2024-2025学年高二数学人教A版选择性必修第二册第4章和第5章 综合质量检测（二）

综合质量检测(二) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n，且数列的第k项满足5<ak<8，则k＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 [解析]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，又a1＝－8适合上式．∴an＝2n－10.∵5<ak<8，即5<2k－10<8，解得<k<9，又k∈N*，∴k＝8. [答案]　C 2．已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且f(x)＝f′(1)x3－3x2＋3，则f′(2)＝(　　) A．1 B．2 C．12 D．24 [解析]　由题设，得f′(x)＝3f′(1)x2－6x，故f′(1)＝3f′(1)－6，可得f′(1)＝3，所以f′(x)＝9x2－6x，故f′(2)＝9×4－6×2＝24，故选D． [答案]　D 3．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(　　) A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 [解析]　y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令y′＝0得x＝±1.当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，y′>0；当x∈(－1,1)时，y′<0，故y＝x3－3x＋c在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以y＝x3－3x＋c在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值．由函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点知，函数的极大值等于0或极小值等于0，即1－3＋c＝0或－1＋3＋c＝0，所以c＝2或c＝－2. [答案]　A 4．已知递增等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝15，且a1，a2，a3＋1成等比数列，则(　　) A．a1＝0，S10＝45 B．a1＝0，S10＝90 C．a1＝1，S10＝100 D．a1＝1，S10＝55 [解析]　因为{an}是递增等差数列，S5＝15，所以5a1＋d＝15，即a1＋2d＝3　①，由a1，a2，a3＋1成等比数列，得(a1＋d)2＝a1(a1＋2d＋1)，整理得a＋2a1d＋d2＝a＋2a1d＋a1，即d2＝a1　②，①②联立求得或(舍去)，所以S10＝10×1＋＝55.故选D． [答案]　D 5．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递减区间为(　　) A．(－∞，1)和 B． C．(0,4) D．(0,1)和(4，＋∞) [解析]　g′(x)＝＝，令g′(x)<0，即f′(x)－f(x)<0，由图可得x∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数g(x)的单调递减区间(0,1)和(4，＋∞)，故选D． [答案]　D 6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长，甲头、士兵共有(　　) A．(87－8)人 B．(89－8)人 C．人 D．人 [解析]　由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵的数量依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝8＋(89－84)(人)． [答案]　D 7．若0<x<，则2x与3sinx的大小关系为(　　) A．2x>3sinx B．2x<3sinx C．2x＝3sinx D．与x的取值有关 [解析]　令f(x)＝2x－3sinx，则f′(x)＝2－3cosx.当cosx<时，f′(x)>0，当cosx＝时，f′(x)＝0，当cosx>时，f′(x)<0.即当x∈时，f(x)先递减再递增，而f(0)＝0，f＝π－3>0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与3sinx的大小关系与x取值有关．故选D． [答案]　D 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－16n，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|等于(　　) A．－55 B．0 C．55 D．73 [解析]　∵Sn＝n2－16n，∴当n＝1时，a1＝－15，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－16n－[(n－1)2－16(n－1)]＝2n－17，令an≤0，解得n≤8，令Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|＝－a1－a2－a3－…－a8＋a9＋a10＋a11＝15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＋3＋5＝73. [答案]　D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12>0，S13<0，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．S5＝60 C．－<d<－3 D．S1，S2，…，S12中最大的是S6 [解析]　∵a3＝a1＋2d＝12，∴a1＝12－2d， ∴ 解得－<d<－3，∴数列{an}是递减数列，∴A不正确，C正确．∵S5＝＝5a3＝5×12＝60，∴B正确． 由得a6>0，a7<0，∴S1，S2，…，S12中最大的是S6，∴D正确． [答案]　BCD 10．对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是(　　) A．x＝3是函数f(x)的一个极值点 B．f(x)的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞) C．f(x)在区间(1,2)上单调递减 D．直线y＝16ln3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点 [解析]　由题意得f′(x)＝＋2x－10＝，x>－1，令2x2－8x＋6＝0，解得x＝1或x＝3，由f′(x)>0，得－1<x<1或x>3，由f′(x)<0，得1<x<3，则f(x)在(－1,1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，∴x＝3是函数f(x)的一个极值点，故A、C正确，B错误；∵f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln4－21，又y＝16ln3－16＝f(2)，根据f(x)在(1,3)上单调递减得f(1)>f(2)>f(3)，即16ln3－16<16ln2－9,16ln3－16>16ln4－21，又当x→－1时，f(x)→－∞，x→＋∞时，f(x)→＋∞，∴直线y＝16ln3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点，故D正确． [答案]　ACD 11．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．如图所示的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)．记an为第n(n∈N*)个图形的边长，bn为第n个图形的周长，Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是(　　) A．bn＝3n－1 B．Sn＝－ C．若bn，bm为{bn}中的不同两项，且bn·bm＝b2·b4，则＋的最小值是1 D．