7.1.2 两条直线垂直-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(人教版2024)

7.1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 课题 两条直线垂直 课型 新授课 教学内容 教材第3-6页的内容 教学目标 1.学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直及垂线段最短这两条性质；会用三角尺或量角器画已知直线的垂线． 2.通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行适当的说理． 3.通过创设情境，利用变式训练等多种教学手段来激发学生的学习兴趣，给学生创造成功的机会，让他们爱学、会学且学会，从而体验成功的快乐． 教学重难点 教学重点：垂线的概念、画法和垂线的两个性质； 教学难点：垂线的画法；对点到直线的距离概念的理解． 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 在相交线模型（如图）中，固定木条a，转动木条b．当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化． 【师生活动】教师引导学生发现，当∠α是90°时，其他三个角的度数都是90°，a和b呈现一种特殊的位置关系，引入本节课要学习的内容． 2.类比探究，学习新知 【探究1】如图，在相交线模型中，当∠α=90°时，探究a与b的位置关系． 【师生活动】教师指出，垂直是相交的一种特殊情形．当 ∠α=90°时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b．一般地，两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直．垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，他们的交点叫作垂足．如图，AB⊥CD，垂足为O． 教师引导学生写出“如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD”这一结论的推理过程，并板书： 因为∠AOD=90°， 所以AB⊥CD． 【追问1】反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOC是多少度？ 【师生活动】教师引导学生从直线的位置关系得到角的数量关系，得出∠AOC=90°．并写出这个推理过程： 因为AB⊥CD， 所以∠AOD=90°． 【追问2】生活中有许多直线互相垂直的例子，你能举出一些例子吗？ 【师生活动】教师出示图片： 学生从中观察互相垂直的直线，然后再举出一些互相垂直的例子． 【探究2】用三角尺或量角器经过一点画已知直线的垂线 【师生活动】学生独立思考，动手操作，自主探索．经过思考、操作，发现画垂线的方法． 教师在学生动手操作后演示课件“用三角尺作垂线”，让学生进一步感受画垂线的过程． 师生共同总结画垂线的方法： (1)用三角尺：贴直线——过定点——画垂线． 用三角尺的两条直角边“一贴”，贴住已知直线；“二靠”，靠住已知点；“三画”，画垂线． (2)用量角器． 【追问】（1）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条? （2）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条? 【师生活动】老师指导学生利用三角尺分别所直线上一点和直线外一点作已知直线的垂线，并探讨可以做出的直线的条数. 学生通过思考得到：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：①在同一平面内，经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线，只能画出一条． ②过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上． 【探究3】如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 【师生活动】将实际问题抽象成数学模型，如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，…，其中PO⊥l垂足为O，我们称PO为点P到直线l的垂线段．测量并比较线段PO，PA1，PA2，PA3，…的长短，通过测量可以发现所连的这些线段中PO最短，于是找到挖渠方案． 教师引导学生总结：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 【追问】如果图中比例尺为1∶100 000，水渠大约要挖多长？ 【师生活动】教师讲授新概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．学生在知道了什么是点到直线的距离之后，自主计算水渠的长度． 3.学以致用，应用新知 【例1】如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 解:如图所示. 【例2】如图，已知直线AB，OC交于点O，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系，并说明理由． 解：OD⊥OE.理由如下： 因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC， 所以∠COE＝∠AOC，∠COD＝∠COB. 所以∠DOE＝∠COE＋∠COD＝∠AOC＋∠COB＝ (∠AOC＋∠COB)＝×180°＝90°. 所以OD⊥OE. 【变式】如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°. (1)求∠2的度数； (2)AO与BO垂直吗？请说明理由． 解：(1)因为DO⊥CO， 所以∠DOC＝90°. 因为∠1＝36°， 所以∠2＝90°－36°＝54°. (2)AO⊥BO.理由如下： 因为∠3＝36°，∠2＝54°， 所以∠3＋∠2＝90°，即∠AOB＝90°. 所以AO⊥BO. 【例3】如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案． 方案一：分别过点C，D画AB的垂线，垂足分别为E，F，沿EC，DF铺设管道； 方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道． 这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？ 解：因为CE⊥AB，DF⊥AB， 所以CE＜PC，DF＜DP. 所以方案一更节省材料． 【变式】如图，点P是∠AOB的边OB上一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C. (1)过点P画OA的垂线，垂足为H； (2)线段PH的长度是点P到直线OA的距离，线段 的长度是点C到直线OB的距离，线段PC，PH，OC长度的大小关系是 (用“＜”连接)． 解：（1）如图所示； （2）CP PH＜PC＜OC 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是( ) A．35° B．40° C．45° D．60 答案：A 2.如图，点A，B，C在同一条直线上，已知∠1＝53°，∠2＝37°，则CD与CE的位置关系是 ． 答案：垂直 3. 如图，在三角形ABC中，∠ABC=90，过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形ABD的AB边上的高DE． （1）点A到直线BC的距离是线段_________的长度. （2）点B到直线AC的距离是线段_________的长度. （3）点D到直线AB的距离是线段_________的长度. （4）线段AD的长度是点________到直线________的距离. 答案：（1）AB （2）BD （3）DE （4）A BD 4.如图，国道a上有一出口M，现想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道长度最短，应沿怎样的线路施工？ 解：如图，过点M作MN⊥b，垂足为N，欲使通道最短，则应沿线路MN施工． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）什么是垂线？如何表示两条直线垂直？ （2）垂线的性质有哪些？ 6.布置作业 课本P6练习，P8习题7.1第2，3，4，6，8题． 从相交线模型中提出简单的数学问题吸引学生的注意，引出两条直线的特殊位置关系． 通过探究，让学生学会独立思考，动手操作，经历探索过程，再发现结论．培养学生归纳探究的能力及逻辑推理能力． 引导学生总结画垂线的一般方法．培养学生的作图能力、说理能力以及独立思考能力． 通过探究，让学生学会独立思考，动手操作．通过测量得到垂线段的性质，再引入点到直线的距离的定义，让学生自主计算水渠的长度． 1.利用典型例题巩固新知的同时体现了知识的延伸性，加强学生对垂线知识的综合运用能力． 2.通过变式训练进一步巩固学生对垂线的理解，加深印象. 加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知． 注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会． 板书设计 垂线的定义 一贴 二靠 垂线的作法 垂线 求最短路径 三画 垂线的性质：垂线段最短 教后反思 1.本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况——垂直，可类比前面两条直线相交时的一般情况学习新知识，授课时注意使学生的注意力时刻集中在要学习的知识上． 2.在授课过程中努力遵循由学生置疑——感知——概括——应用的过程，通过学生积极参与、积极思维，使学生从被动的学习转化到主动探索和发现的学些，使学生感受到学习与探索的快乐． 学科网（北京）股份有限公司 $$