2024-2025学年高二数学下学期人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用5.3.2导数在研究函数中的应用-函数单调性的应用

函数单调性的应用 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)已知函数f(x)＝3x－ax(a∈R)，则“a<0”是“函数f(x)为增函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(5分)若函数g(x)＝lnx＋x2－(b－1)x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，3) D．(－∞，3] 3．(5分)已知f(x)＝，则(　　) A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2) C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2) 4．(5分)已知函数f(x)＝2lnx＋－x，则不等式f(2x－1)<f(1－x)的解集为(　　) A. B. C. D. 5．(6分)(多选)已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)<g′(x)，则在[a，b]上，下列关系中正确的是(　　) A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b) B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b) C．f(x)＋g(a)≤g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(a)≥g(x)＋f(a) 二、填空题 6．(5分)若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是______________． 7．(5分)在R上可导的函数y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)>0的解集为________________________． 8．(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x－1的x的取值范围是________． 三、解答题 9．(10分)已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x，讨论f(x)的单调性． 10．(10分)已知函数f(x)＝x3－5x＋4. (1)求这个函数的图象在x＝1处的切线方程； (2)求证：对任意x1，x2∈(－2,2)且x1<x2，恒有f(x1)＋x1>f(x2)＋x2. 能力提升 11．(5分)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则不等式的解集为(　　) A．(0,1) B. C. D．(2,4) 12．(6分)(多选)已知e>a>b>1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是(　　) A．aea>beb B．alnb>blna C．alna>blnb D．bea>aeb 13．(5分)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________． 14．(10分)已知函数f(x)＝e|x|＋cosx，求不等式f(2x)≤f(x－1)的解集． 创新拓展 15．(13分)意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式φ(x)＝acosh，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式coshx＝，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为sinhx＝. (1)证明：①cosh2x－sinh2x＝1； ②cosh2x＝cosh2x＋sinh2x. (2)求不等式sinh(2x－1)＋sinh(x－2)<0的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数单调性的应用 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)已知函数f(x)＝3x－ax(a∈R)，则“a<0”是“函数f(x)为增函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　因为f(x)＝3x－ax，所以f′(x)＝3xln3－a，所以当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在定义域上是增函数．因为(－∞，0)(－∞，0]，所以“a<0”是“函数f(x)为增函数”的充分不必要条件．故选A. [答案]　A 2．(5分)若函数g(x)＝lnx＋x2－(b－1)x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，3) D．(－∞，3] [解析]　函数g(x)＝lnx＋x2－(b－1)x的定义域为(0，＋∞)，且其导数为g′(x)＝＋x－(b－1)．由g(x)存在单调递减区间知g′(x)<0在(0，＋∞)上有解，即＋x－(b－1)<0有解．因为函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＋≥2.要使＋x－(b－1)<0有解，只需要＋x的最小值小于b－1，所以2<b－1，即b>3，所以实数b的取值范围是(3，＋∞)．故选B. [答案]　B 3．(5分)已知f(x)＝，则(　　) A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2) C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2) [解析]　f(x)的定义域是(0，＋∞)，∵f′(x)＝，∴x∈(0，e)，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(e，＋∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，故x＝e时，f(x)max＝f(e)，又f(2)＝＝＝f(4)，且e<3<4，则f(e)>f(3)>f(4)＝f(2)． [答案]　D 4．(5分)已知函数f(x)＝2lnx＋－x，则不等式f(2x－1)<f(1－x)的解集为(　　) A. B. C. D. [解析]　由题意可知，函数f(x)＝2lnx＋－x的定义域为(0，＋∞)．因为f′(x)＝－－1＝－2≤0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2x－1)<f(1－x)可得解得<x<1，即原不等式的解集为.故选B. [答案]　B 5．(6分)(多选)已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)<g′(x)，则在[a，b]上，下列关系中正确的是(　　) A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b) B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b) C．f(x)＋g(a)≤g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(a)≥g(x)＋f(a) [解析]　据题意，由f′(x)<g′(x)得f′(x)－g′(x)<0，故F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上为减函数，由单调性知识知，在[a，b]上必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理得f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)．