若λ≤2Sn－≤μ恒成立，则μ－λ的最小值为 [解析]　由题意可知，下一个图形的边长是上一个图形边长的，边数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为bn＝×4bn－1＝bn－1(n≥2)，所以数列{bn}是公比为，首项为3的等比数列，所以bn＝3n－1，所以A正确；由题意可知，从第2个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，所以数列{an}是1为首项，为公比的等比数列，所以Sn＝＝＝－，所以B错误；由bn＝3n－1，bn·bm＝b2·b4，得3·n－1·3·m－1＝3·2－1·3·4－1，所以n＋m－2＝4，所以n＋m＝6.因为m，n∈N*，m≠n，所以当n＝1时，m＝5，则＋＝＋＝；当n＝2时，m＝4，则＋＝＋＝；当n＝4时，m＝2，则＋＝＋＝＋＝1；当n＝5时，m＝1，则＋＝＋＝，所以＋的最小值是1，所以C正确；因为Sn＝－＝在n∈N*时递增，所以≤Sn<，即1≤Sn<.令y＝2Sn－，则y＝2Sn－在Sn∈时递增，所以2×1－1≤y<2×－，即1≤y<，即1≤2Sn－<.因为λ≤2Sn－≤μ恒成立，所以μ－λ的最小值为－1＝，所以D正确． [答案]　ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在数列{an}中，已知a1＝2，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N*)，记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2023，则n的值为________． [解析]　由anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N*)及a1＝2，得a2＝，a3＝，a4＝，…，猜想an＝.经检验an＝符合题意．数列{an}的前n项之积为Tn＝×××…×＝n＋1.∴当Tn＝2023时，n的值为2022. [答案]　2022 13．已知函数f(x)＝－ax，x∈(0，＋∞)，当x2>x1时，不等式<恒成立，则实数a的取值范围为________． [解析]　因为当x2>x1>0时，不等式<恒成立，所以x2f(x2)>x1f(x1)，所以g(x)＝xf(x)＝ex－ax2在(0，＋∞)上是增函数，则g′(x)＝ex－2ax≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤在(0，＋∞)上恒成立．令h(x)＝(x>0)，则h′(x)＝，当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝，所以a≤，故实数a的取值范围为. [答案]　 14．已知f(x)＝x2＋bx＋c有极小值点－1，设bn＝，若对于任意的n∈N*，都有bn≥b4成立，则实数c的取值范围是________． [解析]　因为f(x)＝x2＋bx＋c有极小值点－1，所以－＝－1，解得b＝2(经检验符合)，即bn＝＝n＋＋2，令g(x)＝x＋＋2(x≥1)，则g′(x)＝1－＝，当c≤1时，g′(x)≥0，g(x)在[1，＋∞)上单调递增，此时{bn}是递增数列，不满足题意，故c>1.当1<x<时，g′(x)<0，当x>时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，即数列{bn}先减后增，因为对于任意的n∈N*，都有bn≥b4成立，所以只需b3≥b4且b4≤b5，即解得12≤c≤20. [答案]　[12,20] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)在①a2＋a3＝24，S5－S2＝63，②a2＝9，S4＝48，③a1＝3，an＋1－an＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且________． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)选条件①. 设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a3＝24，S5－S2＝63， 所以 即解得 所以an＝6n－3. 选条件②. 设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝9，S4＝48， 所以解得 所以an＝6n－3. 选条件③. 设等差数列{an}的公差为d，所以an＋1－an＝d. 因为a1＝3，an＋1－an＝， 所以d＝，d>0， 解得d＝6. 所以an＝6n－3. (2)因为bn＝ ＝， 所以Tn＝× ＝＝. 16．(本小题满分15分)设函数f(x)＝x3－x2－mx. (1)若f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求m的取值范围； (2)若x＝－1是函数的极值点，求函数f(x)在[0,5]上的最小值． [解]　(1)f′(x)＝x2－2x－m， 由题意可知，f′(x)＝x2－2x－m<0在(0，＋∞)上有解， 所以存在x∈(0，＋∞)，使得m>x2－2x， 因为y＝x2－2x的最小值为12－2×1＝－1， 则m>－1，即m的取值范围为(－1，＋∞)． (2)因为f′(－1)＝1＋2－m＝0， 所以m＝3. 所以f′(x)＝x2－2x－3， 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3. 所以当x∈[0,3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(3,5]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 所以函数f(x)在[0,5]上的最小值为f(3)＝9－9－9＝－9. 17．(本小题满分15分)经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2023年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足p＝3－(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10＋2p万元(不含促销费用)，每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． (1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． [解]　(1)由题意知，y＝p－x－(10＋2p)， 将p＝3－代入化简得：y＝16－－x(0≤x≤a)． (2)y′＝－1－＝ ＝－＝－， (ⅰ)当a≥1时， ①当x∈(0,1)时，y′>0， 所以函数y＝16－－x在(0,1)上单调递增， ②当x∈(1，a)时，y′<0， 所以函数y＝16－－x在(1，a)上单调递减， 从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大． (ⅱ)当0<a<1时，因为函数y＝16－－x在(0,1)上单调递增， 所以在[0，a]上单调递增，故当x＝a时，函数有最大值， 即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大． 综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16－－1＝13万元； 当a<1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为16－－a万元． 18．(本小题满分17分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝3n·(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)由an＋1＝2an＋1， 可得an＋1＋1＝2(an＋1)． ∵a1＋1＝2≠0， ∴{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． ∴an＋1＝2×2n－1＝2n， ∴an＝2n－1. (2)由(1)知bn＝3n·2n， ∴Tn＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n， ∴2Tn＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3(n－1)·2n＋3n·2n＋1， ∴－Tn＝3×(21＋22＋23＋…＋2n)－3n·2n＋1＝3×－3n·2n＋1＝(3－3n)2n＋1－6. ∴Tn＝(3n－3)·2n＋1＋6. 