2024-2025学年高二数学下学期人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用-名师微课培优 导数中的函数构造问题

名师微课培优 导数中的函数构造问题 导数中的函数构造问题常在高考题中以选择或填空题的形式考查．构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构造组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化，并利用函数的有关性质解决原问题．构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性．在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标． 　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 利用f(x)与x构造函数 【典例1】　已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有(　　) A．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a) 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： (1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)． (2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x). 类型二 利用f(x)与ex构造 【典例2】　函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>－f(x)成立，若f(ln2)＝，则满足不等式f(x)>的x的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(ln2，＋∞) D．(0，ln2) f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x)． (2)对于f′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝. (3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造h(x)＝enxf(x)． (4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造h(x)＝. 类型三 利用f(x)与sinx，cosx构造函数 【典例3】　函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f′(x)sinx>f(x)cosx，则下列不等式成立的是(　　) A．f<f B.f<f C.f>2f D.f<f f(x)与sinx，cosx构造常见的形式 (1)对于f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，构造函数h(x)＝f(x)sinx. (2)对于f′(x)sinx－f(x)cosx>0，构造函数h(x)＝. (3)对于f′(x)cosx－f(x)sinx>0，构造函数h(x)＝f(x)cosx. (4)对于f′(x)cosx＋f(x)sinx>0，构造函数h(x)＝. 感悟体验 1．已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，f(－3)＝0，当x>0时，3f(x)＋xf′(x)<0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－3)∪(0,3) B．(－3,0)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3,0) 2．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)．若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，则不等式<f(0)的解集是________． 3．设奇函数f(x)定义在(－π，0)∪(0，π)上，其导函数为f′(x)，且f＝0，当0<x<π时，f′(x)sinx－f(x)cosx<0，则关于x的不等式f(x)<2fsinx的解集为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名师微课培优 导数中的函数构造问题 导数中的函数构造问题常在高考题中以选择或填空题的形式考查．构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构造组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化，并利用函数的有关性质解决原问题．构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性．在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标． 　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一 利用f(x)与x构造函数 【典例1】　已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有(　　) A．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a) [解析]　设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，∴g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减或g(x)为常函数．∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)，故选A. [答案]　A 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： (1)对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)． (2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x). 类型二 利用f(x)与ex构造 【典例2】　函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>－f(x)成立，若f(ln2)＝，则满足不等式f(x)>的x的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(ln2，＋∞) D．(0，ln2) [解析]　由题意，对任意x∈R，都有f′(x)>－f(x)成立，即f′(x)＋f(x)>0.令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝f′(x)ex＋f(x)ex＝ex[f′(x)＋f(x)]>0，所以函数g(x)在R上是增函数．不等式f(x)>即exf(x)>1，即g(x)>1.因为f(ln2)＝，所以g(ln2)＝eln2f(ln2)＝2×＝1.故当x>ln2时，g(x)>g(ln2)＝1，所以不等式g(x)>1的解集为(ln2，＋∞)．故选C. [答案]　C f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x)． (2)对于f′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝. (3)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造h(x)＝enxf(x)． (4)出现f′(x)－nf(x)形式，构造h(x)＝. 类型三 利用f(x)与sinx，cosx构造函数 【典例3】　函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f′(x)sinx>f(x)cosx，则下列不等式成立的是(　　) A．f<f B.f<f C.f>2f D.f<f [解析]　由函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f′(x)sinx>f(x)cosx，得f′(x)sinx－f(x)cosx>0，即′>0，所以y＝在(0，π)上单调递增，所以<，即2f<f，C正确． [答案]　C f(x)与sinx，cosx构造常见的形式 (1)对于f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，构造函数h(x)＝f(x)sinx. (2)对于f′(x)sinx－f(x)cosx>0，构造函数h(x)＝. (3)对于f′(x)cosx－f(x)sinx>0，构造函数h(x)＝f(x)cosx. (4)对于f′(x)cosx＋f(x)sinx>0，构造函数h(x)＝. 感悟体验 1．已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，f(－3)＝0，当x>0时，3f(x)＋xf′(x)<0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－3)∪(0,3) B．(－3,0)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3,0) [解析]　设g(x)＝x3f(x)，则g′(x)＝3x2f(x)＋x3f′(x)＝x2[3f(x)＋xf′(x)]，由于当x>0时，3f(x)＋xf′(x)<0，则当x>0时，g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，f(x)＝－f(x)，则g(－x)＝(－x)3f(－x)＝x3f(x)＝g(x)，则函数g(x)为偶函数，可得函数g(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(－3)＝0，则g(－3)＝g(3)＝0，当x>0时，由f(x)<0，可得g(x)<0，即g(x)<g(3)，解得x>3；当x<0时，由f(x)<0，可得g(x)>0，即g(x)>g(3)，解得－3<x<0；综上，不等式f(x)<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．故选B. [答案]　B 2．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)．若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，则不等式<f(0)的解集是________． [解析]　令g(x)＝，∵对任意实数x，有f(x)>f′(x)，∴g′(x)＝<0，∴g(x)在R上单调递减．∵<f(0)＝，即g(x)<g(0)，∴x>0，即所求不等式的解集为(0，＋∞)． [答案]　(0，＋∞) 3．设奇函数f(x)定义在(－π，0)∪(0，π)上，其导函数为f′(x)，且f＝0，当0<x<π时，f′(x)sinx－f(x)cosx<0，则关于x的不等式f(x)<2fsinx的解集为________． [解析]　设g(x)＝，∴g′(x)＝，∵f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，∴g(－x)＝＝＝g(x)，∴g(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的偶函数，∵当0<x<π时，f′(x)sinx－f(x)cosx<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，π)上单调递减，在(－π，0)上单调递增，∵f＝0，∴g＝＝0，∵f(x)<2f·sinx，∴当x∈(0，π)时，<，即g(x)<g；当x∈(－π，0)时，>，即g(x)>g，∴<x<π或－<x<0.∴关于x的不等式f(x)<2fsinx的解集为∪. [答案]　∪ 学科网（北京）股份有限公司 $$