2024-2025学年高二数学人教A版选择性必修二第4章和第5章 综合质量检测（一）

综合质量检测(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9等于(　　) A．－3 B．3 C．－4 D．4 2．已知函数f(x)＝x2＋3x＋1，则 ＝(　　) A．5 B． C．－5 D．－ 3．在数列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 4．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．a<0，b>0 B．a<0，c>0 C．a>0，b<0 D．a>0，c<0 5．已知函数f(x)＝x2－ax－xlnx，a∈R，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 6．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得(　　) A．78石 B．76石 C．75石 D．74石 7．函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的正数x都有2f(x)>xf′(x)成立，则(　　) A．9f(2)>4f(3) B．9f(2)<4f(3) C．9f(2)＝4f(3) D．9f(2)与4f(3)的大小不确定 8．满足下列两个条件的有穷数列a1，a2，…，an(n＝3,4，…)称为n阶“期待数列”，①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0；②|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝1.若2023阶“期待数列”{an}是递增的等差数列，则a2023＝(　　) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于y＝2x－1，则点P的坐标为(　　) A．(1,3) B．(－1,3) C．(－1，－3) D．(1，－3) 10．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A．a5＝－16 B．S5＝－31 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn＋1}是等比数列 11．下列不等式中恒成立的有(　　) A．ln(x＋1)≥，x>－1 B．lnx≤，x>0 C．ex≥x＋1 D．cosx≥1－x2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知an＝lg(n∈N*)，若数列{an}的前n项和Sn＝1，则n＝________. 13．若函数f(x)＝ax3－x2＋1存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是________． 14．已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足a1＝1，a2k＝4a2k－1，a2k＋1＝a2k(k∈N*)，则S21的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝3x2－9x＋5. (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)求函数f(x)的极值． 16．(本小题满分15分)已知各项均为正整数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≥2，在①S2＝4；②a3＋a5＝14；③Sn＝n2＋m(m为常数)这三个条件中选择其中一个作为已知条件，完成下列问题． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)nan，求{bn}的前2n项和T2n. 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0. 18．(本小题满分17分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1)，(2)，(3)，(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形． (1)求f(6)的值； (2)求出f(n)的表达式； (3)求证：当n≥2时，＋＋＋…＋<. 19．(本小题满分17分)设函数f(x)＝－klnx，k>0. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合质量检测(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9等于(　　) A．－3 B．3 C．－4 D．4 [解析]　∵a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，∴a5，a7是方程x2－4x＋3＝0的两个根，∴a5·a7＝3，由等比数列的性质可得a3·a9＝a5·a7＝3. [答案]　B 2．已知函数f(x)＝x2＋3x＋1，则 ＝(　　) A．5 B． C．－5 D．－ [解析]　∵f(x)＝x2＋3x＋1，∴f′(x)＝2x＋3， ∴ ＝ ＝f′(1)＝，故选B． [答案]　B 3．在数列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 [解析]　令m＝1，由am＋n＝am＋an可得an＋1＝a1＋an，所以an＋1－an＝3，所以{an}是首项为a1＝3，公差为3的等差数列，所以an＝3＋3(n－1)＝3n，所以a1＋a2＋a3＋…＋ak＝＝＝135，整理可得k2＋k－90＝0，解得k＝9或k＝－10(舍去)． [答案]　B 4．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．a<0，b>0 B．a<0，c>0 C．a>0，b<0 D．a>0，c<0 [解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，所以函数f′(x)的图象是开口向上的抛物线，且有两个零点x1，x2，x1＋x2<0，x1x2<0，所以所以所以A、B、C错误，D正确．故选D． [答案]　D 5．已知函数f(x)＝x2－ax－xlnx，a∈R，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) [解析]　因为f(x)＝x2－ax－xlnx(a∈R)，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝2x－a－lnx－1，依题意f′(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，即2x－a－lnx－1≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a≤2x－lnx－1在区间[1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝2x－lnx－1，x∈[1，＋∞)，则g′(x)＝2－＝>0，g(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)在x＝1处取得最小值，即g(x)min＝g(1)＝2×1－ln1－1＝1，所以a≤1.