8.1 平方根 课时2 算术平方根 课件 2024-2025学年人教版七年级数学下册

第八章 实数 8.1 平方根 课时2 算术平方根 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 算数平方根的定义 8. 课堂小结 9. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 6. 知识点3 算术平方根的性质 11. 拓展与延伸 7. 知识点4 算术平方根的估算 10. 对接中考 2. 知识回顾 5. 知识点2 求算术平方根 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根. 2.了解并掌握算术平方根的性质. 3.会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法. 学习目标 知识回顾 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. ±（a大于或等于0） 表示 (1)正数有两个平方根，它们互为相反数； (2)0的平方根是0； (3)负数没有平方根. 开平方与平方互为逆运算 运算 概念 性质 新课导入 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为 25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 52=25 正方形画布的边长应取 5 dm. 新课讲解 知识点1 算数平方根的定义 【算术平方根定义】我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根 叫作a的算术平方根. 正数a的算术平方根用来表示.   正数a的算术平方根记作： 根号 被开方数 a的算术平方根 读作:“根号a” 新课讲解 (非负数 x )2 = a 非负数 x 是非负数 a 的算术平方根 因为 ( 0 )2 = 0 ，所以规定 0 的算术平方根是 0. (1) 0的算术平方根是0. (2) 0的算术平方根也记为. (3)算术平方根是它本身的数只有 0 和 1. 小结 新课讲解 例 答案：A 1. 下列说法正确的是(　　 ) A. 3是9的算术平方根　　 B.2是4的算术平方根 C. ( 2)2的算术平方根是2 D.9的算术平方根是3 A 分析： 要正确把握算术平方根的定义．因为3的平方等于9，所以3是9的算术平方根；因为－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根；因为(－2)2＝4，而22＝4，所以2是(－2)2的算术平方根；负数没有算术平方根． 新课讲解 练一练 1. 9的算术平方根为(　 　) A. 3 B．－3 C．±3 D． 2. 下列说法正确的是( 　　) A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根 B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根 C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根 D．以上说法都不对 A A 新课讲解 知识点2 求算术平方根 1. 正数的算术平方根是一个正数； 2. 0的算术平方根是0； 3. 负数没有算术平方根； 4. 被开方数越大，对应的算术平方根也越大． 新课讲解 例 2. 分别求下列各数的算术平方根： (1) 100； (2) ； (3) 0.0001. 解：(1) 由于102=100， 因此 10. (2)由于 ，因此 . (3) 由于 0.012=0.0001，因此 . 被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 求一个正数的算术平方根的方法: 先找出哪一个正数的平方等于所给的数，再用数学式子表示即可. 归纳 新课讲解 练一练 1. 求下列各数的算术平方根： (1) 0.0025； (2) 81； (3) 32. 解： (1)因为0.052＝0.002 5，所以0.002 5的算术平方根是0.05，即； (2)因为92＝81，所以81的算术平方根是9，即； (3)因为32＝9，9的算术平方根是3，所以32的算术平方根是3，即. 新课讲解 练一练 2. 已知 =5， =4，求的值. 新课讲解 知识点3 算术平方根的性质 【问题】1. 因为____2=64，所以64的算术平方根是 ____，即＝____. 2. 因为____2=0.25，所以0.25的算术平方根是____，即＝____. 3. 因为____2=0，所以0的算术平方根是____，即＝____. 8 8 8 0.5 0.5 0.5 0 0 0 【讨论】1. 一个正数的算术平方根有 个. 2. 0的算术平方有 个，是 . 3. 负数有 算术平方根. 4. 在中，被开方数a是一个______数，算术平方根是一个______数. 非负 非负 1 1 0 没有 新课讲解 归纳 a 的算术平方根 ≥0，是非负数 a≥0，被开方数a是非负数 算术平方根的双重非负性 到目前为止，表示非负数的式子有： |a| ≥ 0；a2 ≥ 0；当a ≥ 0 时， ≥ 0. 