黄金卷03（广州专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广州专用） 黄金卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A B A C D D A D D 二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分. 11．2（x+2）（x﹣2）． 12．40°． 13．10． 14．﹣3． 15．﹣6． 2、 解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字、证明过程与演算步骤.） 17.（本小题满分4分）解：， 解不等式①得，x≥2， 解不等式②得，x＜4， ∴不等式组的解集为2≤x＜4， 不等式组的解集在数轴上表示为： ． 18.（本小题满分4分）解： ， 当时， 原式． 19.（本小题满分6分）（1）解：∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE； ∴， ∴CE9， ∴AC＝AE+CE＝12； （2）证明：∵，， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB． 20.（本小题满分6分）解：（1）由题知， 问卷调查的学生中选择“无人机”课程的学生人数为15，且所占百分比为30%， 所以15÷30%＝50（名）， 即问卷调查的学生人数为50名， ∴选择“人工智能”课程的学生人数为：50﹣15﹣10﹣5＝20（名）， 条形统计图，如图所示， 故答案为：50； （2）5÷50＝10%， 10%×360°＝36°， 即选择“航模”课程的学生占10%，所对应的圆心角度数为36°． 故答案为：10，36°； （3）1200240（人）， 1200480（人）， 答：选择“创客”和“人工智能”课程的学生分别有240人和480人． 21.（本小题满分8分）解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包， 由题意得：18， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝120， 答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包； 任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包120m个，乙部门工作时间可表示为（2160﹣120m）÷60＝（36﹣2m）天， 故答案为：120m，（36﹣2m）； ②由题意得：m（36﹣2m）， 解得：m≤9， 设该公司支付的总工资为y元， 由题意得：y＝4800m+3000（36﹣2m）＝﹣1200m+108000， ∵﹣1200＜0， ∴y随m的增大而减小， ∴当m＝9时，y有最小值＝﹣1200×9+108000＝97200， 此时，36﹣2m＝36﹣2×9＝18， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 22.（本小题满分10分）解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F， 在Rt△ABF中，∠BAF＝16°，AB＝5米， ∴AF＝AB•cos16°≈5×0.96＝4.8（米）， ∴遮阳棚边缘点A到墙体BC的距离约为4.8米； （2）过点A作AG⊥CE，垂足为G， 由题意得：AF＝CG＝4.8米，CF＝AG， 在Rt△ABF中，∠BAF＝16°，AB＝5米， ∴BF＝AB•sin16°≈5×0.28＝1.4（米）， ∵BC＝4.4米， ∴CF＝AG＝BC﹣BF＝4.4﹣1.4＝3（米）， 在Rt△ADG中，∠ADG＝45°， ∴DG3（米）， ∴CD＝CG﹣DG＝4.8﹣3＝1.8（米）， ∴阴影CD的长约为1.8米． 23.（本小题满分10分）解：（1）设yAB＝k1x+b，把（0，20），（10，50）代入函数解析式解得： yAB＝3x+20（0≤x≤10）， 由图象直接得到yBC＝50（10≤x≤30）； 设yCD，把（30，50）代入函数解析式解得yCD（30≤x≤45）； （2）把x＝4代入yAB＝3x+20，得yAB＝32， 把x＝35代入yCD，得yCD， 因为yAB＜yCD， 所以第35分钟时学生的注意力更集中； （3）不合理．理由如下： 因为10+30＝40分钟，把x＝40代入yCD， 解得yCD40， 所以这样的课堂学习安排不合理． 24. （本小题满分12分） 解：（1）把点A坐标为（﹣1，0）代入抛物线中， 则，得：c＝2， 故抛物线的解析式为：y． （2）∵⊙D经过B，C两点，则DB＝DC， 设D（0，y），则CD， BD2＝（0﹣y）2+42＝16+y2，CD2＝（2﹣y）2， ∴16+y2＝（2﹣y）2，解得：y＝﹣3． 故点D坐标为（0，﹣3）． （3）证明：在点P运动过程中，存在能够使得∠PBC＝45°的点P，理由如下： ①设当P点在x轴上方抛物线上时，设∠PBC＝45°，作PS⊥BC如图4所示， 构造一线三垂直，SM⊥x轴，PN⊥SM于N， 令y0，解得x1＝﹣1，x2＝4， 故点B（4，0），又C（0，2） 设lBC：y＝kx+b，代入B（4，0），又C（0，2），可得： ，解得， 故lBC：yx+2， 设S（s，）， ∵PS＝SB，则易证△SNP≌△BMS， ∴SM＝PN，BM＝NS＝4﹣s， 进而可得点P坐标为（，）， 把点P（，）代入抛物线中， 发现点P不在抛物线图象上， 故点P不存在； ②设当P点在x轴下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示， 作∠PBC＝45°，CR⊥PB，RT⊥y轴，BQ⊥TR于点Q， 由题意得CR＝BR， 易证△CTR≌△RQB， ∴TR＝BQ，CT＝RQ， 设TR＝BQ＝a，CT＝RQ＝b， 则，解得：， ∴R点坐标为（1，﹣1）． 则由待定系数法可得直线lBR：y， 联立，解得：． 即点P坐标为（，）． 综上所述，点P坐标为（，）． 25.（本小题满分12分）解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°， ∵， ∴， ∵∠A+∠ABP+∠BPE+∠AEP＝360°，∠AEP+∠ABP＝180°， ∴∠A+∠BPE＝180°， ∴∠BPE＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°＝∠CPF， ∴∠ECD+∠CFB＝90°， ∵∠FBC+∠CFB＝90°， ∴∠ECD＝∠FBC， ∴△CED∽△BFC， ∴， ∵CF＝4， ∴DECF4； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵∠EBF＝∠DEC， ∴∠EBF＝∠ECB， ∵∠BEP＝∠CEB， ∴△EBP∽△ECB， ∴， ∵， ∴， ∴EBEP， ∵EC＝EP+PC， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点A作AH⊥BP于H，过点P作MN⊥BC于N，交AD于M， ∵AP＝AB＝2＝CD，AH⊥BP， ∴BH＝HP，设BH＝HP＝x，则BP＝2x， ∵BC＝AD＝3， ∴， ∵∠EBF＝∠DEC，由（2）得△EBP∽△ECB， ∴， ∴EBEP， ∴，即， ∵MN∥CD， ∴， ∴PM， ∵∠D＝∠DCN＝∠MNC＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴MN＝CD＝2， ∴PN＝2， ∵∠BNP＝∠AHB＝90°， ∴∠PBN+∠BPN＝90°， ∵∠PBN+∠ABH＝90°， ∴∠BPN＝∠ABH， ∴△BPN∽△ABH， ∴， ∴AB•PN＝BH•BP， ∴2（2）＝2x2， ∴x2， ∵x＞0， ∴x， ∴BP＝2x， 故PB的长度为． