专题02 乘法公式重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题02 乘法公式重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方公式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 利用完全平方式计算图形面积等问题 题型八 整式的混合运算 题型九 乘法公式中的多结论问题 题型十 乘法公式的相关计算 题型十一 乘法公式中的“知二求三” 题型十二 乘法公式中新定义问题 题型十三 乘法公式与几何图形的综合应用 知识点一、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 知识点二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 知识点四、补充公式 ；； ；. 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25七年级上·上海·期中）观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）分别计算下列各式的值： (1)填空： _______； _______； _______； … 由此可得：_______． (2)求的值； (3)根据以上结论，计算． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例2】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，小正方形和大正方形相邻，，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）【探究】 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含字母的式子表示）； 【应用】请应用这个公式解决下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 3．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，，求的值． ②计算： 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（24-25八年级上·北京·期中）已知实数a，b满足，则的值是（   ） A．65 B．105 C．115 D．2025 1．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知x满足，则的值是 ． 3．（24-25九年级上·四川巴中·期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数， 即．所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式______，则的最小值为______； (2)已知，求代数式的最大值； (3)已知，请比较与的大小，并说明理由； 【经典例题四 通过完全平方公式变形求值】 【例4】（24-25八年级下·广东·开学考试）若，则（　　） A．9 B．5 C．11 D．13 1．（24-25七年级下·浙江·期末）设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）请认真观察下列等式：； 并解决下列问题： (1)填空：①______；②已知，则______； (2)计算：已知，求的值． 【经典例题五 求完全平方公式中的字母系数】 【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 3．（24-25八年级上·山西长治·期中）阅读与思考 用配方法求二次三项式的最值 我们通常把和称为完全平方式，且它们的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如： 求代数式的最小值． 解：． ， ． 的最小值为． (1)以上解答过程中，主要体现的数学思想是__________． A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想 (2)已知，则__________，__________． (3)请说明代数式的值是正数． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例6】（24-25八年级上·河南新乡·期中）有两个大小不同的正方形，正方形的边长为，正方形的边长为．现将并列放置构造新的正方形得到图，其阴影部分的面积为；将放在的内部得到图，其阴影部分的面积为，则 ， ． 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图，点C是线段AB上的一点，分别以为边在的同侧作正方形和正方形，连接，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算： ． 2．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)求图2中的阴影部分的正方形的周长； (2)观察图2，请推导出下列三个代数式之间的等量关系； (3)如图3，点是线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为_____． (2)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为_______、_______． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【经典例题七 利用完全平方式计算图形面积等问题】 【例7】（24-25八年级上·北京东城·期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有 ．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，有两个正方形甲、乙，将正方形乙放在正方形甲的内部得图1，将正方形甲、乙并列放置后构造新的正方形得图若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，则正方形甲、乙的面积之和为 ． 2．（24-25八年级上·四川资阳·期末）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：如图1可以得到． (1)写出由图2所表示的数学等式：______； 写出由图3所表示的数学等式：______． (2)利用上述结论，解决下面问题： ①已知，，求的值． ②在①的条件下，若、、分别是的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）【知识扩展】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． 【问题发现】 （1）图1是由四个完全相同的小长方形和一个小正方形拼成的一个大正方形（不重叠无缝隙），观察图形，可知它所对应的公式为_______________，（含、的式子表示） 【问题解决】 （2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，而面积为5，求的值； 【拓展延伸】 （3）将正方形与正方形如图3摆放（点、、在同一直线上，点、、也在同一直线上），当正方形与正方形的面积和为52，时，求图中阴影部分的面积． 【经典例题八 整式的混合运算】 【例8】（24-25八年级上·辽宁营口·期末）计算： (1)； (2)． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) 2．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【经典例题九 乘法公式中的多结论问题】 【例9】（24-25八年级上·河南南阳·期中）关于整式，，则下列说法不正确的是（   ） A．若m为常数，且的值与x无关，则 B．若k为常数，且，则 C．无论x为何值，A都大于B D．若，则 1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知关于的多项式和如下： ， ， 则下列三个说法中正确的有（） ①； ②若无论取何值，的值恒为正数，则； ③若多项式，其中为整式，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法： 若，则的值是； 是完全平方式，则； 若，则；若，则，其中正确的有 3．