详解】解：∵=6，=1，=9， 又∵1＜6＜9， ∴＜＜． 故选A． 【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂和平方的运算．负整数指数幂为相应的正整数指数幂的倒数；任何非0实数的0次幂等于1． 6．B 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】根据分式乘除运算法则对原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解： = =. 故选：B. 【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．C 【知识点】分式乘法、分式除法、同分母分式加减法 【分析】给括号里分别添加“+、﹣、×、÷”计算，即可得出结论． 【详解】； ； ； ． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的加减乘除，熟练掌握分式的加减乘除的运算法则是解答的关键． 8．C 【知识点】异分母分式加减法、分式有意义的条件 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，掌握分式的性质，分式有意义的条件是解题的关键． 根据异分母分式的加减运算法则计算，再根据分式有意义的条件判定即可求解． 【详解】解： ，故甲正确， ，故乙正确， ∵分式要意义， ∴， ∴或， ∴首先出错的是丙，故丙错误，C选项符合题意； ∵为正整数，且， ∴的最小值为， ∴原式有最大值，最大值， 故选：C ． 9．C 【知识点】整式的加减运算、等腰三角形的性质和判定、分式加减混合运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 10．D 【知识点】分式的求值 【详解】令,则 则且,则k=1，当k=1则；当k=-1，. 故选D. 11．C 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键．先计算出，，然后根据选项的已知条件，逐一计算判断即可． 【详解】解： ，， ， ， A、若，则，但不能判断的符号，故不能得出，即不能得到，故该选项错误，不符合题意； B、若，同理无法判断的符号，不能得到，故该选项错误，不符合题意； C、若，则，故该选项正确，符合题意； D、若，则，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 12．C 【知识点】分式除法、分式加减的实际应用 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．先利用平均数的定义得到，，再计算和，从而可得到正确答案． 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， ， 即，所以选项正确； ， ，所以选项错误． 故选：． 13．A 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式运算的规律问题； 分别计算出，，，得出，，，...，以，，为一个循环组依次循环，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ...， ∴，，，...，以，，为一个循环组依次循环， ∵， ∴的值是， 故选：A． 14．C 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，按照分式运算法则即可判断①，举例计算，即可判断②，5个分式，每个分式有正负两种情况，则组合的可能有：（种），根据，可以判断③． 【详解】① ， ∵， ∴， ∴原式，故①正确； ②举例： ， 即至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数，故②正确； ③，，，，这5个分式，每个分式有正负两种情况， 则组合的可能有：（种）， 又∵， ∴至少有两种情况的结果相同， ∴所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果，故③错误， 故正确的有2个， 故选：C． 15．A 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，理解并应用题目中的计算方法是解题的关键． 根据题目中的计算方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在原式中分母分子同除以， 即； 在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是， 矩形的周长是； 当矩形成为正方形时，就有（）， 解得：， 这时矩形的周长最小， 因此（）的最小值是． 故选：A． 16．D 【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式的运算、数字规律等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键， 根据题意，找到循环周期和规律，然后逐一判断即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，，，，…… 即：这列数以x，，，，每四个为一个周期循环， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，，，，， ∴， 由此可得、都是以4个数为一周期的数列， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 综上所述：正确的有①②③，共3个． 故选：D． 17． 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为： 18．5 【知识点】分式化简求值 【分析】由条件变形得，，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值． 【详解】解：由得：， 即， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，关键是根据条件，变形为，然后整体代入． 19． 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键，根据分式加减的运算得到，再根据，得到，解出的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 20． 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】根据计算程序按步骤进行计算，从而即可得解． 【详解】解：将y1=代入得：y2==； 将y2=代入得：y3==，依此类推，第n次运算的结果yn= ． 故答案为，． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，找出题中的规律是解本题的关键． 21．(1)①分式的除法法则　②二；应用分式的基本性质时，第二个分式的分子没乘（x－1） (2) 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题目中的解答过程可得出结论； （2）利用分式的混合运算的法则解答即可． 【详解】（1）解：①以上化简步骤中，第一步变形的依据是分式的基本性质和分式的除法法则， ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子没乘， 故答案为：①分式的基本性质和分式的除法法则；②二；应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子没乘； （2）解： ； ∵ ∴， ∴当时，原式． 22．，. 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、分式化简求值 【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，由x为整数且满足不等式组可以求得x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可得答案． 【详解】解：原式= = =， 由得，2＜x≤3， ∵x是整数， ∴x=3， ∴原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握分式的化简求值的方法是解答本题的关键． 23．(1)，理由见解析 (2)0或1或3 (3)1或0或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式的加减计算： （1）利用作差法得到，，得到，则； （2）先得到，再由y是正整数，得到或或，解之即可； （3）先求出，再由y是正整数，得到或或，解之即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∵y是正整数， ∴或或， ∴或或； （3）解：∵，， ∴， ∵y是正整数， ∴或或 ∴或或． 24．（1）；（2）；（3） 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）先计算出S2，再计算出S3即可. （2）根据S1，S2，S3，S4，S5，S6，….的值，得出当n为大于1的偶数时的结果的规律，从而得出结果. （3）根据式子的规律，第n项奇数项与第n+1项偶数项相加得-1，可得出结果. 【详解】（1）∵ ， ∴ ∴ （2）由题意，可得 ， S5=-a-1, S6=a, …… 根据以上结果可知，S7=S1,后面每6个数就依次循环一次 ∵2020=336×6+4， ∴ （3） =（-1）+（-1）+（-1）+…+（-1） = 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的特点，利用技巧进行解答． 25．(1)；或；或； (2) 【知识点】因式分解的应用、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】（1）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式． （2）根据题意可得，原不等式变形为，即，把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求解即可． 【详解】（1）解：， 根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：，解②得：无解， 所以原不等式的解集是； ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； ， ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； 故答案为：；或；或； （2）解： ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴①或② 解①得：无解，解②得：， ∴原不等式的解集是． 26．(1)①；② (2) (3) 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】（1）根据所给的规律对①②进行运算即可； （2）结合所给的规律进行求解即可； （3）结合所给的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2） ， 要求原式的最小值，则的值最大， 当时，， ∴的最小值为：； （3） ， 要使结果为整数， 则为整数， 的值为：或或或， 其和为：． 【点睛】本题主要考查分式的加减，数字的变化规律，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，及找到存在的规律． 27．(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【知识点】最简分式、按要求构造分式、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$