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广州专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1．下列各数中，最小的数是（　　） A．2 B．﹣1 C．0 D．1 2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱 3．下列计算正确的是（　　） A．235 B．2 C．555 D．2 4．一组数据2，﹣4，x，6，﹣8的众数为6，则这组数据的中位数为（　　） A．2 B．﹣4 C．6 D．﹣8 5．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠0 D．m＜1且m≠0 6．已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 7．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2DM，BM平分∠ABC，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF＝3cm，则AB的长为（　　） A．5.5cm B．5cm C．4.5cm D．4cm 8．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220 B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220 C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220 D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220 9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．米 C．3米 D．米 10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（﹣1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0；④若A（x1，y1）B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的选项是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分. 11．因式分解：2x2﹣8＝　 　． 12．如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 　 　． 13．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 　 　． 14．已知分式的值为0，那么x的值为 　 　． 15．用“Δ”定义新运算：对于任意有理数a，b，当a≤b时，都有aΔb＝a2b；当a＞b时，都有aΔb＝ab2，那么（）Δ（﹣3）＝　 　． 16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 　 　． 2、 解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字、证明过程与演算步骤.） 17.（本小题满分4分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 18.（本小题满分4分）先化简，再求值：，其中． 19.（本小题满分6分）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝3，CD＝18． （1）求AC的长． （2）求证：△ABE∽△ACB． 20.（本小题满分6分）为了进一步提升学生的科学素养，某学校计划在七年级开设“人工智能”、“无人机”、“创客”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图1和2所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为 　 　，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占 　 　%，所对应的圆心角度数是 　 　； （3）若该校七年级一共有1200名学生，试估计选择“创客”和“人工智能”课程的学生有多少人？ 21.（本小题满分8分）综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包 　 　个，乙部门工作时间可表示为 　 　天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 22.（本小题满分10分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体BC的距离； （2）求阴影CD的长． （结果精确到0.1米．参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 23.（本小题满分10分）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）． （1）求注意力指标数y与时间x（分钟）之间的函数表达式； （2）开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． （本小题满分12分）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标； （3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，在点P运动过程中，是否能够使得∠PBC＝45°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 25.