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）a、b均为有理数，下列说法：①一定是正数；②若a满足，则a一定不是负数；③若，则；④若，则一定是正数． 其中正确的是 （填序号）． 【经典例题十 乘法公式的相关计算】 【例10】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：，其中 1．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）由计算下题：． 3．（24-25八年级上·四川巴中·期末）先化简，再求值：，其中满足． 【经典例题十一 乘法公式中的“知二求三”】 【例11】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）已知，，求出的值． 1．（24-25八年级上·河南商丘·期末）（1）已知，． 求的值； 求的值； （2）已知，求的值． 2．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，求的值． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知关于a、b的四个代数式： ①；②；③；④． (1)当，时，以上可以求出值的代数式的序号是________； (2)在（1）条件下，任选一个代数式并求出它的值； (3)请你再写一个在（1）条件下能求出值的关于a、b的代数式． 【经典例题十二 乘法公式中新定义问题】 【例12】（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算．例如．按照这种运算规定，得．求x的值． 1．（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3：当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)判断：多项式是否关于对称？（答题卡填“是”、“否”） (2)多项式关于_____对称； (3)若关于的多项式关于对称，则_____； (4)多项式关于_____对称． 2．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下： 该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，；，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9． 根据材料，完成下面问题： (1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； (2)已知多项式，（，为常数），M是N的“雅常式”，且当为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题： （3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （4）已知实数、满足，求的最值． 【经典例题十三 乘法公式与几何图形的综合应用】 【例13】（24-25八年级上·福建南平·期末）阅读材料 图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，可以通过不同的方法计算图形的面积，得到一个数学等式．已知下列等式成立： ① ② 如图1，通过不同的方法计算边长为的正方形面积，可以说明等式①的合理性． 问题解决 如图2，将边长为的正方形，分割成几个小正方形与小长方形． （1）请你根据图2的面积说明等式②的合理性； （2）若a，b，c满足，，求的值． 拓展探究 如图3，有三种规格的纸片：，，（其中）若干张． （3）请你利用上述纸片拼接一个大长方形，并能利用它的面积可以说明等式成立．请画出你的设计示意图．（画出一种即可，不需说明成立的理由） 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图中________，图中________； （2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （3）已知，，则的值为：________； 计算； 【拓展】计算 （4）的结果为________． 2．（重庆市忠县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）在学习整式乘法时，教材用拼图推演得到了整式的乘法法则和乘法公式．这样，我们借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象．如图1，将边长的正方形分别用两个边长分别为，的正方形①②（阴影部分）和两个长方形③④拼接而成．观察图形，解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示图1中边长的正方形的面积．你能用图1中正方形的面积表示吗？请把结论写出来． (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值． ②如图2是由3个正方形、、和1个长方形拼接而成，若，，长方形的面积为15，设阴影部分正方形的面积分别为，，求的值． 3．（24-25八年级上·黑龙江·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形． 【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：______． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片______张，乙种纸片______张，丙种纸片______张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为，，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 1．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（2025七年级下·全国·专题练习）设，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，是利用割补法求图形而积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则等于（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 6．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知实数a，b满足，，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）已知，则的值为 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则 ； ． 9．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）当 ，b= 时，多项式有最小值为 ． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25八年级下·北京·开学考试）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 13．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个正方形组成的，它的面积为___________，由此得到等式：__________； (2)如图2，正方形是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，得到等式是__________；（用a，b表示） (3)请你用（2）发现的等式解决问题：已知两数a，b满足，，求的值． 14．（24-25八年级上·河南商丘·期末）（1）已知，． 求的值； 求的值； （2）已知，求的值． 15．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，阴影部分的面积所揭示的乘法公式是． (1)用4个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． (2)如图3，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为，求的面积． (3)若，则 ．