2024-2025学年高二数学下学期人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用5.3.3 函数的极值

函数的极值 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)下列函数中存在极值点的是(　　) A．y＝ B．y＝x－ex C．y＝2 D．y＝x3 2．(5分)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 3．(5分)已知函数f(x)＝x(x－1)2，则(　　) A．f(x)有极小值，无极大值 B．f(x)有极大值，无极小值 C．f(x)既有极小值又有极大值 D．f(x)无极小值也无极大值 4．(5分)若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1,2)内有极值，则实数b的取值范围是(　　) A．(0,4) B．[0,4) C．[1,4) D．(1,4) 5．(6分)(多选)已知f(x)＝，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－1 B．单调递增区间为(－∞，e) C．f(x)的极大值为 D．方程f(x)＝－1有两个不同的解 二、填空题 6．(5分)函数f(x)＝x3－12x的极小值点为________． 7．(5分)若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是________． 8．(5分)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为________． 三、解答题 9．(10分)求下列函数的极值： (1)f(x)＝ex－x； (2)f(x)＝x－ln(x＋1)． 10．(10分)设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的极值； (2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？ 能力提升 11．(5分)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　) 12．(6分)(多选)函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的《高等数学》与《数学分析》教材中，对“初等函数”给出了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，如函数f(x)＝xx(x>0)，我们可以作变形：f(x)＝xx＝e＝exlnx＝et(t＝xlnx)，所以f(x)可看作是由函数h(t)＝et和t＝xlnx复合而成的，即f(x)＝xx(x>0)为初等函数．根据以上材料，关于初等函数h(x)＝x(x>0)的说法正确的是(　　) A．无极小值 B．有极小值1 C．无极大值 D．有极大值e 13．(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________． 14．(10分)定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“DQF函数”． (1)判断函数f(x)＝－2024是否为“DQF函数”，并说明理由； (2)若函数g(x)＝lnx－mx(m∈R)是“DQF函数”，求实数m的取值范围． 创新拓展 15．(13分)已知a∈R，函数f(x)＝xln2x－x＋＋2. (1)当a＝0时，求f(x)的单调区间和极值； (2)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1<x2)，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的极值 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)下列函数中存在极值点的是(　　) A．y＝ B．y＝x－ex C．y＝2 D．y＝x3 [解析]　对选项A，y′＝－<0，故没有极值点；对选项B，y′＝1－ex，则极值点为x＝0，故正确；对选项C，y′＝0，故没有极值点；对选项D，y′＝3x2≥0，故没有极值点． [答案]　B 2．(5分)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) [解析]　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D. [答案]　D 3．(5分)已知函数f(x)＝x(x－1)2，则(　　) A．f(x)有极小值，无极大值 B．f(x)有极大值，无极小值 C．f(x)既有极小值又有极大值 D．f(x)无极小值也无极大值 [解析]　由题意函数f(x)＝x(x－1)2，可得f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x＝时，函数取得极大值；当x＝1时，函数取得极小值．故选C. [答案]　C 4．(5分)若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1,2)内有极值，则实数b的取值范围是(　　) A．(0,4) B．[0,4) C．[1,4) D．(1,4) [解析]　由题意得，f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.∵f(x)在(－1,2)内有极值，∴f′(x)在(－1,2)内有变号零点，∴0<b<4.故选A. [答案]　A 5．(6分)(多选)已知f(x)＝，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝x－1 B．单调递增区间为(－∞，e) C．f(x)的极大值为 D．方程f(x)＝－1有两个不同的解 [解析]　因为f(x)＝，所以函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，f′(1)＝1，f(1)＝0，所以f(x)的图象在点(1,0)处的切线方程为y－0＝f′(1)(x－1)，即y＝1·(x－1)＝x－1，故A正确；在(0，e)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(e，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，故B错误；f(x)的极大值为f(e)＝＝，故C正确；方程f(x)＝＝－1的解的个数，即为lnx＝－x的解的个数，即为函数y＝lnx与y＝－x的图象交点的个数，作出函数y＝lnx与y＝－x的图象，如图所示，由图象可知方程f(x)＝－1只有一个解，故D错误． [答案]　AC 二、填空题 6．(5分)函数f(x)＝x3－12x的极小值点为________． [解析]　因为f(x)＝x3－12x，所以f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)·(x－2)．令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2，所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)上单调递增；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，f(x)在(－2,2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2，＋∞)上单调递增．所以f(x)在x＝2处取得极小值． [答案]　2 7．(5分)若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是________． [解析]　由题意知f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝lna，∴当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.可知x＝lna为f(x)的极值点，∴lna<0，∴a∈(0,1)． [答案]　(0,1) 8．(5分)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为________． [解析]　∵f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为函数f(x)既有极大值，又有极小值，所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3，故a的取值范围为(－∞，－3)∪(6，＋∞)． [答案]　(－∞，－3)∪(6，＋∞) 三、解答题 9．