（本小题满分12分）已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P． （1）如图1，若，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180°，求线段DE的长度； （2）如图2，若∠EBF＝∠DEC，，求； （3）如图3，连接AP，若∠EBF＝∠DEC，AP＝AB＝2，BC＝3，求PB的长度． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广州专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1．下列各数中，最小的数是（　　） A．2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案． 【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜2， ∴最小的数是﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键． 2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱 【分析】根据三视图的定义解答即可． 【解答】解：根据主视图与左视图为矩形可以判断出是柱体，根据俯视图是三角形判断出这个几何体是三棱柱． 故选：A． 【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键． 3．下列计算正确的是（　　） A．235 B．2 C．555 D．2 【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断． 【解答】解：A、2与3不能合并，所以A选项错误； B、原式2，所以B选项正确； C、原式＝2525，所以C选项错误； D、原式，所以D选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 4．一组数据2，﹣4，x，6，﹣8的众数为6，则这组数据的中位数为（　　） A．2 B．﹣4 C．6 D．﹣8 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【解答】解：∵数据2，﹣4，x，6，﹣8的众数为6， ∴x＝6， 则数据重新排列为﹣8、﹣4、2、6、6， 所以中位数为2， 故选：A． 【点评】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠0 D．m＜1且m≠0 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，m≠0， 即m＞﹣1且m≠0， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 6．已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（　　） A．﹣2 B．1 C．2 D．3 【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，进而得出n的取值范围，即可得出答案． 【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第一、三象限， ∴n﹣2＞0， 解得：n＞2． 故n的取值可以是：3． 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出n的取值范围是解题关键． 7．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2DM，BM平分∠ABC，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF＝3cm，则AB的长为（　　） A．5.5cm B．5cm C．4.5cm D．4cm 【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点， ∴EF是△BCM的中位线， ∵EF＝3cm， ∴BC＝2EF＝6cm， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝6cm， ∵AD∥BC， ∴∠AMB＝∠MBC， ∵BM平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠MBC， ∴∠AMB＝∠ABM， ∴AM＝AB， ∵AM＝2MD， ∴AM＝ABAD＝4cm， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 8．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220 B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220 C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220 D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220 【分析】设每个文创产品降价x元，这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，根据题意列方程即可． 【解答】解：根据题意得，（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220， 故选：A． 【点评】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润＝销售量×单位利润． 9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．米 C．3米 D．米 【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD＝BD＝2，根据勾股定理求得OD的长，由CD＝OC﹣OD即可求解． 【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接OC交AB于D， 则OC⊥AB，， 在Rt△OAD中，OA＝3，AD＝2， ∴， ∴， 即点C到弦AB所在直线的距离是米， 故选：D． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，涉及到圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（﹣1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0；④若A（x1，y1）B（x2，y2）（其中x1＜x2）是抛物线上的两点，且x1+x2＞2，则y1＞y2，其中正确的选项是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【分析】根据二次函数的图象及性质可得a＜0，b＝﹣2a，b＜0，可判断结论①；由x＝2处的函数值可判断结论②；由x＝﹣1处函数值可判断结论③； 根据x1+x2＞2得到点A（x1，y1）到对称轴的距离小于点B（x2，y2）到对称轴的距离可判断结论④． 