故选B． [答案]　B 6．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得(　　) A．78石 B．76石 C．75石 D．74石 [解析]　今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{an}，依次为a1，a2，a3，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d＝＝＝－18，则前3项和S3＝3a1＋×(－18)＝180，解得a1＝78.所以甲应该分得78石． [答案]　A 7．函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的正数x都有2f(x)>xf′(x)成立，则(　　) A．9f(2)>4f(3) B．9f(2)<4f(3) C．9f(2)＝4f(3) D．9f(2)与4f(3)的大小不确定 [解析]　由2f(x)>xf′(x)，得xf′(x)－2f(x)<0，设g(x)＝，则g′(x)＝＝，因为x是正数，所以x3>0，又xf′(x)－2f(x)<0，所以g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(2)>g(3)，即>，即9f(2)>4f(3)． [答案]　A 8．满足下列两个条件的有穷数列a1，a2，…，an(n＝3,4，…)称为n阶“期待数列”，①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0；②|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝1.若2023阶“期待数列”{an}是递增的等差数列，则a2023＝(　　) A． B． C． D． [解析]　设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝2023a1＋d＝0，即a1＋1011d＝0，即a1012＝0.由等差数列的性质，得＝＝…＝a1012＝0.∵数列{an}为递增数列，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2023|＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a1011＝－，即1011a1＋d＝－，将a1＋1011d＝0代入，解得d＝，∴a2023＝a1012＋(2023－1012)d＝0＋1011×＝.故选D． [答案]　D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于y＝2x－1，则点P的坐标为(　　) A．(1,3) B．(－1,3) C．(－1，－3) D．(1，－3) [解析]　因f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，故3x2－1＝2，解得x＝1或－1，所以P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上． [答案]　AB 10．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A．a5＝－16 B．S5＝－31 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn＋1}是等比数列 [解析]　因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；a5＝－1×24＝－16，故A正确；an＝－2n＋1，Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B正确；因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误．故选ABC． [答案]　ABC 11．下列不等式中恒成立的有(　　) A．ln(x＋1)≥，x>－1 B．lnx≤，x>0 C．ex≥x＋1 D．cosx≥1－x2 [解析]　A中，因为x>－1，令t＝x＋1>0，f(t)＝lnt＋－1，则f′(t)＝－＝，所以当t∈(0,1)时，f′(t)＝<0，f(t)单调递减；当t∈(1，＋∞)时，f′(t)＝>0，f(t)单调递增，所以f(t)min＝f(1)＝0，即f(t)＝lnt＋－1≥0，即lnt≥，即ln(x＋1)≥，x>－1恒成立，故正确；B中，令f(x)＝lnx－，x>0，则f′(x)＝－＝＝－≤0显然恒成立，所以f(x)＝lnx－在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，f(x)>f(1)＝0，即lnx>，故错误；C中，令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)＝ex－1>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x<0时，f′(x)＝ex－1<0，所以f(x)在(－∞，0)单调递减，则f(x)≥f(0)＝0，即ex≥x＋1恒成立，故正确；D中，令f(x)＝cosx－1＋x2，则f′(x)＝－sinx＋x，令h(x)＝f′(x)＝－sinx＋x，则h′(x)＝－cosx＋1≥0恒成立，即函数f′(x)＝－sinx＋x单调递增，又f′(0)＝0，所以当x>0时，f′(x)>0，f(x)＝cosx－1＋x2在(0，＋∞)上单调递增；当x<0时，f′(x)<0，f(x)＝cosx－1＋x2在(－∞，0)单调递减，所以f(x)min＝f(0)＝0，因此cosx≥1－x2恒成立，故正确． [答案]　ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知an＝lg(n∈N*)，若数列{an}的前n项和Sn＝1，则n＝________. [解析]　因为an＝lg，所以Sn＝lg＋lg＋…＋lg＝lg＝lg(n＋1)，又Sn＝1，即lg(n＋1)＝1，所以n＋1＝10，即n＝9. [答案]　9 13．若函数f(x)＝ax3－x2＋1存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是________． [解析]　当a＝0时，f(x)＝－x2＋1有两个零点，不符合题意；当a≠0时，f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. ①若a>0，则>0，令f′(x)>0，得x<0或x>；令f′(x)<0，得0<x<，则f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减；又f(－1)＝－a－<0，f(0)＝1，则此时f(x)在(－∞，0)上存在零点，不符合题意． ②若a<0，则<0，令f′(x)>0，得<x<0；令f′(x)<0，得x<或x>0，则f(x)在上单调递增，在，(0，＋∞)上单调递减．