精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次学业诊断检测数学试题

2024—2025学年第二学期高二年级第一次学业诊断检测 数学试题 考试时间：120分钟 考试分值：150分 命题人：王德固 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 20种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】直接由加法计数原理即可求解. 【详解】依题意，不同的选法共有种． 故选：B． 2. 某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十天的运动时长为（ ） A. 45分钟 B. 50分钟 C. 55分钟 D. 60分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式计算可得结果. 【详解】设该同学每天的运动时长构成等差数列，公差为， 由题意得，， ∴，即该同学第十天的运动时长为55分钟. 故选：C. 3. 若，则（ ） A. 121 B. 122 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别令、所得两式相加可得答案. 【详解】令，得； 令，得， 两式相加得 所以. 故选：C. 4. 抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字正方体玩具．设事件为“向上一面点数为偶数”，事件为“向上一面点数为6的约数”，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知并事件所包含的情况，结合古典概型公式计算得答案； 【详解】由题意得，抛掷结果有6种可能，事件即为向上一面的点数为2或4或6， 事件即为向上一面的点数为1或2或3或6， 事件即为向上一面的点数为1或2或3或4或6， 所以． 故选：D. 5. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 6. 已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件概念求解即可. 【详解】因为事件A，B互斥，所以它们都不发生的概率为， 所以 又因为， 所以 所以 故选：D. 7. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）． A. B. 5 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列下标和的性质有，结合已知得，再应用对数运算性质求值. 【详解】由题设知，而，则 则. 故选：B 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率． 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，可得，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，依次可判断A、B、C，再由裂项相消法判断D. 【详解】当时，由，得，解得， 当时，， 即， 即数列为以为首项，以为公比的等比数列， 则，，，所以A、C错误，B正确； 又， 数列的前10项和为： ，D正确. 故选：BD. 10. 已知直线，圆，则（    ） A 经过定点 B. 圆与圆：外离 C. 当与圆相切时，. D. 圆心到直线距离的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据方程的形式，联立方程，即可求定点，判断A，根据两圆位置关系判断B；根据相切结合点到直线的距离公式运算判断C；求出圆心到动直线的最大距离即可判断D. 【详解】对于选项A：因为， 令，解得，所以l过定点，故A正确； 对于选项B：圆可化为，可知其圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 因为，即，可知两圆相交，故B错误； 对于选项C：若与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得，故C错误； 对于选项D：当时，圆心到直线距离的最大， 此时最大值为，故D正确. 故选：AD. 11. 在长方体中，，，E是的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据空间向量的线性运算分析判断；对于BCD：建系，利用空间向量求相关夹角和距离. 【详解】对于A：因为，故A正确； 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 可得， ， 对于B：因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故B错误； 对于C：设平面的法向量，则， 令，则，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对于D：设平面的法向量，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列满足，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨数列的周期，进而求出所求值. 【详解】数列中，，由，得，则， 因此数列是以2为周期的周期数列，， 所以，. 故答案为： 13. 中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有______种. 【答案】 【解析】 【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】解：根据题意，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色． 先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择； 当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择， 故不同的涂色方案有种． 故答案为： 14. 直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆内或椭圆上，结合椭圆方程可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5． （1）求样本容量n以及频率分布直方图中的x； （2）估计全年级学生竞赛成绩的平均数； （3）从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由成绩在区间的频率为，求得样本容量，频率分布直方图中频率和为1求得； （2）根据频率分布直方图估计平均数； （3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率． 【小问1详解】 成绩在区间的频率为，， 由频率分布直方图可得第4组的频率为 ，故. 【小问2详解】 先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为 （分）， 估计全年级学生竞赛成绩的平均数为； 【小问3详解】 得分成绩在有（人）， 这组的3名学生分别为， ， ， 得分在区间[90，100]有（人）， 这组的2名学生分别为，， 随机抽取两人，所以可能的结果为 共10种， 所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的结果为 共7种， 故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是. 16. 已知数列是递增的等比数列，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质可得，即可求解公比得解， （2）根据裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 由可得，又， 故是方程的两个实数根，且 故，进而， 故， 【小问2详解】 由题意得， 故， 因此 17. 如图，三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，，分别为，的中点，与交于点，若，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若三棱柱的体积为4，求锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过平面，得到，再通过平面，得到，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 证明：由，分别为，的中点， 由正方形易知：, 所以， 又, 所以，所以， 又，，平面内， 因此平面，又平面，故. 由平面平面，平面平面， 且，平面， 从而平面，平面，故； 又，又平面， 故平面. 【小问2详解】 因为三棱柱的体积为4， 由（1）知：三棱柱的体积为 则. 因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则即 令，则，，从而. 设平面的法向量为，则即 令，则，，从而. 则， 即锐二面角的余弦值为. 18. 已知数列满足． （1）设，写出； （2）证明数列为等比数列； （3）求数列的前项和． 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知的数列递推关系，分别代入计算的前三项. （2）通过分析的递推关系，利用等比数列的定义来证明为等比数列. （3）先求出的通项公式，再根据与的关系求出. 【小问1详解】 已知，因为，所以. 当时，，即. 当时，. 先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即. 当时，. 先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即. 【小问2详解】 由可得. 所以. 则. 又. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问3详解】 由（2）可知，则. . 因为，. 所以. 即. 由等比数列求和公式可得. 所以. 19. 已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. （1）求C的方程及； （2）设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B.证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可得，代入抛物线方程即可得； （2）设直线l的方程为，联立方程利用韦达定理可得圆的方程，令运算求解即可. 【小问1详解】 因为抛物线C：（）经过点，F为抛物线的焦点，且， 所以由抛物线的定义，可得，解得，所以， 又因为P的横坐标为1， 所以，解得， 又，所以. 小问2详解】 因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为， 设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得.故，. 可得，， 设，，则，， 可得直线OM的方程为， 与联立，可得，同理可得. 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，圆的半径为， 则圆的方程为. 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期高二年级第一次学业诊断检测 数学试题 考试时间：120分钟 考试分值：150分 命题人：王德固 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A 10种 B. 12种 C. 20种 D. 36种 2. 某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十天的运动时长为（ ） A. 45分钟 B. 50分钟 C. 55分钟 D. 60分钟 3. 若，则（ ） A 121 B. 122 C. D. 4. 抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字的正方体玩具．设事件为“向上一面点数为偶数”，事件为“向上一面点数为6的约数”，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）． A. B. 5 C. D. 30 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线经过，且与C交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 10. 已知直线，圆，则（    ） A. 经过定点 B. 圆与圆：外离 C 当与圆相切时，. D. 圆心到直线距离的最大值为 11. 在长方体中，，，E是的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列满足，且，则________． 13. 中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域与区域）所涂颜色相同.若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有______种. 14. 直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5． （1）求样本容量n以及频率分布直方图中的x； （2）估计全年级学生竞赛成绩的平均数； （3）从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？ 16. 已知数列是递增的等比数列，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，，分别为，的中点，与交于点，若，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若三棱柱的体积为4，求锐二面角的余弦值. 18. 已知数列满足． （1）设，写出； （2）证明数列为等比数列； （3）求数列的前项和． 19. 已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. （1）求C的方程及； （2）设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B.证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $