2024-2025学年高二数学人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用5.1.2导数的几何意义

导数的几何意义 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)如果曲线y＝f(x)上一点(1,3)处的切线过点(0,2)，则有(　　) A．f′(1)>0 B．f′(1)＝0 C．f′(1)<0 D．f′(1)不存在 [解析]　由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以k＝f′(1)＝＝1>0.故选A. [答案]　A 2．(5分)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　) A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 [解析]　由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，即k＝f′(x0)＝2>0.故选A. [答案]　A 3．(5分)若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 [解析]　设切点为(x0，y0)，因为f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.由题意，可知切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. [答案]　A 4．(5分)已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　) [解析]　由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负． [答案]　D 5．(6分)(多选)下列说法正确的是(　　) A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在 [解析]　k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，故A、C正确． [答案]　AC 二、填空题 6．(5分)函数y＝在x＝2处的导数为______． [解析]　∵Δy＝－＝－1＝－，∴＝－，∴y′|x＝2＝ ＝－ ＝－1. [答案]　－1 7．(5分)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)·f(4)＝________. [解析]　根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，因为k＝＝，所以f′(4)＝.又f(4)＝5，故f′(4)·f(4)＝×5＝. [答案]　 8．(5分)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为__________． [解析]　y′＝ ＝ (2x＋2＋Δx)＝2x＋2，又切线倾斜角θ∈，∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－. [答案]　 三、解答题 9．(10分)已知函数f(x)＝2x＋. (1)求函数f(x)在区间[3,4]上的平均变化率； (2)求函数f(x)的图象在点处的切线方程． [解]　(1)函数f(x)在区间[3,4]上的平均变化率为＝＝. (2)设函数f(x)的图象在点处的切线斜率为k， 则k＝f′＝ ＝ ＝－2. 又因为f＝3，所以切点为， 所以切线方程为y－3＝－2， 即2x＋y－4＝0. 10．(10分)若点P是抛物线y＝x2上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离． [解]　由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时， 点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2， 设y＝f(x)＝x2， 由导数的几何意义知y′＝f′(x) ＝ ＝2x＝1， 解得x＝，所以P， 故点P到直线y＝x－2的最小距离 d＝＝. 能力提升 11．(5分)若曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) [解析]　y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率k＝y′|x＝x0 ＝ ＝ ＝1－<1.即k<1. [答案]　C 12．(6分)(多选)已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在[a，b]上的平均变化率等于g(x)在[a，b]上的平均变化率 B．f(x)在[a，b]上的平均变化率小于g(x)在[a，b]上的平均变化率 C．对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 D．存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 [解析]　∵f(x)在[a，b]上的平均变化率是，g(x)在[a，b]上的平均变化率是，又f(b)＝g(b)，f(a)＝g(a)，∴＝，故A正确，B错误；易知函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x＝x0处的导数，即函数f(x)的图象在该点处的切线的斜率，同理可得，函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x＝x0处的导数，即函数g(x)的图象在该点处的切线的斜率，由题中图象可知，当x0∈(a，b)时，函数f(x)的图象在x＝x0处切线的斜率有可能大于g(x)的图象在x＝x0处切线的斜率，也有可能小于g(x)在x＝x0处切线的斜率，故C错误，D正确．故选AD. [答案]　AD 13．(5分) ＝2，f(3)＝3，f(x)在(3，f(3))处切线方程为________． [解析]　由已知， ＝2，f(3)＝3，令Δx＝x－2，∴＝－ ＝－f′(3)＝2，∴f′(3)＝－2，∴f(x)在(3，f(3))处切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0. [答案]　2x＋y－9＝0 14．(10分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值． [解]　因为f′(1)＝ ＝ ＝2a， 所以f′(1)＝2a，即切线的斜率k1＝2a. 因为g′(1)＝ ＝ ＝3＋b， 所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b. 因为在交点(1，c)处有公切线，所以2a＝3＋b. 又因为c＝a＋1，c＝1＋b， 所以a＋1＝1＋b，即a＝b， 由得 创新拓展 15．(13分)点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标． [解]　设P(x0，y0)，则y0＝x＋1， f′(x0)＝ ＝2x0， 所以在点P处的切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－x， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 由 得2x2＋2x0x＋2－x＝0， 则Δ＝4x－8(2－x)＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为或.5.2　导数的运算 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数的几何意义 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)如果曲线y＝f(x)上一点(1,3)处的切线过点(0,2)，则有(　　) A．f′(1)>0 B．f′(1)＝0 C．f′(1)<0 D．f′(1)不存在 2．(5分)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则(　　) A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 3．(5分)若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 4．(5分)已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　) 5．(6分)(多选)下列说法正确的是(　　) A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在 二、填空题 6．(5分)函数y＝在x＝2处的导数为______． 7．(5分)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)·f(4)＝________. 8．(5分)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为__________． 三、解答题 9．(10分)已知函数f(x)＝2x＋. (1)求函数f(x)在区间[3,4]上的平均变化率； (2)求函数f(x)的图象在点处的切线方程． 10．(10分)若点P是抛物线y＝x2上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离． 能力提升 11．(5分)若曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 12．(6分)(多选)已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在[a，b]上的平均变化率等于g(x)在[a，b]上的平均变化率 B．f(x)在[a，b]上的平均变化率小于g(x)在[a，b]上的平均变化率 C．对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 D．存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率 13．(5分) ＝2，f(3)＝3，f(x)在(3，f(3))处切线方程为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值． 创新拓展 15．(13分)点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$