专题7.3 离散型随机变量的数字特征【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.3 离散型随机变量的数字特征【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求离散型随机变量的均值】 2 【题型2 均值的性质】 4 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 6 【题型4 求离散型随机变量的方差、标准差】 8 【题型5 方差的性质】 11 【题型6 求两点分布的均值与方差】 13 【题型7 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 14 【题型8 决策问题】 19 【知识点1 离散型随机变量的均值】 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 【题型1 求离散型随机变量的均值】 【例1】（23-24高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据已知求出分布列的概率，再求出数学期望即可. 【解答过程】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种， 所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故， 不小于500的结果有4种，故. 所以. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）若随机变量的分布列如表，则（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【解题思路】由分布列的性质求出，利用期望公式计算. 【解答过程】根据题意可得， 则. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·天津滨海新·期中）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团. (1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率. (2)求同学甲选报足球社的概率. (3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 【解题思路】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）由古典概型的概率公式求解即可， （3）根据相互独立事件概率乘法公式求解概率，即可得到分布列，由期望公式求解期望. 【解答过程】（1）先从3个同学中选出2个同学，有, 从4个社团中选2个，有种方法，因此每位同学选报社团都有6种方法， 因此恰好两个同学选报的社团一样的概率为 （2）同学甲选报足球社的概率为， （3）甲报足球的概率为，不报的概率为， 乙丙报足球的概率均为，不报的概率为， 故可取， , 故的分布列为： 0 1 2 3 故. 【变式1-3】（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 【解题思路】（1）根据题意，利用分层抽样的方法，即可求解； （2）根据题意，得到变量的可能取值为，分别求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：某单位甲乙丙三个部门的员工人数分别为， 现采用分层抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查， 则从甲部门的员工中抽取人， 从乙部门的员工中抽取人， 从丙部门的员工中抽取人. （2）解：若抽取的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足， 现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则的可能取值为， 则， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 4 则数学期望为. 【题型2 均值的性质】 【例2】（23-24高二下·广东江门·期末）已知的分布列为 1 2 3 4 设，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用分布列的性质求解参数，然后求解期望，得到结果即可. 【解答过程】由题意得，解得， 故，而， 则，故A正确. 故选：A. 【变式2-1】（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知随机变量的概率分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】利用分布列的性质求出，再利用期望的定义及性质求解即得. 【解答过程】由，得， 由，得， 于是， 所以. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【解题思路】根据题意，得到变量的取值分别为，求得相应的概率，得到,再结合，即可求解. 【解答过程】由题意，随机变量的取值分别为， 可得； ， 所以,可得. 故选：D. 【变式2-3】（23-24高二下·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【解答过程】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 【例3】（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【解题思路】根据期望的计算公式可得，即可利用期望的性质求解. 【解答过程】由表可得， 又可得,解得， 故选：A. 【变式3-1】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【解题思路】利用分布列的性质及期望公式即可求解. 【解答过程】由分布列的性质可得，，所以， 又因为， 所以，即， 联立方程，解得， 所以. 故选：B. 【变式3-2】（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 【解题思路】由分布列的性质及数学期望的计算求解即可. 【解答过程】由分布列的性质可知，，故A正确； 因为Y的期望值为1，所以，所以C错. 若，不满足分布列性质，B错， 由上，有，显然D错. 故选：A. 【变式3-3】（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）下表是离散型随机变量的分布列，且满足，则，的值分别是（    ） 3 4 5 9 A．， B．， C．， D．， 【解题思路】运用离散型随机变量的分布列、期望计算即可. 【解答过程】由题意，得，所以①． 因为，所以②． 由①②解得：，． 故选：A. 【知识点2 离散型随机变量的方差】 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称为随机变 量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=. 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=. 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 4．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 【题型4 求离散型随机变量的方差、标准差】 【例4】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 【解题思路】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【解答过程】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确， 又，， 所以选项B错误，选项C正确， 对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确， 故选：B. 【变式4-1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】当时，的可能取值为1，2，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差；当时，η可取1，2，3，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差，再比较即可得解得. 【解答过程】当时，ξ的可能取值为1，2， ，， 因此，； 当时，的可能取值为1，2，3， ，，， 因此，， 所以，. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【解题思路】依题意，确定的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计算即得. 【解答过程】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 【变式4-3】（23-24高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列及方差． 【解题思路】（1）由题意可得，可求； （2）由，求解即可； （3）的所有可能值为，由（1）可求的分布列，进而可求，. 【解答过程】（1）由题意得随机变量的分布列如下表所示． 1 由分布列的性质得，解得． （2）． （3）的所有可能值为， ∴，， 所以的分布列为： 所以， . 【题型5 方差的性质】 【例5】（23-24高二下·福建福州·期中）随机变量的分布列如下，且，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【解题思路】根据分布列的性质和期望可求，，从而可求方差. 【解答过程】根据题意可得解得 ． 故选:C． 【变式5-1】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件利用期望和方差的性质求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 解得. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高二下·河北·期中）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【解题思路】根据分布列的性质以及数学期望求出的值，即可求得，根据方差的性质，即可求得答案. 【解答过程】由题意知， 由得，解得， 故， 故， 故选：C. 【变式5-3】（24-25高二·全国·课后作业）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可. 【解答过程】由题意，得，则， 所以，， 所以，， 所以，， 即最大， 故选：C. 【题型6 求两点分布的均值与方差】 【例6】（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案. 【解答过程】∵，，∴， ∵，， 二次函数在区间上单调递减， ∴，，且. 故选：D. 【变式6-1】（23-24高二下·山西太原·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【解题思路】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出 【解答过程】由题意得， 因为， 所以解得， 所以， 故选：D. 【变式6-2】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点分布的性质可得，结合题意求得，再根据两点分布的期望公式即可得解. 【解答过程】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布， 所以， 则，解得或， 又因， 所以，则， 所以. 故选：C. 【变式6-3】（2024·浙江·模拟预测）已知随机变量满足，，且，．若，则（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【解题思路】根据已知写出对应的两点分布的分布列,根据公式求出期望,由可得,根据方差公式构造二次函数,借助函数的单调性即可得出结果. 【解答过程】由题知变量，的分布列均为两点分布．变量，的分布列如下： 0 1 0 1 则，，，， 由 ，因为，， 函数在上单调递增，所以. 故选:B． 【题型7 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 【例7】（23-24高二下·江苏扬州·期中）元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目. (1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率； (2)记X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 【解题思路】（1）结合排列知识应用古典概型概率公式求解即可； （2）由题设的可能值为0，1，2，3，4，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望和方差. 【解答过程】（1）设“该同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则， 所以该同学摸球三次后停止摸球的概率为. （2）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4. ，，，，. 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以， . 【变式7-1】（23-24高二下·青海海东·阶段练习）甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为. (1)求的分布列； (2)请根据射击环数的期望及方差来分析甲､乙的射击技术. 【解题思路】（1）根据概率和为1求，进而可得分布列； （2）根据分布列分别为期望和方差，对比分析即可. 【解答过程】（1）由题意可得，解得； ，解得； 所以的分布列为 10 9 8 7 0.4 0.2 0.2 0.2 的分布列为 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）得， ； ， . 由于，说明甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定. 【变式7-2】（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数． (1)求随机变量的分布列和期望； (2)若，设随机变量的方差为，求证：． 【解题思路】（1）依题意可能的取值为，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （2）根据，表示出，再换元，利用二次函数的性质计算可得. 【解答过程】（1）由题随机变量可能的取值为，， 则， ， 故的分布列为： 2 3 故； （2）由（1）知， ， 令，因为，故， 此时 ， 因为二次函数关于对称，又，当时， 所以， 即． 【变式7-3】（23-24高二下·北京·期末）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站上车站 合计 5 6 4 2 7 24 12 20 13 7 8 60 5 7 3 8 1 24 13 9 9 1 6 38 4 10 16 2 3 35 2 5 5 4 3 19 合计 36 36 56 26 21 25 200 (1)在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率； (2)以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望； (3)为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系． 【解题思路】（1）利用频率来求概率即可； （2）由题意可知，可取0，1，2，求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列及数学期望； （3）利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可. 【解答过程】（1）设选取的乘客在站上车、在站下车为事件， 由已知，在站上车的乘客有60人，其中在站下车的乘客有20人， 所以． （2）从在站上车的所有乘客中任选1人，该乘客在站下车的概率为 由题意可知，可取0，1，2 ， ， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的数学期望为 ． （3）因为在站上车的有60人，下车的有36人， 所以， 所以， 因为在站上车的有24人，下车的有56人， 所以， 所以， 因为在站上车的有38人，下车的有26人， 所以， 所以， 所以. 【题型8 决策问题】 【例8】（24-25高二下·辽宁鞍山·阶段练习）为更好利用“学习强国”平台开展学习，推动学习型单位建设，某单位组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置6个不同的题目，参赛人员从中随机抽取3个题目进行作答，若所抽取的3个题目全部作答正确，则进入下一轮比赛，否则退出比赛．对这6个题目，某科室的甲能正确作答其中的4个题目，乙能正确作答每个题目的概率均为，且甲乙对每个题目的作答都是相互独立的． (1)已知甲乙两人总共正确作答3个题目，求甲答对1道乙答对2道的概率； (2)如果该科室要在甲乙两人中选择一人去参加竞赛，你认为派谁去较为合适？说明理由． 【解题思路】（1）利用相互独立事件、互斥事件概率计算出甲乙两人总共正确作答3个题目的概率，甲答对1道题目乙答对2道题的概率为，由可得答案； （2）设甲正确作答题目个数，计算出，，设乙正确作答题数为，则，可得，，比较，可得答案． 【解答过程】（1）甲乙两人总共正确作答3个题目， 包括：甲答对3道乙答对0道、甲答对2道乙答对1道、甲答对1道乙答对2道． 甲乙两人总共正确作答3个题目的概率为． 甲答对1道题目乙答对2道题的概率为． 所以甲乙两人总共正确作答3个题目，甲答对1道乙答对2道的概率为； （2）设甲正确作答题目个数为，则可以取值为1，2，3． 则，，， 的分布列为 1 2 3 ， ． 设乙正确作答题数为，则，， ． 因为，所以甲乙两人实力相当， 而，甲比乙更稳定，因此派甲去较为合适． 【变式8-1】（2024高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 【解题思路】（1）借助概率之和为1可计算出的值及乙射中7环的概率，即可得其概率分布； （2）借助期望及方差的公式计算即可得. 【解答过程】（1）依题意，，解得， 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 【变式8-2】（24-25高三上·重庆黔江·阶段练习）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率； (2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成. 【解题思路】（1）由古典概型结合组合数公式求解； （2）分别求解两方案的均值和方差比较可得结果 【解答过程】（1）设顾客的奖励额为X,依题意得 （2）根据方案一，设顾客的奖励额为其可能取值为30，，30m60，90 ，， 根据方案二，设顾客的奖励额为其可能取值为40，60，80 ，， 商场对奖励总额的预算是30000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二. 【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． (1)请写出方案一的分布列，并求方差； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 【解题思路】（1）设出的概率，依题列出方程组求解即得的分布列，算出方差； （2）依题列出Y的分布列，算出期望与方差，再与的期望与方差比较即得. 