专项17 质数和合数问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——质数与合数问题 9种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 质数：一个数除了1和它本身之外，没有其他因数，这个数叫做质数，也称为素数。 合数：一个数除了1和它本身之外，还有其他因数，这个数叫做合数。 质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数：将一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法进行分解。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式：N=a₁×a₂ ×a₃×…×aₓ，其中a₁、a₂、a₃、…aₓ都是合数N的质因数，且a₁＜a₂＜a₃＜…＜aₓ。 特殊的质数：2是质数中唯一的偶质数，其余质数为奇质数。 【质数、合数的判定】 判断数103和437是质数还是合数？ 【思路点拨】判断一个不大的数是质数还是合数,可用以下方法:找到一个k(k为整数), 使得:被判断的数a＜k2(k尽可能小)。然后用以内的质数去除a,有能整除的,是合数,反之,a是质数。 【详解】 （1）103＜112,用2,3,5,7去除103,都不能整除,所以,103是质数； （2）437＜212,用2,3,5,7,11,13,17,19分别去除437,发现437÷19=23,所以437是合数。 1. 判断数4444445111111是质数还是合数？ 2. 判定250+1和 250-1是质数还是合数。 【奇偶性应用】 两个质数的和是39,求这两个质数的积。 【思路点拨】根据它们的和是39为奇数，则两个质数中一定有一个是偶数，质数中偶数只有2，另一个质数为39－2=37； 2×37=74； 故这两个质数的积是74． 故答案为：74 【点睛】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；根据它们的和是39为奇数，则两个质数中一定有一个是偶数，质数中偶数只有2，然后确定另一个质数，进行求积即可。 1.有两个质数，它们的和与差也都是质数，求这两个质数。 2. 两个质数的和是1979,这两个质数的积是 。 【和的最值问题】 将1～9九个自然数分成三组,每组三个数。第一组三个数之积是48,第二组三个数之积是45,第三组三个数之和最大是多少? 【思路点拨】先把48分成三个因数相乘的形式，再根据剩余数字写出第三组即可解答。 【详解】 48=6×2×4=8×2×3 45=1×9×5 所以另外一组数是3、7、8或4、6、7， 所以第三组三个数之和最大是3+7+8=18； 故答案为：18。 【点睛】各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的，解决最值问题还要用到均值不等式，即 (1)如果两个整数的和一定时，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大 (2)两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。 (3)把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。 1.将四个不同的合数分成两组，要求每组的两个合数之和都相等，而且每组的两个合数互质。这四个合数之和最小可以是多少? 2.两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小? 【积的最值问题】 三个质数之和为32,求这三个质数积的最大值 【思路点拨】（和定差小积大原理） 因为32是偶数，所以这三个质数中必有一个是2，30分成两个质数的和可以是：7和23，11和19，13和17；接下来分别计算2×7×23、2×11×19、2×13×17的积，再判断即可。 【详解】因为32是偶数，所以这三个质数中必有一个是2，30分成两个质数的和可以是：7和23，11和19，13和17。（其中13和17的差最小，所13×17的积最大） 2×7×23=322 2×11×19=418 2×13×17=442 所以积最大值是442。 【点睛】各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的，解决最值问题还要用到均值不等式，即 (1)如果两个整数的和一定时，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大 (2)两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。 (3)把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。 