2024-2025学年高二数学人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用5.2.2导数的四则运算法则

导数的四则运算法则 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)下列求导数的运算中正确的是(　　) A.′＝1＋ B．(3lnx)′＝ C.′＝ D．(x2cosx)′＝－2xsinx [解析]　A选项x′＝1，′＝(x－1)′＝－x－2＝－，相加即可，错误；B选项系数不变，只对lnx求导，正确；C选项是两函数的商的导数，′＝＝，错误；D选项是两函数乘积的导数，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，错误．故选B. [答案]　B 2．(5分)记函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝3xf′(2)－2lnx，则f(1)＝(　　) A．1 B．2 C. D. [解析]　∵f′(x)＝3f′(2)－，∴f′(2)＝3f′(2)－1，解得f′(2)＝，∴f(x)＝x－2lnx，∴f(1)＝. [答案]　D 3．(5分)已知曲线f(x)＝(x＋a)·lnx在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a＝(　　) A. B．1 C．－ D．－1 [解析]　因为f(x)＝(x＋a)·lnx，x>0，所以f′(x)＝lnx＋(x＋a)·，所以f′(1)＝1＋a.又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，所以f′(1)＝－，所以a＝－. [答案]　C 4．(5分)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 [解析]　由题图可知点(3,1)既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝kx＋2上，所以f(3)＝1,1＝3k＋2，解得k＝－，∴f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0，故选B. [答案]　B 5．(6分)(多选)已知函数f(x)＝x3－3x＋1，则过点(1，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程可以为(　　) A．2x＋y－1＝0 B．y＝－1 C．9x＋4y－5＝0 D．3x＋2y－1＝0 [解析]　由f(x)＝x3－3x＋1，得f′(x)＝3x2－3，设切点坐标为(t，t3－3t＋1)，则f′(t)＝3t2－3，则过切点的切线方程为y＝(3t2－3)(x－t)＋t3－3t＋1，把点(1，－1)代入，可得－1＝(3t2－3)(1－t)＋t3－3t＋1，整理得(t－1)2(2t＋1)＝0，即t＝1或t＝－.当t＝－时，切线方程为9x＋4y－5＝0；当t＝1时，切线方程为y＝－1.故选BC. [答案]　BC 二、填空题 6．(5分)已知函数y＝f(x)的图象过原点，且曲线y＝f(x)在原点处的切线为第二、四象限的平分线，试写出一个满足条件的函数f(x)＝________. [解析]　函数f(x)＝－sinx，f(0)＝0，f′(x)＝－cosx，f′(0)＝－cos0＝－1，所以函数f(x)图象在原点处的切线方程为y＝－x，符合题意． [答案]　－sinx(答案不唯一) 7．(5分)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a的取值范围为________． [解析]　f′(x)＝－，f′(1)＝－＝，当c＝0时，a≠－1；当c≠0时，(1＋a)2＝－4，无解． [答案]　a≠－1 8．(5分)已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________． [解析]　f′(x)＝若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－4. [答案]　或－4 三、解答题 9．(10分)求下列函数的导数： (1)y＝lnx＋； (2)y＝； (3)f(x)＝(x2＋9)； (4)f(x)＝. [解]　(1)y′＝′ ＝(lnx)′＋′ ＝－. (2)y′＝′ ＝ ＝－. (3)f(x)＝x3＋6x－， f′(x)＝3x2＋＋6. (4)f′(x)＝ ＝ ＝. 10．(10分)求曲线f(x)＝＋2xlnx在点(1,0)处的切线的方程． [解]　根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得 f′(x)＝＋(2x)′·lnx＋2x(lnx)′＝＋(2xln2)lnx＋＝－＋2xln2lnx＋. 将x＝1代入f′(x)，得所求切线的斜率为f′(1)＝.所以曲线f(x)＝＋2xlnx在点(1,0)处的切线的方程为y＝(x－1)，即7x－4y－7＝0. 能力提升 11．(5分)已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 [解析]　∵f′(x)＝＝，又f′(1)＝tan＝－1，∴a＝7. [答案]　C 12．(6分)(多选)经研究发现：任意一个三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象都只有一个对称中心(x0，f(x0))，其中x0是f″(x)＝0的根，f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数．若函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b图象的对称中心为(－1,3)，则(　　) A．a＝3 B．b＝－2 C．过点(－1,3)且与f(x)的图象相切的切线方程为2x＋y－1＝0 D．过点(－1,3)且与f(x)的图象相切的切线方程为2x－y－1＝0 [解析]　由题意可得f(－1)＝－1＋a－1＋b＝3，即a＋b＝5，因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以f″(x)＝6x＋2a，所以f″(－1)＝－6＋2a＝0，解得a＝3，b＝2，故f(x)＝x3＋3x2＋x＋2.因为f′(－1)＝3－6＋1＝－2，所以过点(－1,3)且与f(x)的图象相切的切线方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.故选AC. [答案]　AC 13．(5分)如图所示的图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则这个图象的序号是________，f(－1)＝________. [解析]　∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，排除图象②④；又a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，故f′(x)的图象的序号为③.由图象特征可知，f′(0)＝0，∴a2－1＝0，且对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(x)＝x3－x2＋1，则f(－1)＝－. [答案]　③　－ 14．(10分)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，求f′(0)的值． [解]　因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x， 所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8. 因为数列{an}为等比数列， 所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8， 所以f′(0)＝84＝4096. 创新拓展 15．(13分)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，求实数a的取值范围． [解]　因为y＝(x＋a)ex， 所以y′＝(x＋a＋1)ex. 设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点， 依题意得切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝， 化简得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线， 所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根， 所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数的四则运算法则 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)下列求导数的运算中正确的是(　　) A.′＝1＋ B．(3lnx)′＝ C.′＝ D．(x2cosx)′＝－2xsinx 2．(5分)记函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝3xf′(2)－2lnx，则f(1)＝(　　) A．1 B．2 C. D. 3．(5分)已知曲线f(x)＝(x＋a)·lnx在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a＝(　　) A. B．1 C．－ D．－1 4．(5分)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 5．(6分)(多选)已知函数f(x)＝x3－3x＋1，则过点(1，－1)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程可以为(　　) A．2x＋y－1＝0 B．y＝－1 C．9x＋4y－5＝0 D．3x＋2y－1＝0 二、填空题 6．(5分)已知函数y＝f(x)的图象过原点，且曲线y＝f(x)在原点处的切线为第二、四象限的平分线，试写出一个满足条件的函数f(x)＝________. 7．(5分)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a的取值范围为________． 8．(5分)已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________． 三、解答题 9．(10分)求下列函数的导数： (1)y＝lnx＋； (2)y＝； (3)f(x)＝(x2＋9)； (4)f(x)＝. 10．(10分)求曲线f(x)＝＋2xlnx在点(1,0)处的切线的方程． 能力提升 11．(5分)已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 12．(6分)(多选)经研究发现：任意一个三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象都只有一个对称中心(x0，f(x0))，其中x0是f″(x)＝0的根，f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数．若函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b图象的对称中心为(－1,3)，则(　　) A．a＝3 B．b＝－2 C．过点(－1,3)且与f(x)的图象相切的切线方程为2x＋y－1＝0 D．过点(－1,3)且与f(x)的图象相切的切线方程为2x－y－1＝0 13．(5分)如图所示的图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则这个图象的序号是________，f(－1)＝________. 14．(10分)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，求f′(0)的值． 创新拓展 15．(13分)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$