8.2.3 多项式与多项式相乘-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步课件(沪科版2024)

第8章 整式乘法与因式分解 8.2 整式乘法 3 多项式与多项式相乘 学习目标 1.理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.（重点） 2.会利用多项式与多项式相乘的法则进行乘法运算，并能解决实际问题.（重点） 知识回顾 1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2. 幂的乘方，底数不变，指数相乘 (am)n=amn(m,n为正整数) am·an=am+n（m,n为正整数) 3. 积的乘方等于各因数乘方的积. (ab)n=anbn(n为正整数) 知识回顾 4.单项式与单项式的乘法法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 5.单项式与多项式的乘法法则 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加. 情境导入 一块长方形的菜地，长为a，宽为m.现将它的长增加b，宽增加n，求扩大后的菜地面积. 根据题意，画图如下： ① m a ② b ③ n ④ 情境导入 方法一：扩大后菜地的长是a+b,宽是m+n， 所以它的面积是______________. ① m a ② b ③ n ④ 方法二：先算4块小长方形的面积， 再求总面积，扩大后菜地的面积是______________. a+b m+n (a+b)(m+n) (am+bm+an+bn) am bm an bn 根据上面的两种方法，有(a+b)(m+n)=(am+bm+an+bn). 情境导入 上面的运算还可以把(a+b)看作一个整体运用分配律， 再根据单项式与多项式的乘法法则，得 (a+b)(m+n)=(am+bm+an+bn) (a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n =am+bm+an+bn 1 2 3 4 (a + b)(m + n) = am 1 2 3 4 + an + bm + bn 知识要点 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 多项式与多项式的乘法法则 用字母表示为（m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba（m,n,a,b都是单项式）. 多乘多顺口溜 多乘多，来计算， 多项式各项都见面， 乘后结果要相加， 化简、排列才算完. 教材例题 例4 计算:(1)(-2x-1)(3x-2);　　　　 (2)(x+a)(x+b). 解：(1)(-2x-1)(3x-2) =(-2x)·3x+(-2x)·(-2)+(-1)·3x+(-1)×(-2) =-6x2+4x-3x+2 =-6x2+x+2. (2)(x+a)(x+b) =x2+bx+ax+ab =x2+(a+b)x+ab. 注意：多项式乘多项式的结果仍是多项式，运算结果要化成最简形式，不能含有同类项. 教材例题 例5 计算:(1)(a+b)(a2-ab+b2);　　　　 (2)(y2+y+1)(y+2). 解：(1)(a+b)(a2-ab+b2) =a·a2-a·ab+a·b2+b·a2-b·ab+b·b2 =a3+b3. (2)(y2+y+1)(y+2) =y3+2y2+y2+2y+y+2 =y3+3y2+3y+2. 直接合并同类项 直接计算出每一项的积 例题解读 例1 计算:(1)(1-x)(0.6-x);　　　　 　(2)(2x+y)(x-y). 解：(1)(1-x)(0.6-x) =0.6-x-x(0.6-x) =0.6-x-0.6x+x² =0.6-1.6x+x². 单项式乘多项式 合并同类项 （2）(2x+y)(x-y) =2x·x-2x·y+y·x-y·y =2x²-2xy+yx-y² =2x²-xy-y². 单项式乘单项式 合并同类项 例题解读 例2 已知(x2+px+q)(x2-3x+2)的结果中不含x3项和x2项, 求p和q的值. 解:因为(x2+px+q)(x2-3x+2)=x4-3x3+2x2+px3-3px2+2px+qx2-3qx+2q =x4-(3-p)x3+(2-3p+q)x2+2px-3qx+2q,且(x2+px+q)(x2-3x+2)的结果中不含x3项和x2项, 所以3-p=0,2-3p+q=0, 解得p=3,q=7. 所以p和q的值分别为3,7. x3项和x2项的指数为0. 例题解读 例3 解方程:2x(3x-5)-(2x-3)(3x+4)=3(x+4). 解：利用多项式乘法法则，得 (6x²-10x)-(6x²+8x-9x-12)=3x+12, 去括号，得 6x²-10x-6x²-8x+9x+12=3x+12, 移项、合并同类项，得 -12x=0, 所以x=0. 利用多项式乘法法则化简. 利用解一元一次方程的步骤求解. 例题解读 例4（烟台经开区期中）已知一个多项式除以多项式a2+4a-3，所得商式是2a+1，余式为2a+8，求这个多项式. 分析：题干是“一个多项式除以多项式……，求这个多项式”，也就是求被除数.根据“被除数=除数×商+余数”，可以将问题转换为多项式乘多项式，计算即可. 解：由题意知，这个多项式为 (a2+4a-3)·(2a+1)+（2a+8）=2a3+8a2-6a+a2+4a-3+2a+8=2a3+9a2+5. 随堂练习 1.下列多项式相乘结果为a2-3a-18的是(　　) A．(a-2)(a＋9) B．(a＋2)(a-9) C．(a＋3)(a-6)　　 D．(a-3)(a＋6) C 2.若P=（x-2)(x-3），Q=（x-1)(x-4），则P与Q的大小 关系是（ ） A. P>Q B. P<Q C. P=Q D. 由x的取值而定 A 随堂练习 2.计算: (1)(2x+1)(3x-2); (2)(m-2n-3)(m+2n+3). 解:(1)(2x+1)(3x-2) =2x·3x+2x×(-2)+1×3x+1×(-2) =6x2-4x+3x-2=6x2-x-2. (2)(m-2n-3)(m+2n+3) =m·m+m·2n+m×3+(-2n)·m+(-2n)·2n+(-2n)×3+(-3)·m+(-3)·2n+(-3)×3 =m2-4n2-12n-9. 随堂练习 3.小轩计算一道整式乘法的题：(2x＋m)(5x-4)，由于小轩将第一个多项式中的“＋m”抄成“-m”，得到的结果为10x2-33x＋20. (1)求m的值； 解：由题知(2x-m)(5x-4) ＝10x2-8x-5mx＋4m ＝10x2-(8＋5m)x＋4m ＝10x2-33x＋20， 所以8＋5m＝33，4m＝20，解得m＝5. 故m的值为5； (2)请计算出这道题的正确结果． 解：(2x＋5)(5x-4) ＝10x2-8x＋25x-20 ＝10x2＋17x-20. 随堂练习 4.小明想把一长为60 cm,宽为40 cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子,于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形. (1)若设小正方形的边长为x cm,求图中阴影部分的面积; 解:(1)S阴影=(60-2x)(40-2x)=(4x2-200x+2 400)cm2. 所以阴影部分的面积为(4x2-200x+2 400)cm2. (2)当x=5时,求这个盒子的体积. 解:这个盒子的体积为V=S阴影x=(4x2-200x+2 400)x=(4x3-200x2+2 400x)cm3, 当x=5时,V=4×53-200×52+2 400×5=7 500(cm3). 所以这个盒子的体积为7 500 cm3. 课后提升 观察上面四个等式，你能发现什么规律？ 5 6 (-3) (-4) 2 (-8) (-5) 6 口答： 5. 填空： 应用这个规律解决下面的问题： 课后提升 6.先化简,再求值:(y+2)(y²-2y+1)-y(y+1),其中y=. 解:原式=y³-2y²+y+2y²-4y+2-y³-y =-4y+2. 当y=时,原式=-4×+2=0. 课时小结 整式的乘法 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 课时小结 整式的除法 单项式除以单项式 多项式除以单项式 单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$