2024-2025学年高二数学下学期人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用5.3.5含参函数的最大(小)值

含参函数的最大(小)值 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m＝(　　) A．0 B．1 C．2 D. 2．(5分)当x＝1时，函数f(x)＝alnx＋取得最大值－2，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 3．(5分)函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上最大值为2，最小值为0，则实数m取值范围为(　　) A．[1，] B．[1，＋∞) C．(1，] D．(1，＋∞) 4．(5分)若对任意的x∈(0，＋∞)，ax－ln(2x)≥1恒成立，则实数a的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5．(6分)(多选)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．(5分)若函数f(x)＝asinx＋sin3x在x＝处有最值，则a＝________. 7．(5分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b，若存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1，则符合条件的一组a，b的值为________． 8．(5分)已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在最大值，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 9．(10分)已知函数f(x)＝＋klnx，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值． 10．(10分)已知函数f(x)＝x＋. (1)讨论函数f(x)的极值点的个数； (2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最小值是，求实数a的值． 能力提升 11．(5分)若函数f(x)＝－x3－3x2＋1在[a，＋∞)上的最大值为1，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞) C．(－3,0) D．[－3,0] 12．(6分)(多选)已知函数f(x)＝sin－－mx在上单调递减，则实数m的取值不可能是(　　) A．－ B．－ C. D. 13．(5分)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝1－－alnx，a>0， (1)求f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)与函数g(x)＝a(1－e1－x)－x＋1有相同的最大值，求a的值． 创新拓展 15．(13分)已知函数f(x)＝，a∈R.若f(x)≤xex＋－1恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 含参函数的最大(小)值 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m＝(　　) A．0 B．1 C．2 D. [解析]　y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，易知当－1<x<0时，y′<0，当－2<x<－1或0<x<1时，y′>0，所以函数y＝x3＋x2＋m在(－2，－1)，(0,1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减，又当x＝－1时，y＝m＋，当x＝1时，y＝m＋，所以最大值为m＋＝，解得m＝2. [答案]　C 2．(5分)当x＝1时，函数f(x)＝alnx＋取得最大值－2，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 [解析]　由题知f(1)＝－2，即aln1＋＝－2，得b＝－2，所以f(x)＝alnx－，定义域为(0，＋∞)，故f′(x)＝＋，又因为x＝1时，函数f(x)＝alnx＋取得最大值－2，则x＝1是f(x)的极大值点，故f′(1)＝a＋2＝0，得a＝－2，经检验，a＝－2满足题意．故选C. [答案]　C 3．(5分)函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上最大值为2，最小值为0，则实数m取值范围为(　　) A．[1，] B．[1，＋∞) C．(1，] D．(1，＋∞) [解析]　∵f(x)＝3x－x3，∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令f′(x)＝0，则x＝1或－1(舍负)，当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∵函数f(x)在[0，m]上最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2，∴1≤m≤.故选A. [答案]　A 4．(5分)若对任意的x∈(0，＋∞)，ax－ln(2x)≥1恒成立，则实数a的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　令f(x)＝ax－ln(2x)，x∈(0，＋∞)．∵ax－ln(2x)≥1恒成立，∴f(x)min≥1，f′(x)＝a－，若a≤0，则f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，ax－ln(2x)≥1不恒成立，∴a>0.令f′(x)＝0，解得x＝.当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴f(x)min＝f＝1－ln≥1，即ln≤0，即a≥2，∴a的最小值是2. [答案]　A 5．(6分)(多选)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 －2 单调递增 2 单调递减 因为函数在(a2－12，a)的端点处的函数值取不到，所以函数的极小值是区间(a2－12，a)上的最小值，由此得a2－12<－1<a，解得－1<a<.又当x＝2时，f(x)＝－2.故有a≤2.综上，－1<a≤2.故选ABC. [答案]　ABC 二、填空题 6．(5分)若函数f(x)＝asinx＋sin3x在x＝处有最值，则a＝________. [解析]　∵f(x)的定义域为R，f(x)在x＝处有最值，∴x＝是函数f(x)的极值点．又f′(x)＝acosx＋cos3x，∴f′＝acos＋cosπ＝0，解得a＝2. [答案]　2 7．(5分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b，若存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1，则符合条件的一组a，b的值为________． [解析]　f(x)＝2x3－ax2＋b，f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)，不妨令>1，f′(x)<0，在区间[0,1]上恒成立，f(x)在区间[0,1]上单调递减，此时要满足题意，则解得符合条件的一组a，b的值为a＝4，b＝1. [答案]　a＝4，b＝1(答案不唯一) 8．