2024-2025学年高二数学人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用5.3.4函数的最大(小)值

函数的最大(小)值 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)设在区间[a，b]上函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且函数f(x)在区间(a，b)上可导，有以下三个命题： ①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值； ②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值； ③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得． 其中正确的命题共有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．(5分)函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为(　　) A．－1 B．1 C．0 D．e 3．(5分)函数f(x)＝excosx在区间上取得最大值时x的值为(　　) A．0 B. C. D. 4．(5分)“x>1”是“lnx>”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(6分)(多选)对于函数f(x)＝excosx－x，x∈(0，π)，下列结论正确的是(　　) A．f′(x)在(0，π)内单调递减 B．f′(x)存在极小值 C．f(x)存在最大值 D．f(x)无最小值 二、填空题 6．(5分)若函数f(x)＝x3－3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m＋n＝______. 7．(5分)设0<x<π，则函数y＝的最小值是________． 8．(5分)如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是______． 三、解答题 9．(10分)求下列函数的最值： (1)f(x)＝sinx＋cosx，x∈； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]． 10．(10分)某知名保健品企业新研发了一种健康饮品．已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶，最少1千瓶，经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量x(x∈N*，单位：千瓶)间的关系为P＝，每生产一瓶正品盈利4元，每生产一瓶次品亏损2元．(注：正品率＝饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x的函数； (2)求该种饮品的最大日利润． 能力提升 11．(5分)已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　) A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a) 12．(6分)(多选)已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的值可以是(　　) A．24 B．20 C．18 D．0 13．(5分)一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________m时，帐篷的体积最大． 14．(10分)已知函数f(x)＝xa－lnx，a>0. (1)求f(x)的最小值g(a)； (2)证明：g(a)≤a＋－1. 创新拓展 15．(13分)函数f(x)＝在区间[－e，－1]∪[1，e]上的最大值与最小值之和为a＋b(a>0，b>0)，求＋的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的最大(小)值 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)设在区间[a，b]上函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且函数f(x)在区间(a，b)上可导，有以下三个命题： ①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值； ②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值； ③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得． 其中正确的命题共有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 [解析]　由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间(a，b)内取得，因此命题①②③都不正确． [答案]　A 2．(5分)函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为(　　) A．－1 B．1 C．0 D．e [解析]　由f(x)＝lnx－x，得f′(x)＝－1＝，当0<x<1时，f′(x)>0，当1<x≤e，f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以当x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝ln1－1＝－1，故选A. [答案]　A 3．(5分)函数f(x)＝excosx在区间上取得最大值时x的值为(　　) A．0 B. C. D. [解析]　由f(x)＝excosx得f′(x)＝excosx－exsinx＝excos，令f′(x)＝0，即cos＝0在区间上解得x＝，当x∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数，所以当x＝时，f(x)取得最大值．故选B. [答案]　B 4．(5分)“x>1”是“lnx>”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　令f(x)＝lnx－＝lnx＋－1，f′(x)＝－＝，由f′(x)<0得0<x<1；由f′(x)>0得x>1，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f(1)＝0，所以f(x)>0，即lnx>的充要条件是0<x<1或x>1，故选A. [答案]　A 5．(6分)(多选)对于函数f(x)＝excosx－x，x∈(0，π)，下列结论正确的是(　　) A．f′(x)在(0，π)内单调递减 B．f′(x)存在极小值 C．f(x)存在最大值 D．f(x)无最小值 [解析]　令g(x)＝f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则g′(x)＝－2exsinx.因为当x∈(0，π)时，g′(x)<0，所以f′(x)不存在极小值，且f′(x)在(0，π)内单调递减，故A正确，B错误；易知对任意的x∈(0，π)，有g(x)<g(0)＝0，即f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，π)内单调递减，故f(x)不存在最大值和最小值，故C错误，D正确． [答案]　AD 二、填空题 6．(5分)若函数f(x)＝x3－3x在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m＋n＝______. [解析]　f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，f(1)＝－2.