1.把33拆成若干个不同质数之和,如果要使这些质数的积最大,这几个质数分别是多少? 2.把17分成几个自然数的和，“怎样分才能使它们的乘积最大? 【列举法求质数】 A、B、C为三个小于20的质数,A+B+C=30,且A＜B＜C,求这三个质数。 【思路点拨】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。小于20的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，据此即可找出符合条件的三个质数． 【详解】 解：列举出小于20的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19， 其中2+11+17=30，2＜11＜17， 所以这三个质数是2、11、和17． 答：这三个质数是2、11、17。 1.A，B，C为三个质数，A+B=16，B+C=24,且A＜B＜C,求这三个质数。 2.一个两位质数，交换个位和十位上的数字后所得的两位数是另一个质数，写出所有这样的两位数。 【逻辑推理法】 有7张卡片,上面分别写着1～7七个数字。明明、芳芳和亮亮每人拿了2张。 明明说:“我的两张数字之和是7。 芳芳说:“我的两张数字之差是1。3 亮亮说:“我的两张数字之积是12。 那么,剩下的一张上面写的数字是几? 【思路点拨】 逻辑推理： 明明说：“我的两张数字之和是7．” 芳芳说：“我的两张数字之差是1．” 亮亮说：“我的两张数字之积是12．” 因为1到7的7个数字中两个数字之和是7的有1+6=7，2+5=7，3+4=7； 而相差是1的有2-1=1，3-2=1，4-3=1，5-4=1，6-5=1，7-6=1； 乘积是12的有2×6=12，3×4=12 上述条件都满足时只能选：3×4=12，2+5=7，7-6=1 据此解答即可． 【详解】 解：根据 明明说：“我的两张数字之和是7．” 芳芳说：“我的两张数字之差是1．” 亮亮说：“我的两张数字之积是12．” 可知：明明2+5=7，芳芳7-6=1，亮亮3×4=12，剩下就是1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了逻辑推理，此题应结合题意进行分析，并进行验证，从而得出答案。 有九张卡片，上面分别写着1～9九个数字。甲、乙丙、丁四人每人拿了两张。 甲说:“我的两张数字之和是9。 乙说:“我的两张数字之差是6。” 丙说:“我的两张数字之积是12。” 工说:“我的两张数字之商是3。”那么,剩下的一张上面写的数字是几? 【数列分组法】 把40，44，45，63，65，78,99，105这八个数平分成两组,使每组四个数的乘积相等。 【思路点拨】分解公因式，把大数字化成质因数，问题就容易看出了 【详解】 40可以拆分为2×2×2×5， 44可拆分为2×2×11， 45可拆分为3×3×5， 63可拆分为3×3×7， 65可拆分为5×13， 78可拆分为2×3×13， 99可拆分为3×3×11， 105可拆分为3×5×7， 这样就明确了，把两个7两个11两个13分开，6个2一边三个、4个5分开 第一组：2×2×2×5、3×3×11、5×13、3×3×7； 第二组：2×2×11、2×3×13、3×3×5、3×5×7； 即第一组为40、99、65、63； 第二组为44、78、45、105． 1.把39,45,49,56,60,70,78,84,91九个数分成三组，使每组中三个数的乘积都相等。 2. 有12、18、33、36、56、77六个数,把它们平均分成两组,如果要使每组三个数的乘积相等,这两组数分别是 和 。 【分解质因数法】 三个自然数的乘积为84,其中两个数的和等于另一个数。求这三个数。 【思路点拨】 84=2×2×3×7=4×3×7 因为4+3=7，所以这三个数是4，3，7 答:这三个数是4，3，7 1.两个连续奇数的乘积是111555,这两个奇数之和是多少? 2.46305乘以一个自然数a,乘积是一个整数的平方。求最小的a和这个整数。 3.甲数比乙数大5,乙数比丙数也大5,三个数的乘积是6384,求这三个数。 【积尾数0的个数】 在1×2×3×4×…×199×200这个乘积中尾部共有个连续的“0”。 【思路点拨】 因为2和5相乘，就会在积的末尾得到一个0。要看这个算式的末尾有多少个连续的0,只要看一下各因数中含有的质因数2和5分别有多少个。在1～200的连续自然数中，质因数2的个数比5的个数多,积的末尾0的个数取决于质因数5的个数。 【详解】 在1～200中,5的倍数中共有200÷5=40(个)。 但值得注意的是 25、50、75、100、150、175、200中含有2个5,125中含有3个5,这些都必须加以考虑。而在1～200中,25的倍数共有200÷52=8(个),125的倍数共有 200÷53≈1(个)。 在1～200的连续自然数中,质因数5的个数共有: 200÷5+200÷52+200÷53 ≈4+8+1 =49(个) 所以1×2×3×…×199×200 这个乘积中尾部共有49个连续的“0” 【特别提醒】一个算式中质因数2的个数与5的个数相比,其中个数较少的质因数的个数就等于这个算式末尾连续0的个数。 1.1×2×3×…×25所得积的末尾有 个连续的数字“0”。 A.6 B.8个 C10个 D.12个 2.在1×2×3×…×1999×2000的乘积中尾部有多少个连续的“0”? 满分：100分 时间：60分钟 1.两个大于10的合数的和是31,求这两个数。 2. 已知a,b,c都是质数,若a×b+b×c=119,则a+b+c= 。 3.下图所示，有一个长方体，正面和上面的两个面的面积和为209平方厘米，且长、宽、高都是质数，求它的体积。 4.写出10个连续的自然数,它们个个都是合数。 5.可以分解为三个质数之积的最小的三位数是几? 6.用2,3,5,7四个数进行四则运算,每个数只能用一次,能够得到的最大质数是几? 7.“任何不小于4的偶数都可以表示为两个质数之和”,这就是著名的哥德巴赫猜想。例如8=3+5,但是8只有这一种表示形式,而22却有3+19和5+17两种表示成两个不同质数之和的形式。那么，能有两种表示成不同质数之和形式的最小自然数是几? 8.除以9余2,并且与4和6的差都是质数的两位自然数有哪几个? 9.将八个不同的合数填入下式的口中，如果要求相加的两个合数互质,那么A最小是几? A =□+□=□+□=□+□=囗+囗。 10.求不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数。 11.有一类多位数，各个数位上的数字都不相同，且相邻两个数位上的数字之和都是质数。这类多位数中最大的是几? 12.有1,2,3,4,5,6,7,8,9九张牌,甲、乙、丙各拿了三张。甲说:“我的三张牌的积是48。”乙说:“我的三张牌的和是15。”丙说:“ 我的三张牌的积是 63。 问:他们各拿了哪三张牌? 13.甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪,三人各自中靶的环数之积都是60，按个人中靶的总环数由高到低排，依次是甲、乙、丙。靶子上4环的那一枪是谁打的?(环数是不超过10的自然数) 14.1×2×3×…×10=6n×M,其中n，M都是自然数，求n的最大值。 15.有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数,它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。 16.李老师带领同学们去种树，学生们按人数恰好等分成三组。已知他们共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。问:一共有多少个学生?每人种了几棵树? 【巩固提升】参考答案 1. 判断数4444445111111是质数还是合数？ 【思路点拨】如果能找到除了1和本身外，还有其它的因数，就证明这个数是合数，反之就是质数。 【详解】 4444445111111=4444444000000+1111111 =4×1111111000000+111111 =1111111×（4000000+1) =1111111×4000001 所以4444445111111是合数。 2. 判定250+1和 250-1是质数还是合数。 【详解】(1)先观察规律: 2n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 … 个位数字 2 4 8 6 2 4 8 6 2 … 2n的个位数字是不断重复出现的,每乘4个2重复一次。50÷4=12……2,所以250的个位数字为4,250+1的个位数字为5,可得5(250+1)是5的倍数,所以250+1是合数。 (2)观察: 2n 21 22 23 24 25 26 … 2n÷3的余数 2 1 2 1 2 1 … 250÷3的余数是1,(250-1)就能被3整除,所以250-1也是合数。 1.有两个质数，它们的和与差也都是质数，求这两个质数。 【思路点拨】两个质数，首先考虑他们的奇偶性不同，一奇一偶，它们的和与它们的差也都是质数，这两个数分别是2和5，2+5=7，5-2=3，7和3也都是质数，得到两个数分别是：2和5 【详解】 小于100的质数列举：2，3，5，7，11，13，……，97。 两个奇质数相减为偶数，不是质数，所以两质数中必有偶质数2。 验证2与其他质数： 2+5=7（质数）, 5-2=3（质数） 答：这两个质数是2和5。 2. 两个质数的和是1979,这两个质数的积是 。 【思路点拨】因为两个质数的和是奇数，其中必有一个是偶数，而偶数中只有2是质数，这两个质数是2和1977；由此解答． 【详解】 解：这两个质数是2和1977； 2×1977=3954； 故答案为：3954． 【点睛】此题主要考查质数的意义，根据偶数+奇数=奇数，明确在质数中只有2是偶数。 1.将四个不同的合数分成两组，要求每组的两个合数之和都相等，而且每组的两个合数互质。这四个合数之和最小可以是多少? 【思路点拨】 每组的两个合数互质，所以两个合数一个为偶数一个为奇数；又要求四个合数之和最小，所以数尽量小；每组的两个合数之和都相等，所以这四个合数为4、15和9、10，再求和即可。 【详解】 解：要求四个合数之和最小，所以数尽量小； 每组的两个合数互质，所以两个合数一个为偶数一个为奇数； 再根据每组的两个合数之和都相等，可得这四个合数为4、15和9、10， 4+15+9+10=38， 故答案为：38． 【点睛】 本题主要考查了最大与最小问题，还用到合数与互质的知识。 2.两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小? 【思路点拨】两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。 【详解】 解:448的因数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况: 48=1×48，1+48=49，48=2×24，2+24=26 48=3×16，3+16=19; 48=4×12，4+12=16; 48=6×8，6+8=14。 两个因数之和最小的是6+8=14。 1.把33拆成若干个不同质数之和,如果要使这些质数的积最大,这几个质数分别是多少? 【思路点拨】我们首先将小于33的质数，由小到大排列出来，然后确定能拆成不同质数个数的范围，再依照被拆出的质数从小到大依次调整得出尽量多的个数，即可得出答案。 【详解】小于33的质数由小到大排列：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31（共11个）。 由于2+3+5+7+11＜33，而2+3+5+7+11+13＞37，因此最多拆成5个不同质数之和。但由于33是奇数，拆除的5个不同质数中不能有偶质数2，否则其余4个奇质数之和为偶数，这5个质数和为偶数，不可能等于奇数33，而3+5+7+11+13=39＞33．因此最多拆成4个不同质数之和，为此，要使这些质数的积最大，必须拆出的质数尽量大。 因为，2+3+5+7+11=28，比33差：33-28=5；又因为在2+3+5+7+11中3+5=8，正好与相差的5组成8+5=13， 所以33分解为：2，7，11，13时所得质数乘积最大． 答：这几个质数分别是2、7、11、13。 2.把17分成几个自然数的和，“怎样分才能使它们的乘积最大? 【思路点拨】假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2X2，所以可以将4分成两个2。 由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。 【详解】将17分为五个3与一个2时乘积最大，为3×3×3×3×3×2=486。 【点睛】把一个数拆分成若干个自然数之和如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。 1.A，B，C为三个质数，A+B=16，B+C=24,且A＜B＜C,求这三个质数。 【思路点拨】 3+13=16，或5+11=16， A=3，B=13，C=24-13=11，不合题意； A=5，B=11，C=24-11=13，符合题意； 所以，A=5、B=11、C=13． 2.一个两位质数，交换个位和十位上的数字后所得的两位数是另一个质数，写出所有这样的两位数。 【思路点拨】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数．由此可知，两位数中符合条件的数除了11外，还有很多，然后列举出即可． 【详解】 这样的数有11、13、31、17、71、37、73、79、97． 【点睛】根据质数的意义进行分析解答是完成本题的关键，完成本题要注意将这个两个数的数字倒换之后，分解下质因数看是否是质数． 有九张卡片，上面分别写着1～9九个数字。甲、乙丙、丁四人每人拿了两张。 甲说:“我的两张数字之和是9。 乙说:“我的两张数字之差是6。” 丙说:“我的两张数字之积是12。” 工说:“我的两张数字之商是3。”那么,剩下的一张上面写的数字是几? 【思路点拨】9张数字按题所说组合有：甲：1+8、2+7，3+6，4+5；乙：7﹣1、8﹣2、9﹣3、；丙：2×6，3×4；丁：3÷1、6÷2、9÷3；我们从最少数字的丙看起假设用当丙为2、6时，那么把其他里数字能用2和6的去除，甲剩下1+8、4+5；乙剩下7﹣1、9﹣3；丁剩下3÷1、9÷3；再假设丁为3、1，则乙就没有符合的两个数了，所以丁只能是9、3，那么乙就是7、1，甲就是4和5了，即可得出剩下的一张上面写的数字是8。 【解答】9张数字按题所说组合有： 甲：1+8、2+7，3+6，4+5； 乙：7﹣1、8﹣2、9﹣3、； 丙：2×6，3×4； 丁：3÷1、6÷2、9÷3； 我们从最少数字的丙看起假设用当丙为2、6时，那么把其他里数字能用2和6的去除， 甲剩下1+8、4+5； 乙剩下7﹣1、9﹣3； 丁剩下3÷1、9÷3； 再假设丁为3、1，则乙就没有符合的两个数了，所以丁只能是9、3， 那么乙就是7、1， 甲就是4和5了，即可得出剩下的一张上面写的数字是8． 故答案为：8。 1.把39,45,49,56,60,70,78,84,91九个数分成三组，使每组中三个数的乘积都相等。 【思路点拨】首先把每个数分解 39 45 49 56 60 70 78 84 91 (3×13)、(3×3×5)、(7×7)、(2×2×2×7)、(2×2×3×5)、(2×5×7)、(2×3×13)、(2×2×3×7)、(7×13)。 可以看到一共有9个2、6个3、3个5、6个7、3个13,接下来好办了,刚好能均分成三组,使得每组都有3个2、2个3、1个5、2个7、1个13就可以了.如下： 第一组：(2×2×2×7)、 (7×13)、 (3×3×5) 第二组：(2×2×3×5) 、(2×3×13)、 (7×7) 第三组：(2×2×3×7) 、(2×5×7) 、(3×13) 以上每组的所有因子都完全相同,所以乘积也相同,也就是： 第一组：56 91 45 第二组：60 78 49 第三组：84 70 39 2. 有12、18、33、36、56、77六个数,把它们平均分成两组,如果要使每组三个数的乘积相等,这两组数分别是 和 。 【思路点拨】要使这两组数的乘积相等这两组数必须含有完全相同的质因数，而且质因数的个数也必须对应相等。因此,我们先把这六个数分解质因数: A组：12=2×2×3，18=2×3×3，33=3×11； B组：36=2×2×3×3，56=2×2×2×7， 77=7×11 可以看出这六个数的因数中共含有8个2,6个3,2个7,2个11,平均分成两组,每组中含有4个2,3个3,1个7,1个11,在分组时可按如下步骤进行思考: ①把77(77里含有1个7和1个11)放在A组; ②B组里放入33和56(33里含有1个11,56里含有1个7); ③B组里放入18(这时B组含有4个2,3个3,1个7,1个11); ④把剩下的12和36放入A组 【详解】 这两组数分别是: (12,36,77)和(18,33,56) 【特别提醒】要先将所有的数分解质因数，再统计出各质因数的个数，若分成两组，则每组中各质因数的个数各占一半。 1.两个连续奇数的乘积是111555,这两个奇数之和是多少? 【思路点拨】设最小的奇数是n，另一个奇数是n+2 n(n+2)=111555 n2+2n=111555 (n+1)2=111556 (n+1)2=3342 所以，n=333 333+2+333=668 答:这两个奇数之和是668 2.46305乘以一个自然数a,乘积是一个整数的平方。求最小的a和这个整数。 【思路点拨】 46305=33×5×73，根据已知“46305乘以一个自然数a，乘积是一个整数的平方”。先把46305分解质因数，平方数的每个质因数都是偶数个，那么a必须包含质因数3、5、7，所以a最小为3×5×7，求出a后再乘46305就得到了所求这个整数的平方。 【详解】 因为46305 =33 ×5×73的质因数分解中各质因数的指数都是奇数,所以a必含质因数3、5、7，因此，a最小为3×5×7=105.46305×a=33 ×5×73×3×5×7=(9×5×49)2=(2205) 答:最小的a是105，这个整数是2205. 【点评】一个平方数有奇数个因数，它的每个质因数都是偶数个。反之，如果把一个自然数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。将16分解成若干个质数(可以相同)相加的形式，如果这些质数的乘积正好是平方数,那么这个平方数可能是几? 3.甲数比乙数大5,乙数比丙数也大5,三个数的乘积是6384,求这三个数。 【思路点拨】 对6384分解质因数，6384=2×2×2×2×3×7×19。因为甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，所以尝试对质因数进行组合，使其得到三个相差5的数。2×2×2×2=16，3×7=21，这里16、19、21不满足条件；而2×7=14，14+5=19，2×2×2×3=24，此时14、19、24满足乙数19比丙数14大5，甲数24比乙数19大5。 【详解】 6384=2×2×2×2×3×7×19 2×7=14 14+5=19 2×2×2×3=24 答：这三个数分别是14、19、24。 1.1×2×3×…×25所得积的末尾有 个连续的数字“0”。 A.6 B.8个 C10个 D.12个 【思路点拨】 只有10的倍数相乘末尾才会产生0，10=2×5。 【详解】 1到25中，5的倍数有：5、10、15、20、25，共5个， 25=5×5，所以25提供了两个5，因此因数5的个数为：5+1=6（个） 所以，1×2×3×……×25所得积的末尾有6个0。 答：选A。 2.在1×2×3×…×1999×2000的乘积中尾部有多少个连续的“0”? 【思路点拨】这个问题全看质因数5的个数．25是5的平方，含有两个质因数5，这里多出1个5来．125是5的立方，又多出一个5，625是5的四次方，又多出一个5，据此找出所有这些数的倍数的个数，再相加即可解答。 【解答】 解：是5的倍数的有2000÷5=400个 是25的倍数的有2000÷25=80个 是125的倍数的有2000÷125=16个． 是625的倍数的有2000÷625=3个 一共有：400+80+16+3=499个． 答：乘积中尾部有499个连续的零。 【经典测试】参考答案 1.两个大于10的合数的和是31,求这两个数。 【思路点拨】 大于10且小于31的合数： 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 两数和为31的组合尝试： 12+19=31，但19不是合数， 14+17=31，但17不是合数， 15+16=31，且15和16都是合数， 答：这两个大于10的合数是15和16。 2. 已知a,b,c都是质数,若a×b+b×c=119,则a+b+c= 。 【解析】提取公因数b（a+c）=119， 119=17×7=1×119， 因为a，b，c都是质数， 当b=7时，a+c=17不满足条件， 当b=17时，a和c分别是2和5即可满足条件， a+b+c=17+7=24． 故答案为：24 3.下图所示，有一个长方体，正面和上面的两个面的面积和为209平方厘米，且长、宽、高都是质数，求它的体积。 【思路点拨】本题主要考查正方体表面积和质数的相关知识点。 【详解】 长方体正面面积为ah，上面面积为bh， ah+bh=(a+b)h=209;209=11×19，所以分两类情况讨论： 情况一：当a+b=11,h=19,因为a、b、h都为质数，根据和的奇偶性，可以得出a、b一定有一个2和9，而9不是质数，此情况不符合题意； 情况二：当a+b=19,h=11,同理可得a、b中的数有2和17，符合题意。得出长方体体积为2×17×11=374（立方厘米） 4.写出10个连续的自然数,它们个个都是合数。 【思路点拨】 根据合数的意义，一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．以此解答。 【详解】 10个连续自然数，个个都是合数． 如：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123；（答案不唯一）． 5.可以分解为三个质数之积的最小的三位数是几? 【解析】 102=2×3×17 首先最小的三位数是100，但是100=2×2×5×5，不符合要求。 接着看101，101是质数，不符合要求。 再看102，102=2×3×17，符合要求。 所以可以分解为三个质数之积的最小三位数是102。 故答案为：可以分解为三个质数之积的最小的三位数是102。 6.用2,3,5,7四个数进行四则运算,每个数只能用一次,能够得到的最大质数是几? 【思路点拨】 要能够得到的最大质数，那么就尽量用乘法，但不能全用乘法，否则积就是合数，所以把2这个偶质数作为加数，其它3、5、7看作因数，即3×5×7+2=107，107是质数符合要求． 【详解】 根据分析可得， 3×5×7+2=107， 107是质数符合要求． 答：能够得到的最大质数是107． 7.“任何不小于4的偶数都可以表示为两个质数之和”,这就是著名的哥德巴赫猜想。例如8=3+5,但是8只有这一种表示形式,而22却有3+19和5+17两种表示成两个不同质数之和的形式。那么，能有两种表示成不同质数之和形式的最小自然数是几? 【思路点拨】根据题意可得 16=3+13=5+11 答:能有两种表示成不同质数之和形式的最小自然数是16 8.除以9余2,并且与4和6的差都是质数的两位自然数有哪几个? 【解析】 4和6的差都是质数的两位自然数，即两个相差2的质数。 这样的质数有11,13 17,19 41,43 71,73 其中11+6=17不合要求 17+6=23，23除以9余5,不符合要求 41+6=47 45除以9余2符合要求 71+6=77 75除以9余5不符合要求 所以这个数是47 9.将八个不同的合数填入下式的口中，如果要求相加的两个合数互质,那么A最小是几? A =□+□=□+□=□+□=囗+囗。 【思路点拨】 此题主要考查合数的意义，一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 【详解】 A=4+25=8+21=9+20=14+15=29， 所以A最小是29 故答案为：29；4，25；8，21；9，20；14，15。 