2024-2025学年高二数学人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用5.3.1导数在研究函数中的应用-函数的单调性

函数的单调性 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)对于函数y＝f(x)，x∈(a，b)，“f′(x)<0”是“函数y＝f(x)为减函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(5分)函数f(x)＝x－2sinx＋1在(0，π)上的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 3．(5分)已知函数f(x)＝＋lnx，则下列选项正确的是(　　) A．f(e)<f(π)<f(2.7) B．f(π)<f(e)<f(2.7) C．f(e)<f(2.7)<f(π) D．f(2.7)<f(e)<f(π) 4．(5分)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是(　　) 5．(6分)(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在(－2,1)上，f(x)单调递增 B．在(1,2)上，f(x)单调递增 C．在(4,5)上，f(x)单调递增 D．在(－3，－2)上，f(x)单调递增 二、填空题 6．(5分)若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(1＋x)的单调递减区间是______． 7．(5分)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是________． 8．(5分)函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为____________． 三、解答题 9．(10分)利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝2x5＋10x； (2)f(x)＝cosx－x，x∈(0，π)； (3)f(x)＝. 10．(10分)已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间． 能力提升 11．(5分)在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列可能正确的序号是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 12．(6分)(多选)已知函数f(x)＝ex－1，对于满足0<x1<x2<e的任意x1，x2，下列结论中正确的是(　　) A．(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0 B．x2f(x1)>x1f(x2) C．f(x2)－f(x1)>x2－x1 D.>f 13．(5分)写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数f(x)＝________. ①f(x)为奇函数；②f(x)存在3个不同的零点；③f(x)在(1，＋∞)上单调递减． 14．(10分)(1)证明：sin3x＝3sinx－4sin3x； (2)若sin10°∈，n∈N*，利用(1)结合自己所学知识，求n. 创新拓展 15．(13分)设函数f(x)＝(a≠0，x>0)，满足：①f(1)＝；②对任意x>0，f(x)＝f恒成立． (1)求函数f(x)的解析式； (2)设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C，D在函数f(x)的图象上．设矩形ABCD的面积为S，求证：0<S<1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的单调性 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)对于函数y＝f(x)，x∈(a，b)，“f′(x)<0”是“函数y＝f(x)为减函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　由f′(x)<0⇒函数f(x)为减函数，但函数f(x)为减函数⇒/ f′(x)<0，知“f′(x)<0”是“函数y＝f(x)为减函数”的充分不必要条件． [答案]　A 2．(5分)函数f(x)＝x－2sinx＋1在(0，π)上的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. [解析]　f(x)＝x－2sinx＋1，令f′(x)＝1－2cosx>0，即cosx<，因为x∈(0，π)，所以<x<π，故f(x)在(0，π)上的单调递增区间为. [答案]　D 3．(5分)已知函数f(x)＝＋lnx，则下列选项正确的是(　　) A．f(e)<f(π)<f(2.7) B．f(π)<f(e)<f(2.7) C．f(e)<f(2.7)<f(π) D．f(2.7)<f(e)<f(π) [解析]　因为函数f(x)＝＋lnx(x>0)，所以f′(x)＝＋>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为2.7<e<π，所以f(2.7)<f(e)<f(π)．故选D. [答案]　D 4．(5分)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是(　　) [解析]　由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢，故选B. [答案]　B 5．(6分)(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在(－2,1)上，f(x)单调递增 B．在(1,2)上，f(x)单调递增 C．在(4,5)上，f(x)单调递增 D．在(－3，－2)上，f(x)单调递增 [解析]　由题图知当x∈(－1,1)，x∈(1,2)，x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在区间(－1,1)，(1,2)，(4,5)上，f(x)单调递增，当x∈(－3，－2)，x∈(－2，－1)时，f′(x)<0，所以在区间(－3，－2)，(－2，－1)上，f(x)单调递减． [答案]　BC 二、填空题 6．(5分)若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(1＋x)的单调递减区间是______． [解析]　令f′(x)＝x2－4x＋3<0，得1<x<3，由1<1＋x<3，解得0<x<2，故函数f(1＋x)的单调递减区间为(0,2)． [答案]　(0,2) 7．(5分)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是________． [解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由图可知且a<0，d＝0，所以－2,3是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得－2＋3＝－，即＝－，所以y＝ax2＋bx＋的图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝－＝，所以函数y＝ax2＋bx＋的单调递增区间是. [答案]　 8．