【解答】解：二次函数开口向下，则a＜0， 二次函数对称轴为x＝1，则， ∴b＝﹣2a，b＞0， ∴ab＜0，故①正确； ∵过点（﹣1，0）， ∴由对称可得二次函数与x轴的另一交点为（3，0）， 由函数图象可得x＝2时y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故②正确； ∵x＝﹣1时y＝0， ∴a﹣b+c＝0， b＝﹣2a代入得：3a+c＝0，故③错误； ∵对称轴是直线x＝1， ∴若， 当x1+x2＞2时，点A（x1，y1）到对称轴的距离小于点B（x2，y2）到对称轴的距离， ∵二次函数图象开口向下， ∴y1＞y2，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④． 故选D． 【点评】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键． 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分. 11．因式分解：2x2﹣8＝　2（x+2）（x﹣2）　． 【分析】观察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案． 【解答】解：2x2﹣8 ＝2（x2﹣4） ＝2（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题． 12．如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 　40°　． 【分析】利用外角和除以外角的个数即可得到答案． 【解答】解：正九边形的一个外角的度数为360°÷9＝40°， 故答案为：40°． 【点评】此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为360°，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键． 13．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 　10　． 【分析】作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH＝DP＝5，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：作DH⊥OB于点H， ∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB， ∴DH＝DP＝5， ∴△ODQ的面积OQ•DH4×5＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 14．已知分式的值为0，那么x的值为 　﹣3　． 【分析】首先根据分式的值为0的条件得x+3＝0且x﹣3≠0，由此解出x即可． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴x+3＝0且x﹣3≠0， 由x+3＝0，解得：x＝﹣3，此时x﹣3＝﹣6≠0， ∴当分式的值为0，x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】此题主要考查了分式的值为0的条件，理解分式的值为0时，分式等于0且分母不等于0是解决问题的关键． 15．用“Δ”定义新运算：对于任意有理数a，b，当a≤b时，都有aΔb＝a2b；当a＞b时，都有aΔb＝ab2，那么（）Δ（﹣3）＝　﹣6　． 【分析】先根据新运算得出算式，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵3， ∴（）Δ（﹣3） ＝（）×（﹣3）2 ＝（）×9 ＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键． 16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 　7　． 【分析】连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC＝10，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP＝3，然后证四边形PGCH是矩形，得GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3＝7，即可求解． 【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， ∴AC10， ∵P是线段EF的中点， ∴APEF＝3， ∵PG⊥BC，PH⊥CD， ∴∠PGC＝∠PHC＝90°， ∴四边形PGCH是矩形， ∴GH＝CP， 当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3＝7， ∴GH的最小值是7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出CP的最小值是解题的关键． 2、 解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字、证明过程与演算步骤.） 17.（本小题满分4分） 17．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得，x≥2， 解不等式②得，x＜4， ∴不等式组的解集为2≤x＜4， 不等式组的解集在数轴上表示为： ． 【点评】本题考查了解一元一次方程组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练的掌握解不等式（组）的方法与步骤是解答本题的关键． 18.（本小题满分4分）先化简，再求值：，其中． 【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再代入求值即可． 【解答】解： ， 当时， 原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的混合运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键． 19.（本小题满分6分）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝3，CD＝18． （1）求AC的长． （2）求证：△ABE∽△ACB． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （2）证出，利用相似三角形的判定解答即可． 【解答】（1）解：∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE； ∴， ∴CE9， ∴AC＝AE+CE＝12； （2）证明：∵，， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB． 