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝alnx＋(x>0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若存在x1，x2满足0<x1<x2，且x1＋x2＝1，f(x1)＝f(x2)，求实数a的取值范围． [解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝. 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a>0时，令f′(x)<0，得0<x<，令f′(x)>0，得x>， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． (2)由f(x1)＝f(x2)，得alnx1＋＝alnx2＋，即aln＋－＝0， 又x1＋x2＝1，则aln＋－＝0，即aln＋－＝0. 令t＝>1，即方程alnt＋－t＝0在(1，＋∞)上有解． 令h(t)＝alnt＋－t，t∈(1，＋∞)， 则h′(t)＝＝， t∈(1，＋∞)． t＋>2， 当a≤2时，h′(t)<0，h(t)在(1，＋∞)上单调递减， 又h(1)＝0，则h(t)<0在t∈(1，＋∞)上恒成立，不合题意； 当a>2时，a2－4>0，令－t2＋at－1＝0，可知该方程有两个正根， 因为方程两根之积为1且t>1， 所以t＝. 当t∈时，h′(t)>0， 当t∈时，h′(t)<0； 则t∈时，h(t)>h(1)＝0， 而h(ea)＝a2＋－ea<a2＋1－ea(a>2)． 令φ(x)＝x2＋1－ex(x>2)，则φ′(x)＝2x－ex， 令m(x)＝φ′(x)，m′(x)＝2－ex<0， 则φ′(x)在(2，＋∞)上单调递减， φ′(x)<φ′(2)＝4－e2<0， 则φ(x)在(2，＋∞)上单调递减， φ(x)<φ(2)＝5－e2<0，即h(ea)<0， 故存在t0∈，使得h(t0)＝0， 故a>2满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是(2，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合质量检测(二) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n，且数列的第k项满足5<ak<8，则k＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且f(x)＝f′(1)x3－3x2＋3，则f′(2)＝(　　) A．1 B．2 C．12 D．24 3．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(　　) A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1 4．已知递增等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝15，且a1，a2，a3＋1成等比数列，则(　　) A．a1＝0，S10＝45 B．a1＝0，S10＝90 C．a1＝1，S10＝100 D．a1＝1，S10＝55 5．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递减区间为(　　) A．(－∞，1)和 B． C．(0,4) D．(0,1)和(4，＋∞) 6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长，甲头、士兵共有(　　) A．(87－8)人 B．(89－8)人 C．人 D．人 7．若0<x<，则2x与3sinx的大小关系为(　　) A．2x>3sinx B．2x<3sinx C．2x＝3sinx D．与x的取值有关 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－16n，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a11|等于(　　) A．－55 B．0 C．55 D．73 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12>0，S13<0，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．S5＝60 C．－<d<－3 D．S1，S2，…，S12中最大的是S6 10．对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是(　　) A．x＝3是函数f(x)的一个极值点 B．f(x)的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞) C．f(x)在区间(1,2)上单调递减 D．直线y＝16ln3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点 11．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．如图所示的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)．记an为第n(n∈N*)个图形的边长，bn为第n个图形的周长，Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是(　　) A．bn＝3n－1 B．Sn＝－ C．若bn，bm为{bn}中的不同两项，且bn·bm＝b2·b4，则＋的最小值是1 D．若λ≤2Sn－≤μ恒成立，则μ－λ的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在数列{an}中，已知a1＝2，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N*)，记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2023，则n的值为________． 13．已知函数f(x)＝－ax，x∈(0，＋∞)，当x2>x1时，不等式<恒成立，则实数a的取值范围为________． 14．已知f(x)＝x2＋bx＋c有极小值点－1，设bn＝，若对于任意的n∈N*，都有bn≥b4成立，则实数c的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)在①a2＋a3＝24，S5－S2＝63，②a2＝9，S4＝48，③a1＝3，an＋1－an＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且________． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 16．(本小题满分15分)设函数f(x)＝x3－x2－mx. (1)若f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求m的取值范围； (2)若x＝－1是函数的极值点，求函数f(x)在[0,5]上的最小值． 17．(本小题满分15分)经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2023年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足p＝3－(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10＋2p万元(不含促销费用)，每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． (1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值． 18．(本小题满分17分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝3n·(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝alnx＋(x>0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若存在x1，x2满足0<x1<x2，且x1＋x2＝1，f(x1)＝f(x2)，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$