10.求不能用三个不相等的合数之和来表示的最大奇数。 【思路点拨】 在正整数中，三个最小的合数是4，6，8，它们的和是4+6+8=18，于是17是不能用三个不同的合数的和表示的奇数。 在正整数中，三个最小的合数是4，6，8，先计算它们的和，然后将其与最接近的奇数比较，最后再来证明此结论的正确性。 【详解】 下面证明大于等于19的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示。 由于当k≥3时，4，9，2k是三个不同的合数，并且4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可以使大于等于19的奇数n都能用4，9，2k的和来表示。 综上所述，不能表示为3个不相等的合数的和的最大奇数是17。 故答案为：17 【点睛】本题主要考查了质数与合数的概念，在解答此题时，用到了反证法． 11.有一类多位数，各个数位上的数字都不相同，且相邻两个数位上的数字之和都是质数。这类多位数中最大的是几? 【思路点拨】 想得到最大的数,首先最高位上必须确定为9,跟据题中要求相邻两个数位上得数字之和都是质数且各个数位上得数字都不相同,可知接下来的一位只能是8(从大往小试数字哦)以此方法继续下去,得到的数再稍加调整,可得这个最大多位数是9856743021 12.有1,2,3,4,5,6,7,8,9九张牌,甲、乙、丙各拿了三张。甲说:“我的三张牌的积是48。”乙说:“我的三张牌的和是15。”丙说:“ 我的三张牌的积是 63。 问:他们各拿了哪三张牌? 【详解】 解: 63=7×1×9 所以丙拿的 1,7,9 48=2×3×8 所以甲拿的 2,3,8 4+5+6=15 因此乙拿的是 4,5,6 13.甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪,三人各自中靶的环数之积都是60，按个人中靶的总环数由高到低排，依次是甲、乙、丙。靶子上4环的那一枪是谁打的?(环数是不超过10的自然数) 【思路点拨】 找到乘积是 60(因数是不超过 10的自然数)的所有情况,从而找出每个人的打靶环数的可能情况,再根据三个人按个人中靶的总环数由高到低排列依次是甲、乙、丙确定情况 【详解】 60的因数有 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60,其中小于或等于10的3个因数的积为60的有60=1×6×10,60=2×3×10,60=2×5×6，60=4×3×5 每一种情况打中的环数分别为：1+6+10=17(环),2+3+10=15(环),2+5+6=13(环),4+3+5=12(环)。 按中靶数的高低排列为 17,15,13,12。 由于甲、乙、丙三人按个人中靶的总环数由高到低排列,依次是甲、乙、丙,且有一人打中4环,所以靶子上打中4环的那一枪只能是丙打的。 14.1×2×3×…×10=6n×M,其中n，M都是自然数，求n的最大值。 【思路点拨】 本题可以通过分解质因数的方法解答，因为6=2×3，从1到10的连乘中一共有4个质因数3，和7个质因数2，也就是有4对2×3，所以n的最大值是4. 【详解】 解：6=2×3,9=3×3，4=2×2,6=2×3,8=2×2×2,10=2×5. 所以有4个质因数3，7个质因数2，可以组成4对2×3，即4个6，因此n的最大值是4. 15.有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数,它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。 【解析】 这两个整数必有都是2位数，由积是三个相同的三位数,就是 积是111的倍数 而 111 = 37×3 所以其中一个必是37的倍数，而可以验算一个数是37时 另一个数是 18即可，而一个数是 37×2=74时,另一数为3即可。 所以这两个数是 74 、3 ；或 37、18。 16.李老师带领同学们去种树，学生们按人数恰好等分成三组。已知他们共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。问:一共有多少个学生?每人种了几棵树? 【解析】 312的因数分解： 312=2×2×2×3×13 尝试约数组合： 312=2×156：155÷3=51……2，（余数不为0），不满足条件 312=3×104：103÷3=34……1，（余数不为0），不满足条件 312=4×78；77÷3=25……2，（余数不为0），不满足条件 312=6×52；51÷3=17，满足条件 学生人数：51（人）, 每人种树数：6（棵）, 答：一共有51个学生，每人种了6棵树。 14 学科网（北京）股份有限公司 $$