2024-2025学年高二数学人教A版选择性必修二第5章一元函数的导数及其应用5.1.1变化率的问题

变化率问题 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)对于函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋kΔx(k为常数)时，函数值的改变量Δy＝(　　) A．f(x0＋kΔx) B．f(x0)＋kΔx C．f(x0)·kΔx D．f(x0＋kΔx)－f(x0) 2．(5分)已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 3．(5分)已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k2<k1<k3 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 4．(5分)已知抛物线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．165° 5．(6分)(多选)已知函数y＝f(x)＝3x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为 ，则下列结论正确的是(　　) A.＝2＋Δx B.＝3(2＋Δx) C. ＝2 D. ＝6 二、填空题 6．(5分)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是____________． 7．(5分)已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________． 8．(5分)如图所示为物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是________． ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． 三、解答题 9．(10分)在受到制动后的t s内飞轮转过的角度(单位：rad)由函数φ(t)＝4t－0.3t2给出．求： (1)t＝2 s时，飞轮转过的角度； (2)飞轮停止旋转的时刻． 10．(10分)曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？ (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°. 能力提升 11．(5分)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 12．(6分)(多选)某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h) 近似满足函数关系：V(t)＝H3(H为常数)，其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(单位：m3/h)，t1，t2，t3，t4时刻的瞬时融化速度分别为v1，v2，v3，v4(单位：m3/h)，那么下列各式正确的是(　　) A．v1< B．v2> C．v3＋>0 D．v4＋<0 13．(5分)将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________． 14．(10分)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力．试用数学语言给出解释． 创新拓展 15．(13分)已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示． (1)甲、乙两人的平均速度各是多少？ (2)在接近终点时，甲、乙两人谁的速度更快？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 变化率问题 (时间：45分钟　满分：100分) 基础巩固 一、选择题 1．(5分)对于函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋kΔx(k为常数)时，函数值的改变量Δy＝(　　) A．f(x0＋kΔx) B．f(x0)＋kΔx C．f(x0)·kΔx D．f(x0＋kΔx)－f(x0) [解析]　Δy＝f(x0＋kΔx)－f(x0)．故选D. [答案]　D 2．(5分)已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 [解析]　k＝ ＝8. [答案]　C 3．(5分)已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k2<k1<k3 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 [解析]　k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，所以k1<k2<k3. [答案]　A 4．(5分)已知抛物线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．165° [解析]　k＝ ＝1，故切线的倾斜角为45°. [答案]　B 5．(6分)(多选)已知函数y＝f(x)＝3x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为 ，则下列结论正确的是(　　) A.＝2＋Δx B.＝3(2＋Δx) C. ＝2 D. ＝6 [解析]　＝＝3(2＋Δx)，故B正确． ＝ (6＋3Δx)＝6，故D正确． [答案]　BD 二、填空题 6．(5分)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是____________． [解析]　v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3. [答案]　3 7．(5分)已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________． [解析]　设f(x)＝－1，则f(2＋Δx)－f(2)＝－＝－＝，则＝＝，当Δx＝1时，割线AB的斜率k＝＝－. [答案]　－ 8．(5分)如图所示为物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是________． ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度； ③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． [解析]　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①②错误．在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为s2－s0>s1－s0>0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误． [答案]　③ 三、解答题 9．(10分)在受到制动后的t s内飞轮转过的角度(单位：rad)由函数φ(t)＝4t－0.3t2给出．求： (1)t＝2 s时，飞轮转过的角度； (2)飞轮停止旋转的时刻． [解]　(1)t＝2 s时，飞轮转过的角度φ(2)＝8－1.2＝6.8(rad)． (2)飞轮停止旋转时的瞬时角速度为 ＝ ＝ ＝ (4－0.3Δt－0.6t) ＝4－0.6t， 飞轮停止旋转时，瞬时角速度为0. 所以令4－0.6t＝0，得t＝，所以在t＝ s时飞轮停止旋转． 10．(10分)曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？ (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°. [解]　设P(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)＝x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为 k＝ ＝2x0. (1)∵切线与直线y＝4x－5平行， ∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4， 经检验，P(2,4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直， ∴2x0×＝－1，得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． (3)因为切线的倾斜角为135°， 所以其斜率为－1，即2x0＝－1， 得x0＝－，y0＝， 即P是满足条件的点． 能力提升 11．(5分)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 [解析]　由题意可知 k＝ ＝ (Δx＋a)＝1，解得a＝1，又(0，b)在切线上，∴b＝1. [答案]　A 12．(6分)(多选)某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h) 近似满足函数关系：V(t)＝H3(H为常数)，其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(单位：m3/h)，t1，t2，t3，t4时刻的瞬时融化速度分别为v1，v2，v3，v4(单位：m3/h)，那么下列各式正确的是(　　) A．v1< B．v2> C．v3＋>0 D．v4＋<0 [解析]　平均融化速度为＝，反映的是V(t)的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知t1，t2处瞬时速度(即切线的斜率)小于平均速度，t3，t4处瞬时速度及都小于0. [答案]　AD 13．(5分)将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________． [解析]　体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)，所以＝＝，所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)． [答案]　2 14．(10分)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力．试用数学语言给出解释． [解]　山路从A处到B处高度的平均变化率为＝＝， 山路从C处到D处高度的平均变化率为＝＝， 由>知，山路从C处到D处比从A处到B处陡峭． 故从A处到B处会感觉比较轻松，而从C处到D处会感觉比较吃力． 创新拓展 15．(13分)已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示． (1)甲、乙两人的平均速度各是多少？ (2)在接近终点时，甲、乙两人谁的速度更快？ [解]　(1)由题图可知，当t＝0时，甲、乙从起点出发，当t＝12 s时，甲、乙到达终点，且甲、乙两人跑100 m都用了12 s，即y总＝100 m，t总＝12 s， 所以甲＝乙＝＝＝(m/s)． (2)由题图可知在t＝12 s附近，乙跑的路程增量比甲多，所以乙的切线斜率大于甲的切线斜率，所以v甲<v乙，所以在接近终点时乙的速度更快． 学科网（北京）股份有限公司 $$