（直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 乘法公式重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方公式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 利用完全平方式计算图形面积等问题 题型八 整式的混合运算 题型九 乘法公式中的多结论问题 题型十 乘法公式的相关计算 题型十一 乘法公式中的“知二求三” 题型十二 乘法公式中新定义问题 题型十三 乘法公式与几何图形的综合应用 知识点一、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 知识点二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 知识点四、补充公式 ；； ；. 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期末）若，则的值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的运算以及平方差公式．根据多项式乘多项式法则，可得，从而求出a，b的值，进而代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案． 【详解】解： ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解决本题的关键． 观察已知等式得到一般规律：，据此即可计算求值． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）分别计算下列各式的值： (1)填空： _______； _______； _______； … 由此可得：_______． (2)求的值； (3)根据以上结论，计算． 【答案】(1)，，，； (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用问题，平方差公式的应用，找到规律是解题关键． （1）用多项式乘以多项式的计算方法计算前三项，总结出规律即可； （2）根据（1）中得出的规律计算即可； （3）根据（1）中得出的规律计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 由此可得：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：原式 ． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例2】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，小正方形和大正方形相邻，，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； 设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，可得，再由阴影部分的面积为，可得，即可求解； 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为 则，， ， 阴影部分的面积为， ， ， ， 即大正方形的面积与小正方形的面积之差为； 故选：D 1．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵，， ∴； ∴； 故答案为：6． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）【探究】 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形． （1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含字母的式子表示）； 【应用】请应用这个公式解决下列各题： （2）已知，求的值； （3）计算的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了平方差公式，根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式解决问题是关键． （1）利用两个面积相等列式即可； （2）利用（1）中的公式计算即可； （3）利用（1）中的公式计算即可． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两个图中阴影部分的面积相等得， 即可以得到乘法公式； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴； （3） ． 3．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解； ②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【详解】（1）解：∵图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ∴上述操作能验证的等式是． 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ② ． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（24-25八年级上·北京·期中）已知实数a，b满足，则的值是（   ） A．65 B．105 C．115 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先将已知条件变形为，然后根据非负数的性质求出a、b的值，最后代入要求的代数式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ∴ ， 故选：A． 1．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用和非负数的性质，能够利用配方法将已知式子变形是解题的关键． 先进行配方，再进化简变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，时，等式成立， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知x满足，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设，将已知式子变形为，然后根据完全平方公式计算，得出的值，即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·四川巴中·期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数， 即．所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将变形为的形式______，则的最小值为______； (2)已知，求代数式的最大值； (3)已知，请比较与的大小，并说明理由； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用； （1）依据题意，根据完全平方公式求解； （2）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可； （3）求出，即可比较大小． 【详解】（1）解：， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴当时，有最小值． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴， ∴，即． 【经典例题四 通过完全平方公式变形求值】 【例4】（24-25八年级下·广东·开学考试）若，则（　　） A．9 B．5 C．11 D．13 【答案】B 【分析】 此题考查完全平方公式，根据完全平方公式得出，再结合已知，即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 1．（24-25七年级下·浙江·期末）设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，正确用表示，是解题的关键； 先用表示，，代入已知等式中，即可求解； 【详解】解：，，， ，， ， ， 解得：； 故选：A 2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】4050 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，运用整体代入思想是解题的关键． 