又f(0)＝0，f(3)＝18，所以m＝18，n＝－2，m＋n＝16. [答案]　16 7．(5分)设0<x<π，则函数y＝的最小值是________． [解析]　y′＝＝.因为0<x<π，所以当<x<π时，y′>0；当0<x<时，y′<0.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当x＝时，ymin＝. [答案]　 8．(5分)如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是______． [解析]　设|CD|＝2a，a∈(0,1)，则点C的坐标为(a,0)，∴点B的坐标为(a,1－a2)，∴矩形ABCD的面积S＝2a·(1－a2)＝2a－2a3，a∈(0,1)．由S′＝2－6a2＝0得a＝－(舍去)，或a＝，∵当a∈时，S′>0，∴S＝2a－2a3在上单调递增；当a∈时，S′<0，∴S＝2a－2a3在上单调递减，∴a＝时，Smax＝. [答案]　 三、解答题 9．(10分)求下列函数的最值： (1)f(x)＝sinx＋cosx，x∈； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]． [解]　(1)f′(x)＝cosx－sinx. 令f′(x)＝0，即tanx＝1， 且x∈，所以x＝. 又因为f＝，f＝－1，f＝1， 所以当x∈时，函数f(x)的最大值为，最小值为－1. (2)因为f(x)＝3ex－exx2， 所以f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)． 因为在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减， 所以在区间[2,5]上，当x＝2时，函数f(x)取得最大值－e2；当x＝5时，函数f(x)取得最小值－22e5. 10．(10分)某知名保健品企业新研发了一种健康饮品．已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶，最少1千瓶，经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量x(x∈N*，单位：千瓶)间的关系为P＝，每生产一瓶正品盈利4元，每生产一瓶次品亏损2元．(注：正品率＝饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x的函数； (2)求该种饮品的最大日利润． [解]　(1)由题意，知每生产1千瓶正品盈利4000元，每生产1千瓶次品亏损2000元， 所以y＝4000×x－2000×x＝3600x－x3， 所以日利润y＝－x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)． (2)令f(x)＝－x3＋3600x，x∈[1,40]， 则f′(x)＝3600－4x2. 令f′(x)＝0， 解得x＝30或x＝－30(舍去)． 当1≤x<30时，f′(x)>0； 当30<x≤40时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在[1,30)上单调递增， 在(30,40]上单调递减， 所以当x＝30时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，为f(30)＝－×303＋3600×30＝72000， 即y的最大值为72000， 所以该种饮品的最大日利润为72000元． 能力提升 11．(5分)已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　) A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b) C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a) [解析]　令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)<g′(x)，∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)． [答案]　A 12．(6分)(多选)已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的值可以是(　　) A．24 B．20 C．18 D．0 [解析]　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，x∈[－3,2]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1，由f′(x)<0，得－1<x<1，由f′(x)>0得，1<x<2或－3<x<－1，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，在[1,2]和[－3，－1]上单调递增．f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19，又由题设知在[－3,2]上|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝20，所以t≥20，故选AB. [答案]　AB 13．(5分)一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________m时，帐篷的体积最大． [解析]　设OO1＝x m，则1<x<4.由题设可得正六棱锥底面边长为＝，则底面正六边形的面积为6××()2＝(8＋2x－x2)．帐篷的体积为V(x)＝(8＋2x－x2)＝(16＋12x－x3)，则V′(x)＝(12－3x2)．令V′(x)＝0，解得x＝－2(不符合题意，舍去)或x＝2.当x∈(1,2)时，V′(x)>0，V(x)单调递增；当x∈(2,4)时，V′(x)<0，V(x)单调递减．综上，当x＝2时，V(x)最大． [答案]　2 14．(10分)已知函数f(x)＝xa－lnx，a>0. (1)求f(x)的最小值g(a)； (2)证明：g(a)≤a＋－1. [解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝axa－1－＝， 令axa－1＝0解得x＝，令x0＝，又因为当a>0时，y＝axa－1为增函数， 故当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，则f(x)在(0，x0)上单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(x0，＋∞)上单调递增； 故f(x)min＝f(x0)＝x－lnx0＝－ln＝，故g(a)＝. (2)证明：g(a)＝，a>0，则g′(a)＝， 故当a∈(0,1)时，g′(a)>0，则g(a)在(0,1)上单调递增； 当a∈(1，＋∞)时，g′(a)<0，则g(a)在(1，＋∞)上单调递减； 故g(a)max＝g(1)＝1. 又因为a＋≥2＝2，所以a＋－1≥1(当且仅当a＝1时，取“＝”)， 所以g(a)≤a＋－1. 创新拓展 15．(13分)函数f(x)＝在区间[－e，－1]∪[1，e]上的最大值与最小值之和为a＋b(a>0，b>0)，求＋的最小值． [解]　f(x)＝＝ ＝＝ ＝1＋， 令g(x)＝，x∈[－e，－1]∪[1，e]， 因为定义域关于原点对称，且g(－x)＝＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数， 所以g(x)在区间[－e，－1]∪[1，e]上的最大值与最小值之和为0， 则函数f(x)在区间[－e，－1]∪[1，e]上的最大值与最小值之和为2，即a＋b＝2.又a>0，b>0， 所以＋＝(a＋b) ＝＝2＋≥2＋×2＝＋2， 当且仅当＝，a＋b＝2，即a＝－1，b＝3－时，等号成立． 所以＋的最小值为＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $$