2024-2025学年高二数学下学期人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用-名师配培优课03利用导数研究函数的零点

第3课时　利用导数研究函数的零点 课堂互动探究 题型一 判断函数零点个数问题 【典例1】　已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x. (1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由． [解]　(1)证明：由题意可得 h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x， 所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－>0， 所以h(1)·h(2)<0， 所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点． (2)由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x) ＝ex－1－－x(x≥0)． 而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点． 又h(x)在(1,2)内有零点， 因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点． h′(x)＝ex－x－1， 记φ(x)＝ex－x－1， 则φ′(x)＝ex＋x. 当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0， 因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， φ＝－－1<0，φ(1)＝e－>0， 存在唯一的x0∈使φ(x0)＝0， 即h′(x0)＝0，满足e x0＝x0＋1. 易证得x0为h(x)的极小值点，且h(x0)＝e x0－1－－x0＝<0， 显然h(x)在[0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 结合(1)知h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点， 所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2. 判断零点的个数问题的思路 (1)求出函数的定义域． (2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点． (3)用f′(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值． (4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势． (5)画出f(x)的大致图象(不必在步骤中呈现). 【对点训练】 1．给定函数f(x)＝ex－x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数． [解]　(1)函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 1 单调递增 所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增． 当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞)． (2)由(1)可知，函数的最小值为1. 函数的图象经过特殊点f(－1)＝＋1，f(2)＝e2－2，f(0)＝1， 当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞； 当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示． (3)截取函数f(x)在区间[－1,2]上的图象，如图所示．由图象知，当f(0)<m≤f(－1)，即当m∈时，f(x)与y＝m恰有两个不同的交点，即当m∈时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上恰有两个不同的实根；同理，当m＝1或＋1<m≤e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上有唯一的实根；当m<1或m>e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上无实根. 题型二 由函数的零点个数求参数的范围 【典例2】　若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)取得极值－. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围． [解]　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2－b，由题意得 解得(经检验，满足题意)． ∴f(x)＝x3－4x＋4. (2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)． 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2. ∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0. 因此，当x＝－2时，f(x)取得极大值，当x＝2时，f(x)取得极小值－.∴函数f(x)＝x3－4x＋4的大致图象如图所示．由图可知，实数k的取值范围是. 与函数零点有关的问题 利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题)，从而确定参数的取值范围. 【对点训练】 2．已知函数f(x)＝lnx－ax＋1.若关于x的方程f(x)＋x2＋1＝0至少有两个不相等的实数根，求实数a的最小值． [解]　由题意得lnx＋x2－ax＋2＝0， 则a＝＋x＋至少有两个不相等的实数根． 记g(x)＝＋x＋(x>0)， 则g′(x)＝＋1－＝. 记h(x)＝x2－lnx－1(x>0)， 则h′(x)＝2x－＝. 令h′(x)＝0，得x＝， 且当x∈时，h′(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)的最小值为h＝2－ln－1＝－＋ln2＝－(1－ln2)<0. 又h(1)＝0， 所以当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0. 又当x＝时，h＝－ln－1＝＋1－1＝>0， 因此必存在唯一的x0∈，使得h(x0)＝0. 因此当x∈(0，x0)时，h(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(x0,1)时，h(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，g(x)单调递增． 画出y＝g(x)的大致图象如图所示，因此当g(1)≤a≤g(x0)时， 直线y＝a与曲线y＝g(x)至少有两个交点， 所以a的最小值为g(1)＝3. 随堂达标验收 1．函数f(x)＝x＋cosx的零点所在的区间为(　　) A． B． C． D． [解析]　函数f(x)＝x＋cosx的图象是一条连续不断的曲线，f′(x)＝1－sinx≥0，所以f(x)＝x＋cosx为增函数．因为f＝－＋cos＝－<0，f(0)＝0＋cos0＝1>0，所以f·f(0)<0.由函数零点存在定理可知，函数f(x)＝x＋cosx的零点所在的区间为. [答案]　A 2．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(0,4e2) D．(0，＋∞) [解析]　令g(x)＝x2ex，则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)．令g′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，∴g(x)在(－2,0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增．∴g(x)极大值＝g(－2)＝，g(x)极小值＝g(0)＝0，又f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则0<a<. [答案]　B 3．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x＋a，若g(x)存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　令g(x)＝f(x)－x＋a＝0，即f(x)＝x－a，则函数g(x)的零点个数即为函数f(x)与函数y＝x－a交点的个数，作出函数f(x)与函数y＝x－a的图象，如图所示， 当直线y＝x－a与曲线y＝ex相切时，又当x≥－1时，y＝ex，则y′＝ex，则ex＝1，则x＝0，即切点为(0,1)，此时a＝－1，因为g(x)存在3个零点，即函数f(x)与函数y＝x－a的图象有3个交点，所以解得－1－≤a<－1，所以a的取值范围是.故选D． [答案]　D 4．方程x2＝ex的实根个数为________． [解析]　设f(x)＝ex－x2，f′(x)＝ex－2x，令g(x)＝f′(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，则x＝ln2，当x<ln2时，g′(x)<0；当x>ln2时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，所以当x＝ln2时，g(x)取得极小值，也是最小值，为f′(x)的最小值，f′(x)min＝f′(ln2)＝eln2－2ln2＝2(1－ln2)>0，即f′(x)>0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f(x)＝ex－x2在(－∞，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1>0，f(－1)＝－1<0，所以函数f(x)＝ex－x2存在唯一的零点，即方程x2＝ex只有1个实根． [答案]　1 5．已知函数f(x)＝lnx＋－2，证明：函数f(x)在(1，＋∞)内有且仅有一个零点． [证明]　f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝2，令f′(x)>0，得x>2，令f′(x)<0，得0<x<2， 所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． 因为f(1)＝0，f(2)＝ln2－1<0，f(e2)＝2＋－2＝>0， 所以结合单调性，知f(x)在(1，＋∞)内有且仅有一个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　利用导数研究函数的零点 课堂互动探究 题型一 判断函数零点个数问题 【典例1】　已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x. (1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由． 判断零点的个数问题的思路 (1)求出函数的定义域． (2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点． (3)用f′(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值． (4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势． (5)画出f(x)的大致图象(不必在步骤中呈现). 【对点训练】 1．给定函数f(x)＝ex－x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数． 题型二 由函数的零点个数求参数的范围 【典例2】　若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)取得极值－. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围． 与函数零点有关的问题 利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题)，从而确定参数的取值范围. 【对点训练】 2．已知函数f(x)＝lnx－ax＋1.若关于x的方程f(x)＋x2＋1＝0至少有两个不相等的实数根，求实数a的最小值． 随堂达标验收 1．函数f(x)＝x＋cosx的零点所在的区间为(　　) A． B． C． D． 2．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(0,4e2) D．(0，＋∞) 3．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x＋a，若g(x)存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4．方程x2＝ex的实根个数为________． 5．已知函数f(x)＝lnx＋－2，证明：函数f(x)在(1，＋∞)内有且仅有一个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$