5.1.1变化率问题（教学课件）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

1 第五章《一元函数的导数及其应用》 人教A版2019选择性必修第二册 5.1.1变化率问题 1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． 学习目标 17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索和研究的基础上，凭借他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分。 环节一：创设情境，引入课题 为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数． 刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念． 在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑． 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关． 一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程； 二是求曲线的切线； 三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等，历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分． 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具． 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想．通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义． 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多． 进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？ 下面我们就来研究这个问题． 问题1 高台跳水运动员的速度 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity）． 瞬时速度：物体在某一时刻的速度 环节二：观察分析，感知概念 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想 －0.01 －4.951 0.01 －5.049 －0.001 －4.9951 0.001 －5.0049 －0.0001 －4.99951 0.0001 －5.00049 －0.00001 －4.999951 0.00001 －5.000049 －0.000001 －4.9999951 0.000001 －5.0000049 …… …… 我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）． 表5.1-1 环节三：抽象概括，形成概念 练习 第61页 问题2 抛物线的切线的斜率 探究 环节四：辨析理解，深化概念 O x y P0 P T 图5.1-1 1.曲线的切线是不是和曲线只有一个交点？ 2.和曲线只有一个交点的，是不是一定和曲线相切？ 不一定 O x y 环节五：课堂练习，巩固运用 －0.01 1.99 0.01 2.01 －0.001 1.999 0.001 2.001 －0.0001 1.9999 0.0001 2.0001 －0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 －0.000001 1.999999 0.000001 2.000001 … … … … 表5.1-2 P 相切 相交 1.函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率 3.求曲线上某点处的割线或切线的步骤： （1）求函数增量 (2)作比值 （3）求极限 环节六:归纳总结，反思提升 3.求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量Δs=s(t+Δt)－s(t) (2)求平均速度 （3）求极限 4.曲线在某点处的切线: ①与该点的位置有关. ②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如割线有极限位置,则在此点有切线,且切线是唯一的;如割线不存在极限位置,则曲线在此点处无切线. ③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个交点. 环节七：目标检测，作业布置 完成教材：教材第61页思考（2）、练习1，2教材第62页练习3教材第64页练习1,2 练习 第64页