同理F(x)≤F(a)，即f(x)－g(x)≤f(a)－g(a)，移项整理得f(x)＋g(a)≤g(x)＋f(a)． [答案]　BC 二、填空题 6．(5分)若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是______________． [解析]　若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则其导数y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0. [答案]　(0，＋∞) 7．(5分)在R上可导的函数y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)>0的解集为________________________． [解析]　由y＝f(x)的图象可得f′(x)>0的解为x<－1或x>1，f′(x)<0的解为－1<x<1.而x·f′(x)>0即为或故x>1或－1<x<0. [答案]　{x|x>1或－1<x<0} 8．(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x－1的x的取值范围是________． [解析]　令g(x)＝f(x)－2x＋1，则g′(x)＝f′(x)－2<0，所以g(x)在R上单调递减．又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，当g(x)>g(1)＝0，故x<1时，f(x)－2x＋1>0，故f(x)>2x－1的解集为(－∞，1)． [答案]　(－∞，1) 三、解答题 9．(10分)已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x，讨论f(x)的单调性． [解]　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－2ax＋(2－a) ＝－. ①若a≤0，则f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②若a>0， 则由f′(x)＝0得x＝， 且当x∈时，f′(x)>0； 当x∈时，f′(x)<0， 所以f(x)在上单调递增， 在上单调递减． 10．(10分)已知函数f(x)＝x3－5x＋4. (1)求这个函数的图象在x＝1处的切线方程； (2)求证：对任意x1，x2∈(－2,2)且x1<x2，恒有f(x1)＋x1>f(x2)＋x2. [解]　(1)因为f′(x)＝x2－5，所以切线的斜率k＝f′(1)＝－4.又因为f(1)＝－，所以在x＝1处的切线方程为y＋＝－4(x－1)，即12x＋3y－10＝0. (2)证明：设g(x)＝f(x)＋x＝x3－4x＋4， 因为g′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，所以当x∈(－2,2)时，g′(x)<0.所以g(x)在(－2,2)内为减函数． 则当x1，x2∈(－2,2)且x1<x2时，恒有g(x1)>g(x2)． 即对任意x1，x2∈(－2,2)且x1<x2，恒有f(x1)＋x1>f(x2)＋x2. 能力提升 11．(5分)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则不等式的解集为(　　) A．(0,1) B. C. D．(2,4) [解析]　若图中实线部分曲线为函数y＝f(x)的图象，则虚线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，由导函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在区间(0,2)上单调递减，但由函数y＝f(x)的图象可知，函数y＝f(x)在区间(0,2)上不单调，不符合题意；若图中实线部分曲线为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，符合题意．由图象可知，不等式的解集为(0,1)． [答案]　A 12．(6分)(多选)已知e>a>b>1，e为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是(　　) A．aea>beb B．alnb>blna C．alna>blnb D．bea>aeb [解析]　设f(x)＝xex，x>1，则f′(x)＝(x＋1)ex>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数f(x)单调递增，故f(a)>f(b)，即aea>beb，故A正确；设g(x)＝，x>1，则g′(x)＝，易知函数g(x)在(1，e)内单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故当1<b<a<e时，g(a)>g(b)，即>，故alnb<blna，故B错误；设h(x)＝xlnx，x>1，则h′(x)＝lnx＋1>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增，故h(a)>h(b)，即alna>blnb，故C正确；设k(x)＝，x>1，则k′(x)＝>0在(1，＋∞)上恒成立，故函数k(x)在(1，＋∞)上单调递增，故k(a)>k(b)，即>，故bea>aeb，故D正确．故选ACD. [答案]　ACD 13．(5分)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________． [解析]　在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(x)的图象如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． [答案]　(－∞，－1)∪(0,1) 14．(10分)已知函数f(x)＝e|x|＋cosx，求不等式f(2x)≤f(x－1)的解集． [解]　函数f(x)的定义域为R， f(－x)＝e|－x|＋cos(－x)＝e|x|＋cosx＝f(x)， 所以函数f(x)为偶函数． 当x≥0时，f(x)＝ex＋cosx，f′(x)＝ex－sinx≥1－sinx≥0， 所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增， 由f(2x)≤f(x－1)可得f(|2x|)≤f(|x－1|)，所以|2x|≤|x－1|， 则有4x2≤(x－1)2，得3x2＋2x－1≤0， 解得－1≤x≤.因此，不等式f(2x)≤f(x－1)的解集是. 创新拓展 15．(13分)意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式φ(x)＝acosh，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式coshx＝，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为sinhx＝. (1)证明：①cosh2x－sinh2x＝1； ②cosh2x＝cosh2x＋sinh2x. (2)求不等式sinh(2x－1)＋sinh(x－2)<0的解集． [解]　(1)证明：①cosh2x－sinh2x＝2－2＝－＝1. ②cosh2x＋sinh2x＝2＋2 ＝＋＝ ＝cosh2x. (2)因为sinh(－x)＝＝－sinhx，x∈R恒成立，故y＝sinhx是奇函数． 又因为y＝ex在R上单调递增，y＝e－x在R上单调递减， 故y＝sinhx＝是R上的单调增函数， 所以sinh(2x－1)＋sinh(x－2)<0， 即sinh(2x－1)<－sinh(x－2)＝sinh(2－x)， 所以2x－1<2－x，解得x<1， 即所求不等式的解集为(－∞，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$