根据完全平方公式对原式进行变形，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）请认真观察下列等式：； 并解决下列问题： (1)填空：①______；②已知，则______； (2)计算：已知，求的值． 【答案】(1)①4；② (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及求一个数的平方根，解题的关键是理解并掌握完全平方公式． （1）①根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；②先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； （2）先将两边都除以，得出，然后求出，再求出，即可获得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：已知，， 则两边同时除以，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 求完全平方公式中的字母系数】 【例5】（2025七年级下·全国·专题练习）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据完全平方公式的特征判断即可得到的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 或， 故选：D． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 【答案】D 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 整理得， 解得的值是5或， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，根据是某个整式的平方，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是某个整式的平方， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·山西长治·期中）阅读与思考 用配方法求二次三项式的最值 我们通常把和称为完全平方式，且它们的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项，变成完全平方式，再减去这个添加的项，使原多项式的值不变，这样可以解决一些最值问题．如： 求代数式的最小值． 解：． ， ． 的最小值为． (1)以上解答过程中，主要体现的数学思想是__________． A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想 (2)已知，则__________，__________． (3)请说明代数式的值是正数． 【答案】(1)B (2)； (3)理由见解析 【分析】本题考查完全平方式，完全平方公式的应用，平方的非负性， （1）将多项式的最小值问题转化为利用平方的非负性解决问题； （2）将已知等式化为，可得结论； （3）将转化为，再根据平方的非负性可得结论； 正确理解完全平方式及非负数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：以上解答过程中，主要体现的数学思想是转化思想， 故选：B； （2）∵， ∴， ∴，， 故答案为：；； （3）∵ ， 又∵ ∴， ∴代数式的值是正数． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例6】（24-25八年级上·河南新乡·期中）有两个大小不同的正方形，正方形的边长为，正方形的边长为．现将并列放置构造新的正方形得到图，其阴影部分的面积为；将放在的内部得到图，其阴影部分的面积为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算与完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．设正方形的边长为，正方形的边长为，根据图①知，得；根据图②知，即；从而得出的值． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图①得， ∴， ∴， 由图②得，即， ∴， 故答案为：11，． 1．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图，点C是线段AB上的一点，分别以为边在的同侧作正方形和正方形，连接，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算： ． 【答案】410 【分析】本题考查图形类规律探究，完全平方公式在图形中的应用．连接，易得，进而得到，推出，再进行计算即可． 【详解】解：连接，则， ∴，    ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：410． 2．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)求图2中的阴影部分的正方形的周长； (2)观察图2，请推导出下列三个代数式之间的等量关系； (3)如图3，点是线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分面积为 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的几何应用，解题的关键是利用数形结合思想对完全平方公式以及变式理解． （1）利用线段关系得出阴影部分的正方形的边长，从而求出周长； （2）利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式； （3）用数形结合思想，用完全平方公式解决几何面积问题． 【详解】（1）解：阴影部分的正方形边长为， 故其周长为， 故答案为：； （2）解：大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：， 大正方形边长为，故面积也可以表示为：， 因此， 故答案为：； （3）解：设，， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 解得， 由题意：， ∴阴影部分的面积为：． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为_____． (2)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为_______、_______． (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)①；② 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景及应用能力． （1）从大正方形面积的整体和各部分求和两方面列式表示，可得； （2）根据因式分解可得此题结果； （3）由（1）题结果可得，利用以上两个结论可分别求解①，②小题． 【详解】（1）解：由题意，图2面积可分别表示为：和， ∴， 故答案为：； （2）解：可分解为， ∴可拼成边长各为，的长方形， 故答案为：，； （3）解：①∵，， 由（2）题结果可得， ； ②设，，则， ，， 又， ， ， ． 【经典例题七 利用完全平方式计算图形面积等问题】 【例7】（24-25八年级上·北京东城·期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，下列说法正确的有 ．①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面积差是16；④正方形A的边长是． 【答案】①②③④ 【分析】根据图1、图2与正方形A、正方形B的关系以及正方形面积的计算方法逐项进行判断即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 图1的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2的阴影部分是边长为的大正方形与边长为a，边长为b的两个正方形的面积差，即， 又图1，图2中阴影部分的面积分别为4， ，，即， ， 即， 因此①正确； ， 因此②正确； ，，， ，， ，， ， 即正方形A与正方形B的面积差为16， 因此③正确； 由于，即正方形A的边长为5， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，有两个正方形甲、乙，将正方形乙放在正方形甲的内部得图1，将正方形甲、乙并列放置后构造新的正方形得图若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，则正方形甲、乙的面积之和为 ． 