新课讲解 【问题】1. 求()²，()²，()²，()²，()²的值，对于任意非负数a，()²等于多少? ()²=0²=0， ()²=2²=4， ()²=3²=9， ()²=5²=25， ()²=6²=36 对于任意非负数a, ()²=a 新课讲解 【问题】2. 求，，，，的值.对于任意数a， 等于多少? ==0， ==2， ==3， ==5， ==6 对于任意数a，=|a| 新课讲解 例 (3) 若 = 0 ，则 a = ； (2) 若 ( m - 7)2 = 0，则 m = ； (1) 若 |a + 3| = 0， 则 a = ； -3 7 5 3. 填一填 新课讲解 例 4. 下列结论正确的是（ 　） A． B ．（ ）2＝9 C ． D． A 新课讲解 例 解: 因为 |m-2| ≥0， ≥0， 且 |m-2| + =0， 所以 |m-2| =0， =0， 所以 m=2，n=-2， 所以 m+n=2+(-2)=0. 5. 若 |m-2| + =0，求 m+n 的值. 若几个非负数的和为0，则每个数均为0. 新课讲解 练一练 1. 下列说法中不正确的有（　　） ①一个数的算术平方根一定是正数； ②100的算术平方根是10，记作＝10； ③(π－3.14)2的算术平方根是π－3.14； ④a2的算术平方根为a. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 新课讲解 练一练 2. 下列四个数中，是负数的是( ) A. |－2| B.(－2)2 C. D. C 新课讲解 练一练 3. 若＝0，求x2 015＋y2 016的值． 分析： 非负数与非负数的和为0当且仅当这两个非负数为0时成立，可列方程求出x，y的值，从而求出代数式的值． ∵， ， ， ∴x－1＝0，y＋1＝0，∴x＝1，y＝－1. ∴x2 015＋y2 016＝12 015＋(－1)2 016＝2. 解： 新课讲解 平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义 个数 表示方法 结果 一个 两个，且互为相反数 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根. 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根. 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根一正一负 联系 具有包含关系 存在条件相同 特殊值0 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的平方根 只有非负数才有平方根和算术平方根 0 的平方根和算术平方根都是 0 新课讲解 知识点4 算术平方根的估算 【探究】怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形? 新课讲解 【探究】这个大正方形的边长是多少? 面积为2 dm2 设大正方形的边长为x dm，则 x2=2. 由边长的实际意义可知 x=， 所以大正方形的边长是 dm. 新课讲解 小正方形的对角线的长是多少呢? 小正方形的对角线的长等于大正方形的边长 dm 新课讲解 【探究】有多大？ 因为 12=1，22=4， 而 1 < 2 < 4 ， 所以 1 < < 2. 对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 因为1.42 = 1.96，1.52 = 2.25， 而 1.96 < 2 < 2.25， 所以 1.4 < < 1.5； 因为1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164， 而 1.9881 < 2 < 2.0164， 所以 1.41 < < 1.42； 因为1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225， 而 1.999396 < 2 < 2.002225， 所以 1.414 < < 1.415； …… 能不能得到更精确的范围？ 新课讲解 如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围.事实上， =1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数. 1.无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 2.实际上，许多正有理数的算术平方根 (例如， 等)都是无限不循环小数. 新课讲解 例如：与50 最接近的两个完全平方数是49 和 64， 因为9<50<64， 所以<<. 即7<<8. 对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 新课讲解 例 6. 的值在( ) A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 解析：因为16<24<25， 所以<<， 即4<<5. 