要使存在唯一的零点x0且x0>0，则满足f＝1－>0，解得a<－，综上，实数a的取值范围是. [答案]　 14．已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足a1＝1，a2k＝4a2k－1，a2k＋1＝a2k(k∈N*)，则S21的值为________． [解析]　数列{an}的前n项和是Sn，且满足a1＝1，a2k＝4a2k－1，a2k＋1＝a2k(k∈N*)，∴a2k＋1＝×4a2k－1＝2a2k－1，可得数列{a2k－1}为等比数列，且首项为1，公比为2.同理可得a2k＋2＝2a2k，又a2＝4a1＝4，可得数列{a2k}为等比数列，首项为4，公比为2.∴S21＝(a1＋a3＋…＋a21)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝＋＝2047＋4092＝6139. [答案]　6139 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝3x2－9x＋5. (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)求函数f(x)的极值． [解]　(1)f′(x)＝6x－9，令f′(x)＝6x－9<0，解得x<，故函数f(x)的单调递减区间是. (2)令f′(x)>0得x>， 故f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在x＝处取得极小值，f＝3×－9×＋5＝－，所以f(x)的极小值为－，无极大值． 16．(本小题满分15分)已知各项均为正整数的等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≥2，在①S2＝4；②a3＋a5＝14；③Sn＝n2＋m(m为常数)这三个条件中选择其中一个作为已知条件，完成下列问题． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)nan，求{bn}的前2n项和T2n. [解]　(1)选①：由a1＋a2＝4得2a1＋d＝4， 由d≥2，d∈N*得a1＝1，d＝2， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 选②：由a3＋a5＝14得2a1＋6d＝14， 由d≥2，d∈N*，得a1＝1，d＝2， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 选③：由Sn＝n2＋m得an＝Sn－Sn－1＝n2＋m－(n－1)2－m＝2n－1(n≥2)， 所以a2＝3，a3＝5. 又因为数列{an}是等差数列， 所以d＝2，a1＝1， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)因为bn＝(－1)nan， 所以T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝－a1＋a2－a3＋a4＋…－a2n－1＋a2n＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n－a2n－1)＝2＋2＋…＋2＝2n. 17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0. [解]　(1)f′(x)＝，f′(0)＝2. 因此曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是y－(－1)＝2(x－0)，即2x－y－1＝0. (2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 易得g′(x)在R上单调递增，且g′(－1)＝－2＋1＋e0＝0， 故当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(－1)＝0，因此f(x)＋e≥0. 18．(本小题满分17分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1)，(2)，(3)，(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形． (1)求f(6)的值； (2)求出f(n)的表达式； (3)求证：当n≥2时，＋＋＋…＋<. [解]　(1)根据题意，由题干中的图形可得f(1)＝1，f(2)＝1＋4＝5， f(3)＝1＋4＋8＝13，f(4)＝1＋4＋8＋12＝25， f(5)＝1＋4＋8＋12＋16＝41，f(6)＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61. (2)根据题意，f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …… 由此类推：f(n＋1)－f(n)＝4n. 则f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(3)－f(2)]＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝4(n－1)＋4(n－2)＋…＋4×2＋4×1＋1＝4×＋1＝2n2－2n＋1. (3)证明：由(2)的结论，f(n)＝2n2－2n＋1， 当n≥2时，＝＝， 则＋＋＋…＋＝1＋＝1＋＝－. 又由－<，故结论成立． 19．(本小题满分17分)设函数f(x)＝－klnx，k>0. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． [解]　(1)由f(x)＝－klnx(k>0)， 得x>0且f′(x)＝x－＝. 由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)． 当x变化时，f′(x)与f(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下： x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 单调递增 所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)． f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值． (2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝. 因为f(x)存在零点，所以≤0， 从而k≥e. 当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0， 所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点． 当k>e时，f(x)在区间(1，]上单调递减，且f(1)＝>0，f()＝<0， 所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$