【答案】35 【分析】本题考查完全平方公式，理解完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为，由图1、图2阴影部分的面积为5和30可得，，由完全平方公式得出的值即可． 【详解】解：设正方形甲的边长为，正方形乙的边长为， 图1中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2中大正方形的边长为，因此面积为，阴影部分的面积为， 图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30， ，， ， ， 即两个正方形的面积和为35， 故答案为：35． 2．（24-25八年级上·四川资阳·期末）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：如图1可以得到． (1)写出由图2所表示的数学等式：______； 写出由图3所表示的数学等式：______． (2)利用上述结论，解决下面问题： ①已知，，求的值． ②在①的条件下，若、、分别是的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)，; (2)①48；②是等边三角形，理由见解析. 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景,解决本题的关键是完全平方公式变形和整体代入思想的灵活运用. （1）大正方形的面积等于9个长方形的面积和；图3中阴影部分是边长为的正方形，还可以看成是长为a的大正方形的面积减去两个边长为a，宽为b的长方形的面积，2个长为a，宽为c的长方形的面积，加2个长为b宽为c的面积，加1个边长为b的正方形的面积，加1个边长为c的正方形的面积； （2）①利用即可得到结果； ②根据前面得到等式,再对等式进行转化,进而进行因式分解,最后根据非负数的性质得到三边的关系． 【详解】（1）解： 大正方形的面积为: 9个长方形的面积和为: , ∴; 图3中阴影部分是边长为的正方形，还可以看成是长为a的大正方形的面积减去两个边长为a，宽为b的长方形的面积，2个长为a，宽为c的长方形的面积，加2个长为b宽为c的面积，加1个边长为b的正方形的面积，加1个边长为c的正方形的面积， 即， ∴， 故答案为: ;; （2）①∵ 又∵，， ∴， ∴. ②∵, ∴,即, ∴, ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形. 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）【知识扩展】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． 【问题发现】 （1）图1是由四个完全相同的小长方形和一个小正方形拼成的一个大正方形（不重叠无缝隙），观察图形，可知它所对应的公式为_______________，（含、的式子表示） 【问题解决】 （2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，而面积为5，求的值； 【拓展延伸】 （3）将正方形与正方形如图3摆放（点、、在同一直线上，点、、也在同一直线上），当正方形与正方形的面积和为52，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）26；（3）10 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用．熟练掌握完全平方公式在几何中的应用是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个长方形的面积的和求解即可； （2）先根据长方形的周长和面积得出，，然后化简整式，并代入求值即可； （3）设正方形与正方形的变成分别为a，b，则，，利用完全平方公式的变形可求，，然后利用求解即可． 【详解】解：（1）． （2）边长为，的长方形的周长为12，而面积为5， ，， ， ， ． 的值为26． （3）如图，延长交于点， 设正方形与正方形的边长分别为、， 由正方形与正方形的面积和为52，， 得，， ， ． ． ， ， 图中阴影部分的面积为10． 【经典例题八 整式的混合运算】 【例8】（24-25八年级上·辽宁营口·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算， （1）利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，再进行合并即可； （2）直接利用多项式除以单项式的运算法则进行运算即可； 掌握相应的运算法则，公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则和运算公式． （1）原式先计算小括号，再算中括号，然后根据多项式除单项式的法则计算即可得出答案； （2）原式先根据单项式乘以多项式和平方差公式将括号展开，然后再合并即可； （3）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； （）根据完全平方公式和乘法分配律计算即可求解； （）根据积的乘方、同底数幂的乘法及单项式除以单项式的运算法则计算即可； （）根据多项式乘以多项式和平方差公式计算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后再合并同类项即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题九 乘法公式中的多结论问题】 【例9】（24-25八年级上·河南南阳·期中）关于整式，，则下列说法不正确的是（   ） A．若m为常数，且的值与x无关，则 B．若k为常数，且，则 C．无论x为何值，A都大于B D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减、整式的混合运算、运用完全平方公式进行计算，由整式的加减结合题意得出，求出，即可判断A；根据整式的混合运算并结合题意得出，，即可判断B；求出即可判断C；利用完全平方公式进行计算即可判断D． 【详解】解：∵，m为常数，且的值与x无关， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ， ∴，， 解得：，故B正确，不符合题意； ，当时，，此时，故C错误，符合题意； ∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知关于的多项式和如下： ， ， 则下列三个说法中正确的有（） ①； ②若无论取何值，的值恒为正数，则； ③若多项式，其中为整式，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式及多项式的乘法，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键． 将展开可得，，，，，进而得，故①错误，由，，，，得，根据，的值恒为正数，得，从而得，故②正确；由，得，设，由，得，，从而即可得，，代入即可得，故③错误，从而即可得解． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，，， ∴，故①错误， ∵，，，， ∴， ∵，的值恒为正数， ∴ ， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③错误， ∴正确的个数为， 故选∶B． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法： 若，则的值是； 是完全平方式，则； 若，则；若，则，其中正确的有 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式，根据完全平方公式及多项式乘以多项式的运算法则逐项运算即可判断，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则及乘法公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故正确； ∵是完全平方式， ∴， 故错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 故错误； ∵， ∴， ∴，， ∴， 故正确； ∴正确， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）a、b均为有理数，下列说法：①一定是正数；②若a满足，则a一定不是负数；③若，则；④若，则一定是正数． 