【解答过程】（1）设，， 依题意得①，又②， 由①②解得：，． ∴X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则． （2）由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则， ． 由可知采用平台广告投放期望收益较大，又，说明平台广告投放的风险较高． 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.3 离散型随机变量的数字特征【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求离散型随机变量的均值】 2 【题型2 均值的性质】 3 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 3 【题型4 求离散型随机变量的方差、标准差】 5 【题型5 方差的性质】 6 【题型6 求两点分布的均值与方差】 7 【题型7 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 7 【题型8 决策问题】 9 【知识点1 离散型随机变量的均值】 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 【题型1 求离散型随机变量的均值】 【例1】（23-24高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）若随机变量的分布列如表，则（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·天津滨海新·期中）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团. (1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率. (2)求同学甲选报足球社的概率. (3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 【变式1-3】（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 【题型2 均值的性质】 【例2】（23-24高二下·广东江门·期末）已知的分布列为 1 2 3 4 设，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·贵州黔西·期末）已知随机变量的概率分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式2-2】（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【变式2-3】（23-24高二下·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 【例3】（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式3-1】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列如下所示，且，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）下表是离散型随机变量的分布列，且满足，则，的值分别是（    ） 3 4 5 9 A．， B．， C．， D．， 【知识点2 离散型随机变量的方差】 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称为随机变 量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=. 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=. 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 4．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列. (4)由均值的定义求E(ξ). (5)由方差的定义求D(ξ). 【题型4 求离散型随机变量的方差、标准差】 【例4】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．， D．， 【变式4-1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）不透明口袋中有个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【变式4-3】（23-24高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列及方差． 【题型5 方差的性质】 【例5】（23-24高二下·福建福州·期中）随机变量的分布列如下，且，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·河北·期中）已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【变式5-3】（24-25高二·全国·课后作业）设，若随机变量的分布列如下表： －1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差中最大的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 求两点分布的均值与方差】 【例6】（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二下·山西太原·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式6-2】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·浙江·模拟预测）已知随机变量满足，，且，．若，则（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【题型7 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 【例7】（23-24高二下·江苏扬州·期中）元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目. (1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率； (2)记X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 【变式7-1】（23-24高二下·青海海东·阶段练习）甲､乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲､乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为. (1)求的分布列； (2)请根据射击环数的期望及方差来分析甲､乙的射击技术. 【变式7-2】（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数． (1)求随机变量的分布列和期望； (2)若，设随机变量的方差为，求证：． 【变式7-3】（23-24高二下·北京·期末）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了、、、、、共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站上车站 合计 5 6 4 2 7 24 12 20 13 7 8 60 5 7 3 8 1 24 13 9 9 1 6 38 4 10 16 2 3 35 2 5 5 4 3 19 合计 36 36 56 26 21 25 200 (1)在试运营期间，从在站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在站下车的概率； (2)以频率估计概率，在试运营期间，从在站上车的所有乘客和在站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望； (3)为了研究各站客流量的相关情况，用示所有在站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，”表示下车．相应地，用，分别表示在站，站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系． 【题型8 决策问题】 【例8】（24-25高二下·辽宁鞍山·阶段练习）为更好利用“学习强国”平台开展学习，推动学习型单位建设，某单位组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置6个不同的题目，参赛人员从中随机抽取3个题目进行作答，若所抽取的3个题目全部作答正确，则进入下一轮比赛，否则退出比赛．对这6个题目，某科室的甲能正确作答其中的4个题目，乙能正确作答每个题目的概率均为，且甲乙对每个题目的作答都是相互独立的． (1)已知甲乙两人总共正确作答3个题目，求甲答对1道乙答对2道的概率； (2)如果该科室要在甲乙两人中选择一人去参加竞赛，你认为派谁去较为合适？说明理由． 【变式8-1】（2024高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 【变式8-2】（24-25高三上·重庆黔江·阶段练习）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率； (2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成. 【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望． 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为． (1)请写出方案一的分布列，并求方差； (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$