故的值在4和5之间. C 新课讲解 【变式】已知a，b 为两个连续整数，且a< <b，则a＋b=______. 方法点拨：找出与7 最接近的两个平方数，确定7 的算术平方根的范围. 5 解：本题运用夹逼法来求整数a 与b 的值. 因为a，b 为连续整数，a< <b， 而22<7<32，所以2 <<3. 所以a=2，b=3. 所以a＋b=5. 新课讲解 求一个正数(非平方数)的算术平方根的近似值，一般采用夹逼法 . “夹”就是从两边确定取值范围；“逼”就是一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度. 确定的整数部分、小数部分的方法 首先确定的整数部分，根据算术平方根的定义，若m2<a<n2，其中m，n 是连续的非负整数，则m< <n，的整数部分为m，然后进一步可得a的小数部分为－m. 归纳 新课讲解 夹逼法按照精确度估计 (a>0)的近似值 1. 确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若 夹在两个连续非负整数 m，n (m<n)之间，则 的整数部分是 m. 2. 确定的小数部分：从较小整数 m 开始，逐步加 0.1，并求其平方，采用与1类似的方法确定 的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止(若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位的值). 归纳 新课讲解 练一练 1. 估计与 最接近的两个整数是多少？ 解：因为 32 = 9，42 = 16， 所以 3 < < 4． 所以与 最接近的两个整数是 3 和 4. 新课讲解 练一练 2. 估计与 最接近的一个整数是多少？ 解：因为 3 < < 4， 而 3.52 = 12.25， 所以 < 3.5 . 所以最接近 的整数是 3 . 课堂小结 算术平方根 性质及 双重非负性 估算 定义 正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根. (a≥0)具有双重非负性: ①被开方数a是非负数，即a≥0； ② 是非负数，即≥0. 利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 当堂小练 1. 填空 的算术平方根是______； 的算术平方根是_______. 3 4 当堂小练 2. 求下列各数的算术平方根: (1)0.64； (2)； (3)(-9)2. 解：(1)因为0.82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8，即 (2)因为(2=，所以的算术平方根是，即=； (3)因为(-9)2=81，92=81，所以(-9)2的算术平方根是9，即=9. 当堂小练 3. 已知a，b是两个连续整数，且a<<b，则a+b=_____. 9 解：因为16<20<25， 所以4<<5， 所以a=4，b=5， 所以a+b=9. 估算的值 当堂小练 4. 若＋ ＋1有意义，则x满足的条件是（　　 ） A． B． C． D． C 当堂小练 5. 若 解：因为， 所以， 解得， 所以 . 9的算术平方根为3 所以为3 当堂小练 6. 若|a-1|+ +(c+4)²=0，则(a+b+c) = . -1 解：因为 |a-1|++(c+4)²=0，|a-1|≥0，≥0，(c+4)²≥0， 所以|a-1| =0， =0， (c+4)² =0， 所以a-1=0,b-2=0,c+4=0， 所以a=1,b=2,c=-4， 所以(a+b+c) =(1+2-4) =(-1) =-1. 对接中考 1. 估计 的值在( ) A. 3 和4 之间 B. 4 和5 之间 C. 5 和6 之间 D. 6 和7 之间 B 对接中考 2. 下列判断正确的是( ) A. 0< <1 B. 1<<2 C. 2<<3 D. 3<<4 B 拓展与延伸 1. 已知非零实数 a，b 满足 |2a-4| + |b+2| + + 4 = 2a，则 a+b 等于( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 C |2a-4| + |b+2| + = 2a-4 ≥ 0 |b+2| + = 0 b = -2 a = 3 拓展与延伸 2. 已知 2a- 1 的平方根为 ，3a -2b 的算术平方根为 2，求 4a-b+2 的平方根. 解：∵ 2a-1 的平方根为，3a-2b 的算术平方根为 2， ∴ 2a-1=3，3a-2b=4， ∴ a=2，b=1， ∴ 4a-b+2=4×2-1+2=9， ∴ 4a-b+2 的平方根是±3. 拓展与延伸 3. 已知一个正数x 的平方根是2a－3与5－a，求a 的值及的算术平方根. 解：∵＝5，∴a＝25. ∵＝4，∴b＝16. ∴＝＝＝3. Lavf57.83.100 解：∵一个正数x的平方根是2a－3与5－a， ∴2a－3＋5－a＝0，解得a＝－2. ∴x＝(2a－3)2＝[2×(－2)－3]2＝49. ∴＝＝＝9. ∴的算术平方根是3. $$