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查有理数的运算、绝对值的几何意义和平方的非负性，①利用平方的非负性即可判断；②绝对值等于其本身即可判断；③两个数互为相反数，注意0的相反数是本身，④利用绝对值的几何意义，然后将即可判断． 【详解】解：①因为，则，故一定是正数，故本选项符合题意； ②，则，所以，则a一定不是负数，正确，故本选项符合题意； ③，则a、b互为相反数，但是当时，无意义，故本选项不符合题意； ④，则，，正确，故本选项符合题意； 故答案为：①②④． 【经典例题十 乘法公式的相关计算】 【例10】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】；2 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、积的乘方、整式的除法的运算法则去括号，再合并同类项得到最简结果，由题意可得，代入计算即可． 【详解】解： ∴原式． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)，5 (2)， 【分析】本题考查整式运算中的化简求值： （1）先利用乘法公式进行计算，再合并同类项，然后代值计算即可； （2）先利用乘法公式进行计算，再合并同类项，然后代值计算即可。 【详解】（1）解：原式 当时，原式． （2）原式 ． 当时，原式． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）由计算下题：． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，利用平方差公式将原式变形为，计算即可得解，熟练掌握平方差公式，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25八年级上·四川巴中·期末）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式先根据平方差公式、完全平方公式以及单项式除以单项式化简各项后得最简结果，再把变形为，再代入计算即可． 【详解】解： ； 由可得， 原式 【经典例题十一 乘法公式中的“知二求三”】 【例11】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）已知，，求出的值． 【答案】； 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键． 【详解】解：，， ， 即， 1．（24-25八年级上·河南商丘·期末）（1）已知，． 求的值； 求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（）；；（）． 【分析】（）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 根据完全平方公式及其变形即可求出答案； （）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 本题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴ ； ∵，，， ∴ ； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先求出，再根据完全平方公式拓展公式，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知关于a、b的四个代数式： ①；②；③；④． (1)当，时，以上可以求出值的代数式的序号是________； (2)在（1）条件下，任选一个代数式并求出它的值； (3)请你再写一个在（1）条件下能求出值的关于a、b的代数式． 【答案】(1)①②③④ (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）根据完全平方公式的变形，计算即可得解； （2）根据完全平方公式的变形，计算即可得解； （3）根据（1）的计算写出即可． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 故当，时，以上可以求出值的代数式的序号是①②③④； （2）解：由（1）可得； （3）解：由题意可得：． 【经典例题十二 乘法公式中新定义问题】 【例12】（2025七年级下·全国·专题练习）定义一种新运算．例如．按照这种运算规定，得．求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算与解一元一次方程，解题的关键是根据新定义列出关于的方程，熟记完全平方公式，平方差公式及解一元一次方程的步骤． 先根据新定义规定的运算法则得出，再将左边利用完全平方公式和平方差公式去括号，继而合并同类项，移项，系数化为1可得答案． 【详解】解：根据题意得， ， ， 解得：． 1．（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3：当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)判断：多项式是否关于对称？（答题卡填“是”、“否”） (2)多项式关于_____对称； (3)若关于的多项式关于对称，则_____； (4)多项式关于_____对称． 【答案】(1)是 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能够对多项式进行变形，根据新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判断即可； （2）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判断即可； （3）利用完全平方式对多项式进行变形，得到，根据新定义得到，计算即可求解； （4）利用完全平方式对多项式进行变形，根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， 则多项式关于对称． 故答案为：是； （2）解：， 则多项式关于对称． 故答案为：2； （3）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解： ， ∴多项式关于对称． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下： 该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，；，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9． 根据材料，完成下面问题： (1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； (2)已知多项式，（，为常数），M是N的“雅常式”，且当为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 【答案】(1)是的“雅常式”，“雅常值”为 (2)关于的“雅常值”是 【分析】本题考查了配方法的应用、整式的加减运算、新定义和因式分解，理解是的“雅常式”的定义是解决本题的关键． （1）先计算，再根据“雅常式”的定义即可判断是的“雅常式”并求出“雅常值”即可求解； （2）先求出，由是的“雅常式”，得出，得出，由为实数时，的最小值为，得出，求出，进而求出； 【详解】（1）解： ， C是D的“雅常式”， C关于D的“雅常值”为； （2）M是N的“雅常式”， ， ， ． ，且当x为实数时，N 的最小值为， ， ， ． 所以M关于N的“雅常值”是3； 3．