2024-2025学年高二下学期人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用5.2.1基本初等函数的导数

基本初等函数的导数 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)下列各式正确的有(　　) A.′＝ B.′＝－ C．(2x)′＝x·2x－1 D．(lnx)′＝ [解析]　′＝－，故A错误；′＝′＝0，故B错误；(2x)′＝2xln2，故C错误；(lnx)′＝，故D正确．故选D. [答案]　D 2．(5分)一质点的运动方程为s＝cost，则t＝1时质点的瞬时速度为(　　) A．2cos1 B．－sin1 C．sin1 D．2sin1 [解析]　s′＝－sint，当t＝1时，s′|t＝1＝－sin1，所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin1. [答案]　B 3．(5分)已知曲线f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 [解析]　∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，切点有两个，即可得切线有两条．故选B. [答案]　B 4．(5分)已知f(x)＝xm(m∈Q，且m≠0)，若f′(－1)＝－2，则m＝(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 [解析]　因为f(x)＝xm，则f′(x)＝mxm－1，所以，f′(－1)＝m(－1)m－1＝－2，因为m∈Q，且m≠0，解得m＝2.故选A. [答案]　A 5．(6分)(多选)设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α可以是(　　) A．0 B. C. D.π [解析]　∵(sinx)′＝cosx，∴kl＝cosx，∵－1≤cosx≤1，∴切线l斜率的范围是[－1,1]，又∵α∈[0，π)，∴倾斜角α∈∪.故选ABD. [答案]　ABD 二、填空题 6．(5分)已知函数f(x)＝lnx，则曲线y＝f(x)在x＝e处的切线方程为________． [解析]　因为函数f(x)＝lnx，所以f′(x)＝，切点为(e，f(e))，即(e,1)，所以切线斜率k＝，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x. [答案]　y＝x 7．(5分)已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为________________． [解析]　∵f′(x)＝－sinx，g′(x)＝1，由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，则sinx＝1，解得x＝＋2kπ，k∈Z，∴其解集为. [答案]　 8．(5分)写出一个同时满足下列条件的函数f(x)＝________. ①当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；②f(x)是偶函数． [解析]　函数f(x)＝x2(x∈R)， ①当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝2x>0；②x∈R，f(－x)＝x2＝f(x)，所以f(x)＝x2是偶函数，函数f(x)＝x2(x∈R)同时满足条件． [答案]　f(x)＝x2(答案不唯一) 三、解答题 9．(10分)求下列函数的导数： (1)y＝x8； (2)y＝x； (3)y＝x； (4)y＝logx. [解]　(1)y′＝8x7. (2)y′＝xln＝－xln2. (3)∵y＝x＝x，∴y′＝x. (4)y′＝＝－. 10．(10分)(1)求曲线y＝ex在x＝2处的切线方程； (2)求曲线y＝ex过原点的切线方程． [解]　(1)y′＝ex，曲线y＝ex在x＝2处的切线的斜率为y′|x＝2＝e2，切点坐标为(2，e2)，故所求切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2. (2)设切点坐标为(x0，ex0)，在该点处的切线的斜率为y′|x＝x0＝ex0， 故切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)， 当切线过原点时，有0－ex0＝ex0·(0－x0)， 即ex0(x0－1)＝0， 解得x0＝1，所以切线斜率k＝e，切点(1，e)， 因此所求切线方程为y－e＝e(x－1)， 即y＝ex. 能力提升 11．(5分)如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　) A．－4 B．3 C．－2 D．1 [解析]　由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1. [答案]　D 12．(6分)(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝cosx B．y＝lnx C．y＝ex D．y＝x2 [解析]　由题意y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.对于选项A，因为f′(x)＝－sinx，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于选项B，因为f′(x)＝>0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于选项C，因为f′(x)＝ex>0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于选项D，因为f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1.故选AD. [答案]　AD 13．(5分)记f1(x)＝sinx，当n≥2时，fn(x)＝f′n－1(x)，则f2024(x)＝________. [解析]　因为f1(x)＝sinx，所以f2(x)＝f′1(x)＝cosx，f3(x)＝f′2(x)＝－sinx，f4(x)＝f′3(x)＝－cosx，f5(x)＝f′4(x)＝sinx，…，所以fn(x)是以4为周期的周期函数，因为2024＝4×505＋4，所以f2024(x)＝f4(x)＝－cosx. [答案]　－cosx 14．(10分)已知P为曲线y＝lnx上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，求PQ的最小值，并求出PQ最小时P点坐标． [解]　如图所示，当直线l与曲线y＝lnx相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值． 令y′＝＝1，解得x＝1，∴P(1,0)， ∴|PQ|min＝＝. 创新拓展 15．(13分)曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，那么曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率K＝，求曲线f(x)＝lnx在点(1,0)处的曲率． [解]　对函数f(x)＝lnx求导，得f′(x)＝，对f′(x)求导，得f″(x)＝－，∴曲线f(x)＝lnx在点(1,0)处的曲率为K＝＝＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 基本初等函数的导数 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)下列各式正确的有(　　) A.′＝ B.′＝－ C．(2x)′＝x·2x－1 D．(lnx)′＝ 2．(5分)一质点的运动方程为s＝cost，则t＝1时质点的瞬时速度为(　　) A．2cos1 B．－sin1 C．sin1 D．2sin1 3．(5分)已知曲线f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定 4．(5分)已知f(x)＝xm(m∈Q，且m≠0)，若f′(－1)＝－2，则m＝(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 5．(6分)(多选)设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α可以是(　　) A．0 B. C. D.π 二、填空题 6．(5分)已知函数f(x)＝lnx，则曲线y＝f(x)在x＝e处的切线方程为________． 7．(5分)已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为________________． 8．(5分)写出一个同时满足下列条件的函数f(x)＝________. ①当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；②f(x)是偶函数． 三、解答题 9．(10分)求下列函数的导数： (1)y＝x8； (2)y＝x； (3)y＝x； (4)y＝logx. 10．(10分)(1)求曲线y＝ex在x＝2处的切线方程； (2)求曲线y＝ex过原点的切线方程． 能力提升 11．(5分)如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　) A．－4 B．3 C．－2 D．1 12．(6分)(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝cosx B．y＝lnx C．y＝ex D．y＝x2 13．(5分)记f1(x)＝sinx，当n≥2时，fn(x)＝f′n－1(x)，则f2024(x)＝________. 14．(10分)已知P为曲线y＝lnx上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，求PQ的最小值，并求出PQ最小时P点坐标． 创新拓展 15．(13分)曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，那么曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率K＝，求曲线f(x)＝lnx在点(1,0)处的曲率． 学科网（北京）股份有限公司 $$