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB． 20.（本小题满分6分）为了进一步提升学生的科学素养，某学校计划在七年级开设“人工智能”、“无人机”、“创客”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图1和2所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为 　50　，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占 　10　%，所对应的圆心角度数是 　36°　； （3）若该校七年级一共有1200名学生，试估计选择“创客”和“人工智能”课程的学生有多少人？ 【分析】（1）根据所抽取的样本内选择“无人机”的人数及所占百分比即可解决问题； （2）根据（1）中计算的结果即可解决问题； （3）先求出样本内选择“创客”和“人工智能”课程的学生所占比例，再结合全校的七年级人数即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 问卷调查的学生中选择“无人机”课程的学生人数为15，且所占百分比为30%， 所以15÷30%＝50（名）， 即问卷调查的学生人数为50名， ∴选择“人工智能”课程的学生人数为：50﹣15﹣10﹣5＝20（名）， 条形统计图，如图所示， 故答案为：50； （2）5÷50＝10%， 10%×360°＝36°， 即选择“航模”课程的学生占10%，所对应的圆心角度数为36°． 故答案为：10，36°； （3）1200240（人）， 1200480（人）， 答：选择“创客”和“人工智能”课程的学生分别有240人和480人． 【点评】本题主要考查了条形统计图、用样本估计总体及扇形统计图，熟知条形统计图和扇形统计图的特征及如何利用样本估测总体是解题的关键． 21.（本小题满分8分）综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包 　120m　个，乙部门工作时间可表示为 　（36﹣2m）　天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【分析】任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包，根据甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．列出分式方程，解方程即可； 任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包120m个，求出乙部门工作时间为（2160﹣120m）÷60＝（36﹣2m）天即可； ②根据甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．列出一元一次不等式，解得m≤9，再设该公司支付的总工资为y元，由题意列出y与m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包， 由题意得：18， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝120， 答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包； 任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包120m个，乙部门工作时间可表示为（2160﹣120m）÷60＝（36﹣2m）天， 故答案为：120m，（36﹣2m）； ②由题意得：m（36﹣2m）， 解得：m≤9， 设该公司支付的总工资为y元， 由题意得：y＝4800m+3000（36﹣2m）＝﹣1200m+108000， ∵﹣1200＜0， ∴y随m的增大而减小， ∴当m＝9时，y有最小值＝﹣1200×9+108000＝97200， 此时，36﹣2m＝36﹣2×9＝18， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 22.（本小题满分10分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体BC的距离； （2）求阴影CD的长． （结果精确到0.1米．参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 【分析】（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，即可解答； （2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据题意可得：AF＝CG＝4.8米，CF＝AG，在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出CF的长，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F， 在Rt△ABF中，∠BAF＝16°，AB＝5米， ∴AF＝AB•cos16°≈5×0.96＝4.8（米）， ∴遮阳棚边缘点A到墙体BC的距离约为4.8米； （2）过点A作AG⊥CE，垂足为G， 由题意得：AF＝CG＝4.8米，CF＝AG， 在Rt△ABF中，∠BAF＝16°，AB＝5米， ∴BF＝AB•sin16°≈5×0.28＝1.4（米）， ∵BC＝4.4米， ∴CF＝AG＝BC﹣BF＝4.4﹣1.4＝3（米）， 在Rt△ADG中，∠ADG＝45°， ∴DG3（米）， ∴CD＝CG﹣DG＝4.8﹣3＝1.8（米）， ∴阴影CD的长约为1.8米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23.（本小题满分10分）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）． （1）求注意力指标数y与时间x（分钟）之间的函数表达式； （2）开始学习后第4分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）某些数学内容的课堂学习大致可分为三个环节：即“教师引导，回顾旧知；自主探索，合作交流；总结归纳，巩固提高”，其中“教师引导，回顾旧知”环节10分钟；重点环节“自主探索，合作交流”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问：这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【分析】（1）从图象上看，AB表示的函数为一次函数，BC是平行于x轴的线段，CD为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答； （2）把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出； （3）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案． 