(5分)函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为____________． [解析]　由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f′(x)<0；当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)． [答案]　(－3，－1)∪(0,1) 三、解答题 9．(10分)利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝2x5＋10x； (2)f(x)＝cosx－x，x∈(0，π)； (3)f(x)＝. [解]　(1)因为f(x)＝2x5＋10x， 所以f′(x)＝10x4＋10＝10(x4＋1)>0， 所以f(x)＝2x5＋10x在R上单调递增． (2)因为f(x)＝cosx－x，x∈(0，π)， 所以f′(x)＝－sinx－1<0， 所以f(x)＝cosx－x在(0，π)上单调递减． (3)因为f(x)＝1－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以f′(x)＝>0， 所以函数f(x)＝1－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增． 10．(10分)已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间． [解]　(1)函数f(x)＝＋－lnx－的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－，由y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，得f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝. (2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，则f′(x)＝，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.由于x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)上单调递减；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)上单调递增．所以f(x)＝＋－lnx－的单调递减区间为(0,5)，单调递增区间为(5，＋∞)． 能力提升 11．(5分)在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及其导函数的图象，下列可能正确的序号是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．①④ [解析]　根据f′(x)>0时，y＝f(x)递增，f′(x)<0时，y＝f(x)递减可得，①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确；而③中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误，④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误．故选A. [答案]　A 12．(6分)(多选)已知函数f(x)＝ex－1，对于满足0<x1<x2<e的任意x1，x2，下列结论中正确的是(　　) A．(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0 B．x2f(x1)>x1f(x2) C．f(x2)－f(x1)>x2－x1 D.>f [解析]　函数f(x)＝ex－1在(0，e)上单调递增，0<x1<x2<e，则f(x1)<f(x2)，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，A不正确；取x1＝1，x2＝2，x2f(x1)－x1f(x2)＝2(e－1)－(e2－1)＝e(2－e)－1<0，x2f(x1)<x1f(x2)，B不正确；令g(x)＝f(x)－x，x∈(0，e)，g′(x)＝ex－1>0，g(x)在(0，e)上单调递增，0<x1<x2<e，则g(x1)<g(x2)，即f(x2)－x2>f(x1)－x1，有f(x2)－f(x1)>x2－x1，C正确；0<x1<x2<e，＝－1>－1＝e－1＝f，D正确． [答案]　CD 13．(5分)写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数f(x)＝________. ①f(x)为奇函数；②f(x)存在3个不同的零点；③f(x)在(1，＋∞)上单调递减． [解析]　对于三次函数f(x)＝－x3＋3x，显然定义域为R，f(－x)＝x3－3x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，满足①；令f(x)＝－x3＋3x＝0，则－x(x2－3)＝0，解得x＝0或x＝±，有3个不同的零点，满足②；f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，当x>1时，f′(x)<0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递减，满足③；故f(x)＝－x3＋3x. [答案]　－x3＋3x(答案不唯一) 14．(10分)(1)证明：sin3x＝3sinx－4sin3x； (2)若sin10°∈，n∈N*，利用(1)结合自己所学知识，求n. [解]　(1)证明：sin3x＝sin(2x＋x)＝sin2xcosx＋cos2xsinx ＝2sinxcosx·cosx＋(1－2sin2x)sinx ＝2sinx(1－sin2x)＋sinx－2sin3x ＝3sinx－4sin3x. (2)由(1)可知，sin30°＝3sin10°－4sin310°＝， 即sin10°是方程4x3－3x＋＝0的一个实根． 令f(x)＝4x3－3x＋， 则f′(x)＝12x2－3＝3(2x＋1)(2x－1)， 显然0<sin10°<sin30°＝，当0<x<时， f′(x)<0， 所以f(x)＝4x3－3x＋在上单调递减， 又f＝4×3>0，f ＝4×3－3×＋＝－<0， 所以sin10°∈，即n＝5. 创新拓展 15．(13分)设函数f(x)＝(a≠0，x>0)，满足：①f(1)＝；②对任意x>0，f(x)＝f恒成立． (1)求函数f(x)的解析式； (2)设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C，D在函数f(x)的图象上．设矩形ABCD的面积为S，求证：0<S<1. [解]　(1)因为f(x)＝(a≠0，x>0)， 由f(1)＝，得＝，则2a＝b＋1； 由f(x)＝f，得＝，(x>0)恒成立， 即b＋x2＝bx2＋1恒成立，所以b＝1，所以a＝1， 所以f(x)＝. (2)证明：因为f′(x)＝， 令f′(x)>0，得0<x<1；令f′(x)<0，得x>1； 所以f(x)在(0,1)上单调递增，(1，＋∞)上单调递减． 不妨设A(t,0)，t∈(0,1)，由f(x)＝f知B， 那么|AB|＝－t，|AD|＝； 故S＝·＝－1＋， 因为t∈(0,1)，所以0<S<1. 学科网（北京）股份有限公司 $$