(10分)求下列函数的极值： (1)f(x)＝ex－x； (2)f(x)＝x－ln(x＋1)． [解]　(1)函数定义域为R，f′(x)＝ex－1. 令f′(x)＝0，解得x＝0. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝1，函数f(x)无极大值． (2)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)， f′(x)＝1－＝. 令f′(x)＝0，得x＝0. 当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0，函数f(x)无极大值． 10．(10分)设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的极值； (2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？ [解]　(1)f′(x)＝3x2－2x－1. 令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x － 1 (1， ＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 ＋a 单调递减 a－1 单调 递增 ∴f(x)的极大值是f＝＋a， 极小值是f(1)＝a－1. (2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a ＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时， 有f(x)>0， x取足够小的负数时，有f(x)<0， ∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点． 由(1)知f(x)的极大值为f＝＋a， f(x)的极小值为f(1)＝a－1. ∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点， ∴＋a<0或a－1>0， ∴a<－或a>1， ∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点． 能力提升 11．(5分)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　) [解析]　因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x∈(－∞，－2)时，f(x)单调递减，即f′(x)<0；当x∈(－2，＋∞)时，f(x)单调递增，即f′(x)>0.所以当x<－2时，y＝xf′(x)>0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2<x<0时，y＝xf′(x)<0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x>0时，y＝xf′(x)>0.结合选项中的图象知选C. [答案]　C 12．(6分)(多选)函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的《高等数学》与《数学分析》教材中，对“初等函数”给出了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，如函数f(x)＝xx(x>0)，我们可以作变形：f(x)＝xx＝e＝exlnx＝et(t＝xlnx)，所以f(x)可看作是由函数h(t)＝et和t＝xlnx复合而成的，即f(x)＝xx(x>0)为初等函数．根据以上材料，关于初等函数h(x)＝x(x>0)的说法正确的是(　　) A．无极小值 B．有极小值1 C．无极大值 D．有极大值e [解析]　根据材料知，h(x)＝x＝e＝e ，所以h′(x)＝e·′＝ e·＝e·(1－lnx)，令h′(x)＝0得x＝e，当x∈(0，e)时，h′(x)>0，此时函数h(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，此时函数h(x)单调递减．所以h(x)有极大值且为h(e)＝e，无极小值．故选AD. [答案]　AD 13．(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________． [解析]　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f(x)在x＝1处取得极大值10，∴f′(1)＝3＋2a＋b＝0，且f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，∴a2＋8a＋12＝0，∴a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)．当<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取得极小值，与题意不符．当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，当x<1时，f′(x)>0，当1<x<3时，f′(x)<0，∴f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意，∴＝－＝－. [答案]　－ 14．(10分)定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“DQF函数”． (1)判断函数f(x)＝－2024是否为“DQF函数”，并说明理由； (2)若函数g(x)＝lnx－mx(m∈R)是“DQF函数”，求实数m的取值范围． [解]　(1)函数f(x)＝－2024的定义域为R，求导得f′(x)＝， 当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， 函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 因此函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝－2024<0，满足“DQF函数”的定义， 所以函数f(x)＝－2024是“DQF函数”． (2)依题意，函数g(x)＝lnx－mx(m∈R)在(0，＋∞)上有极大值，且极大值为负数； 求导得g′(x)＝－m，x>0，显然m>0，否则g′(x)>0恒成立，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值， 则当x∈时，g′(x)>0，当x∈时，g′(x)<0， 函数g(x)在上单调递增，在上单调递减， 函数g(x)在x＝处取得极大值g＝－lnm－1<0，解得m>， 所以实数m的取值范围为. 创新拓展 15．(13分)已知a∈R，函数f(x)＝xln2x－x＋＋2. (1)当a＝0时，求f(x)的单调区间和极值； (2)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2(x1<x2)，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝0时，f(x)＝xln2x－x＋2(x>0)，则f′(x)＝ln2x， 故当0<x<时，f′(x)<0， 当x>时，f′(x)>0， 故f(x)的递减区间为， 递增区间为， 极小值为f＝，无极大值． (2)因为f′(x)＝ln2x－＝(x>0)， 令g(x)＝2x2ln2x－a(x>0)，问题可转化为函数g(x)有两个不同的零点x1、x2， 又g′(x)＝4xln2x＋2x＝2x(2ln2x＋1)，令g′(x)＝0，得x＝，由g′(x)<0得0<x<，由g′(x)>0得x>， 故函数g(x)在上递减，在上递增， 故g(x)min＝g＝－－a，故－－a<0， 即a>－， 当a≥0时，在x∈时，函数g(x)≤2x2ln2x<0，不符题意， 当－<a<0时，则g>0，g<0，g＝－a>0， 即当－<a<0时，存在x1∈，x2∈，使得f(x)在(0，x1)上递增，在(x1，x2)上递减，在(x2，＋∞)上递增， 故f(x)有两个不同的极值点x1、x2的a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$