【解答】解：（1）设yAB＝k1x+b，把（0，20），（10，50）代入函数解析式解得： yAB＝3x+20（0≤x≤10）， 由图象直接得到yBC＝50（10≤x≤30）； 设yCD，把（30，50）代入函数解析式解得yCD（30≤x≤45）； （2）把x＝4代入yAB＝3x+20，得yAB＝32， 把x＝35代入yCD，得yCD， 因为yAB＜yCD， 所以第35分钟时学生的注意力更集中； （3）不合理．理由如下： 因为10+30＝40分钟，把x＝40代入yCD， 解得yCD40， 所以这样的课堂学习安排不合理． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是根据实际情况，结合图象，求出相对应的函数解析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题． 24. （本小题满分12分） 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标； （3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，在点P运动过程中，是否能够使得∠PBC＝45°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点A坐标为（﹣1，0）代入抛物线中，则c＝2，即可得抛物线的解析式为y； （2）由于⊙D经过B，C两点，则DB＝DC，设D（0，y），根据两点间距离公式列方程即可求解； （3）分P点在x轴上方或下方两类讨论： ①设当P点在x轴上方抛物线上时，设∠PBC＝45°，作PS⊥BC如图4所示，构三垂直模型后可表示出点P，证明点P不在抛物线上，此情形不存在； ②设当P点在x轴下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示，构三垂直模型后可表示出点R坐标为（1，﹣1）．求出直线BR解析式，再联立抛物线解析式即可求解点P坐标． 【解答】解：（1）把点A坐标为（﹣1，0）代入抛物线中， 则，得：c＝2， 故抛物线的解析式为：y． （2）∵⊙D经过B，C两点，则DB＝DC， 设D（0，y），则CD， BD2＝（0﹣y）2+42＝16+y2，CD2＝（2﹣y）2， ∴16+y2＝（2﹣y）2，解得：y＝﹣3． 故点D坐标为（0，﹣3）． （3）证明：在点P运动过程中，存在能够使得∠PBC＝45°的点P，理由如下： ①设当P点在x轴上方抛物线上时，设∠PBC＝45°，作PS⊥BC如图4所示， 构造一线三垂直，SM⊥x轴，PN⊥SM于N， 令y0，解得x1＝﹣1，x2＝4， 故点B（4，0），又C（0，2） 设lBC：y＝kx+b，代入B（4，0），又C（0，2），可得： ，解得， 故lBC：yx+2， 设S（s，）， ∵PS＝SB，则易证△SNP≌△BMS， ∴SM＝PN，BM＝NS＝4﹣s， 进而可得点P坐标为（，）， 把点P（，）代入抛物线中， 发现点P不在抛物线图象上， 故点P不存在； ②设当P点在x轴下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示， 作∠PBC＝45°，CR⊥PB，RT⊥y轴，BQ⊥TR于点Q， 由题意得CR＝BR， 易证△CTR≌△RQB， ∴TR＝BQ，CT＝RQ， 设TR＝BQ＝a，CT＝RQ＝b， 则，解得：， ∴R点坐标为（1，﹣1）． 则由待定系数法可得直线lBR：y， 联立，解得：． 即点P坐标为（，）． 综上所述，点P坐标为（，）． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，圆的性质，一线三垂直解45度角存在性问题，熟悉以上内容，尤其是构三垂直模型是是解本题的关键． 25. （本小题满分12分） 已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P． （1）如图1，若，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180°，求线段DE的长度； （2）如图2，若∠EBF＝∠DEC，，求； （3）如图3，连接AP，若∠EBF＝∠DEC，AP＝AB＝2，BC＝3，求PB的长度． 【分析】（1）根据矩形的性质可得：AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，，结合四边形内角和可证得△CED∽△BFC，得出，即可求得答案； （2）根据已知条件可证得△EBP∽△ECB，得出，进而得出EBEP，利用EC＝EP+PC，即可得出答案． （3）过点A作AH⊥BP于H，过点P作MN⊥BC于N，交AD于M，根据等腰三角形性质可得BH＝HP，设BH＝HP＝x，则BP＝2x，即，仿照（2）可得△EBP∽△ECB，得出，推出，由MN∥CD，可得，得出PM，PN＝2，再证得△BPN∽△ABH，得出，解方程2（2）＝2x2，即可求得答案． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠D＝∠BCD＝90°， ∵， ∴， ∵∠A+∠ABP+∠BPE+∠AEP＝360°，∠AEP+∠ABP＝180°， ∴∠A+∠BPE＝180°， ∴∠BPE＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°＝∠CPF， ∴∠ECD+∠CFB＝90°， ∵∠FBC+∠CFB＝90°， ∴∠ECD＝∠FBC， ∴△CED∽△BFC， ∴， ∵CF＝4， ∴DECF4； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵∠EBF＝∠DEC， ∴∠EBF＝∠ECB， ∵∠BEP＝∠CEB， ∴△EBP∽△ECB， ∴， ∵， ∴， ∴EBEP， ∵EC＝EP+PC， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点A作AH⊥BP于H，过点P作MN⊥BC于N，交AD于M， ∵AP＝AB＝2＝CD，AH⊥BP， ∴BH＝HP，设BH＝HP＝x，则BP＝2x， ∵BC＝AD＝3， ∴， ∵∠EBF＝∠DEC，由（2）得△EBP∽△ECB， ∴， ∴EBEP， ∴，即， ∵MN∥CD， ∴， ∴PM， ∵∠D＝∠DCN＝∠MNC＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴MN＝CD＝2， ∴PN＝2， ∵∠BNP＝∠AHB＝90°， ∴∠PBN+∠BPN＝90°， ∵∠PBN+∠ABH＝90°， ∴∠BPN＝∠ABH， ∴△BPN∽△ABH， ∴， ∴AB•PN＝BH•BP， ∴2（2）＝2x2， ∴x2， ∵x＞0， ∴x， ∴BP＝2x， 故PB的长度为． 【点评】本题是矩形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$