(5分)已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在最大值，则实数a的取值范围是________． [解析]　因为f(x)＝，x>0，所以f′(x)＝－.当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在x＝1处取得最大值．因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在最大值，所以解得<a<1. [答案]　 三、解答题 9．(10分)已知函数f(x)＝＋klnx，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值． [解]　函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋＝. ①若k≤0，则在上恒有f′(x)<0， 所以f(x)在上单调递减． ②若0<k<，则f′(x)＝＝， 由k<，得>e，则x－<0在上恒成立，所以<0在上恒成立， 所以f(x)在上单调递减． 综上，当k<时，f(x)在上单调递减， 所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1. 10．(10分)已知函数f(x)＝x＋. (1)讨论函数f(x)的极值点的个数； (2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最小值是，求实数a的值． [解]　(1)f′(x)＝1－＝， 当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，无极值点． 当a>0时，由f′(x)＝0得x＝lna， 在区间(－∞，lna)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在区间(lna，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以当x＝lna时，f(x)取得极小值，所以a>0时，f(x)有1个极值点． (2)由(1)知当a≤0时，f(x)在[0,1]上递增， ∴f(x)min＝f(0)＝a＝，不符合． 当a≥e时，lna≥1，f(x)在区间[0,1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝1＋＝，∴a＝e，不符合． 当1<a<e时，0<lna<1， ∴f(x)min＝f(lna)＝lna＋＝lna＋1＝， ∴lna＝，a＝e，符合． 当0<a≤1时，lna≤0，f(x)在[0,1]上递增， ∴f(x)min＝f(0)＝a＝，不符合． 综上所述，a的值为e. 能力提升 11．(5分)若函数f(x)＝－x3－3x2＋1在[a，＋∞)上的最大值为1，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞) C．(－3,0) D．[－3,0] [解析]　∵f(x)＝－x3－3x2＋1，∴f′(x)＝－3x2－6x，令f′(x)＝－3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由f(x)＝1，得－x3－3x2＋1＝1，解得x＝0或x＝－3.当x>0时，f(x)<f(0)＝1，当x<－3时，f(x)>f(－3)＝1.又f(x)＝－x3－3x2＋1在[a，＋∞)上的最大值为1，∴a的取值范围为[－3,0]．故选D. [答案]　D 12．(6分)(多选)已知函数f(x)＝sin－－mx在上单调递减，则实数m的取值不可能是(　　) A．－ B．－ C. D. [解析]　由f(x)＝sin－－mx在上单调递减，得f′(x)＝2cos－x－m≤0，即2cos－x≤m，令g(x)＝2cos－x，则g′(x)＝－4sin－1，当x∈时，≤2x＋≤，则2≤4sin≤4，所以－5≤－4sin－1≤－3，即g′(x)<0，所以g(x)在上单调递减，g(x)max＝g(0)＝，所以m≥.故选ABC. [答案]　ABC 13．(5分)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________． [解析]　由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.令f′(x)＝－a＝0，得x＝，当0<x<时，f′(x)>0；当<x<2时，f′(x)<0.∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，f(x)max＝f＝－lna－1＝－1.解得a＝1. [答案]　1 14．(10分)已知函数f(x)＝1－－alnx，a>0， (1)求f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)与函数g(x)＝a(1－e1－x)－x＋1有相同的最大值，求a的值． [解]　(1)f′(x)＝－＝，x>0. ∵a>0，∴当0<x<时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是. (2)由(1)得当x＝时，f(x)取得最大值1－a＋alna， g′(x)＝ae1－x－1，易知g′(x)单调递减，令g′(x)＝0，得x＝1＋lna， 当x∈(－∞，1＋lna)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(1＋lna，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减． 所以，当x＝1＋lna时，g(x)取得最大值a－1－lna. 依题意，有1－a＋alna＝a－1－lna， 所以2a－2－lna－alna＝0， 令h(x)＝2x－2－lnx－xlnx(x>0)， 则h′(x)＝2－－(lnx＋1)＝1－－lnx. 由f(x)的单调性可知，当a＝1时， f(x)＝1－－lnx. 在x＝1时取得最大值0，即f(x)≤0，从而可得h′(x)＝1－－lnx≤0， 因此h(x)在(0，＋∞)上单调递减，又h(1)＝0， 所以2a－2－lna－alna＝0，a＝1. 创新拓展 15．(13分)已知函数f(x)＝，a∈R.若f(x)≤xex＋－1恒成立，求实数a的取值范围． [解]　f(x)≤xex＋－1，x>0恒成立， 故原式可化为a≤x2ex－2lnx－x＋1，x>0恒成立， 令g(x)＝x2ex－2lnx－x＋1， 则g′(x)＝(x＋2)，x>0，令h(x)＝xex－(x>0)，h′(x)＝ex(x＋1)＋>0，故h(x)在(0，＋∞)上是增函数，且h(1)＝e－1>0，h＝－2<0， 故存在x0>0，使得h(x0)＝0，即x0ex0＝，① 且x∈(0，x0)时，h(x)<0，即g′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，故x0是g(x)的极小值点，也是最小值点，g(x)min＝g(x0)＝xex0－2lnx0－x0＋1，② 由①式得ex0＝，即x0＝－2lnx0，代入②式中得g(x0)＝2，故a≤2即为所求，所以a的取值范围是(－∞，2]． 学科网（北京）股份有限公司 $$