2024-2025学年高二数学人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用5.1.1导数的概念

导数的概念 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)已知函数f(x)＝x2＋1，则 ＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 2．(5分)函数y＝f(x)＝从1到a的平均变化率为，则实数a的值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 3．(5分)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 4．(5分)降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气．在某室内，空气中微生物密度(c)与开窗通风换气时间(t)的关系如图所示．则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是(　　) A．[5,10] B．[5,15] C．[5,20] D．[5,35] 5．(6分)(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则 的值(　　) A．与x0有关 B．与h有关 C．与x0无关 D．与h无关 二、填空题 6．(5分)已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________. 7．(5分)函数y＝f(x)＝x2＋2c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为________． 8．(5分)已知y＝，则y′|x＝1＝________. 三、解答题 9．(10分)求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 10．(10分)一做直线运动的物体，其位移s m与时间t s的关系是s(t)＝3t－t2. (1)求t＝0到t＝2时的平均变化率并解释其意义； (2)求此物体在t＝2时的瞬时变化率并解释其意义． 能力提升 11．(5分)A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 12．(6分)(多选)对于函数f(x)，若f′(x0)＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有(　　) A. B. C. D. 13．(5分)如图，在平面直角坐标系Oxy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2处的瞬时变化率是________． 14．(10分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，求T′(5)并解释它的实际意义． 创新拓展 15．(13分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数的概念 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)已知函数f(x)＝x2＋1，则 ＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [解析]　因为f(x)＝x2＋1，所以 ＝ ＝ ＝8.故选D. [答案]　D 2．(5分)函数y＝f(x)＝从1到a的平均变化率为，则实数a的值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 [解析]　y＝f(x)＝从1到a的平均变化率为＝＝＝，解得a＝9.故选B. [答案]　B 3．(5分)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 [解析]　∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0， ∴f′(0)＝ ＝ ＝－1，故选C. [答案]　C 4．(5分)降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气．在某室内，空气中微生物密度(c)与开窗通风换气时间(t)的关系如图所示．则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是(　　) A．[5,10] B．[5,15] C．[5,20] D．[5,35] [解析]　如图，分别令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝35所对应的点为A，B，C，D，E，由图可知0>kAB>kAC>kAE>kAD，所以在[5,20]时间段内空气中微生物密度变化的平均速度最快，故选C. [答案]　C 5．(6分)(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则 的值(　　) A．与x0有关 B．与h有关 C．与x0无关 D．与h无关 [解析]　由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD. [答案]　AD 二、填空题 6．(5分)已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________. [解析]　由题知－8＝ ＝ (2Δx＋4x0)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9. [答案]　9 7．(5分)函数y＝f(x)＝x2＋2c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为________． [解析]　函数y＝f(x)＝x2＋2c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为＝＝＝4. [答案]　4 8．(5分)已知y＝，则y′|x＝1＝________. [解析]　由题意知，Δy＝－＝－，∴＝.∴y′|x＝1＝ ＝ ＝. [答案]　 三、解答题 9．(10分)求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数． [解]　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx， ∴＝＝2Δx＋16. ∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16. 10．(10分)一做直线运动的物体，其位移s m与时间t s的关系是s(t)＝3t－t2. (1)求t＝0到t＝2时的平均变化率并解释其意义； (2)求此物体在t＝2时的瞬时变化率并解释其意义． [解]　(1)＝＝＝1. 所以物体在t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s. (2) ＝ ＝－Δt－1， ＝ (－Δt－1)＝－1.所以物体在t＝2时的瞬时速度为－1 m/s.其含义是在第2秒附近，物体的速度每秒大约减少1 m/s. 能力提升 11．(5分)A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．两机关节能效果一样好 B．A机关比B机关节能效果好 C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 [解析]　由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好． [答案]　B 12．(6分)(多选)对于函数f(x)，若f′(x0)＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有(　　) A. B. C. D. [解析]　因为 ＝f′(x0)＝2，故A正确；因为 ＝f′(x0)＝1，故B错误；因为 ＝2f′(x0)＝4，故C错误；因为 ＝f′(x0)＝2，故D正确．故选AD. [答案]　AD 13．(5分)如图，在平面直角坐标系Oxy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2处的瞬时变化率是________． [解析]　由题可知，|AB|＝t，|OA|＝t， ∴S(t)＝|OA||AB|＝×t·t＝t2， ∴S′(2)＝ ＝ (Δt＋4)＝2. [答案]　2 14．(10分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，求T′(5)并解释它的实际意义． [解]　∵＝＝－，∴当Δt趋于0时，趋于－1.2，即T′(5)＝－1.2 ℃/min，它表示太阳落山后5 min时，蜥蜴的体温下降的速度为1.2 ℃/min. 创新拓展 15．(13分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，求的最小值． [解]　由导数的定义， 得f′(0)＝ ＝ ＝[a·(Δx)＋b]＝b>0. 又∴ac≥， ∴c>0. ∴＝≥≥＝2. 当且仅当a＝c＝时等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$