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题： （3）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （4）已知实数、满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，为“完美数”，理由见解析；（4）6 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）把10拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）首先表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）已知10是“完美数”， 将它写成（、是整数）的形式为． 故答案为：； （2）∵ ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴． 故答案为：； （3）当时，为“完美数”，理由如下： ， ∵、是整数， ∴、也是整数， ∴当时，为“完美数”； （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为6． 【经典例题十三 乘法公式与几何图形的综合应用】 【例13】（24-25八年级上·福建南平·期末）阅读材料 图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，可以通过不同的方法计算图形的面积，得到一个数学等式．已知下列等式成立： ① ② 如图1，通过不同的方法计算边长为的正方形面积，可以说明等式①的合理性． 问题解决 如图2，将边长为的正方形，分割成几个小正方形与小长方形． （1）请你根据图2的面积说明等式②的合理性； （2）若a，b，c满足，，求的值． 拓展探究 如图3，有三种规格的纸片：，，（其中）若干张． （3）请你利用上述纸片拼接一个大长方形，并能利用它的面积可以说明等式成立．请画出你的设计示意图．（画出一种即可，不需说明成立的理由） 【答案】（1）详见解析；（2）78；（3）图见解析 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键， （1）用两种不同的方法表示出图2的面积即可求解； （2）由题意得到，然后将，代入求解即可； （3）根据题意画出图形，然后用两种不同的方法表示出图2的面积即可求解． 【详解】（1）∵ 又∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （3）如图所示， ∵ 又∵ ∴． 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图中________，图中________； （2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （3）已知，，则的值为：________； 计算； 【拓展】计算 （4）的结果为________． 【答案】（），；（）；（）；；（）． 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的应用是解题的关键． （）利用两个面积相等列式即可； （）利用探究中的公式计算即可； （）利用探究中的公式计算即可； 利用探究中的公式计算即可； （）算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】解：（）图中，图中， 故答案为：，； （）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：， 故答案为：； （）由， ∵，， ∴原式， 故答案为：； ； （）解： ． 故答案为：． 2．（重庆市忠县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）在学习整式乘法时，教材用拼图推演得到了整式的乘法法则和乘法公式．这样，我们借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象．如图1，将边长的正方形分别用两个边长分别为，的正方形①②（阴影部分）和两个长方形③④拼接而成．观察图形，解答下列问题： (1)请用两种不同的方法表示图1中边长的正方形的面积．你能用图1中正方形的面积表示吗？请把结论写出来． (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值． ②如图2是由3个正方形、、和1个长方形拼接而成，若，，长方形的面积为15，设阴影部分正方形的面积分别为，，求的值． 【答案】(1)见解析， (2)①；②34 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，利用完全平方公式变形求解： （1）利用正方形的面积公式以及分割法求正方形的面积，两种方法进行求解即可； （2）①设，，利用（1）中结论进行求解即可；②设正方形、的边长分别为，，根据题意结合完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：方法一，大正方形面积为； 方法二，； ①②小正方形面积分别为，， ③④部分的面积都为， ∴， ∴； （2）①由已知得， 设，， 则有，， ∴， ∴ ②设正方形、的边长分别为，， 由题意， ∵，，，， 由正方形得，即， 由（1）得， ∴． 3．（24-25八年级上·黑龙江·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图（1）的三种纸片．甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为、宽为的长方形． 【观察发现】 用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图（2）的大正方形．观察图（2）的面积关系，写出正确的等式：______． 【操作探究】 若要拼出一个面积为的长方形，则需要甲种纸片______张，乙种纸片______张，丙种纸片______张．（所拼图形不重叠无缝隙） 【拓展延伸】 两个正方形、如图（3）摆放，边长分别为，，连接，．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】观察发现：；操作探究：1，2，3；拓展延伸：10 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 观察发现：根据图（2）的面积边长为的正方形的面积一个边长为的正方形的面积一个边长为的正方形面积个长为，宽为的长方形面积，列出算式即可； 操作探究：利用多项式乘多项式法则进行计算，然后根据计算结果进行判断即可； 拓展延伸：先根据已知条件可知，然后根据已知条件为完全平方公式，求出，最后根据阴影部分的面积边长是的正方形面积边长是的正方形的面积的面积的面积，列出算式进行计算即可． 【详解】观察发现： 解：观察图形可知：图（2）的面积为：，还可以表示为：， 正确的等式为：， 故答案为：； 操作探究： 解： ， 需要甲种纸片1张，乙种纸片2张，丙种纸片3张， 故答案为：1，2，3； 拓展延伸： 解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 阴影部分的面积 ． 1．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，根据，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）设，，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，根据平方差根式和完全平方公式将与化简，再进行比较即可，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，是利用割补法求图形而积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， 所以． 故选：B． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则等于（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值计算．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设，得， 得，得，得，得，得或，代入计算可得． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∴或， ∴． 故选：D． 5．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法与几何图形面积，即运用几何直观理解、解决整式的乘法与几何图形的面积之间的联系，通过几何图形之间的数量关系对整式乘法做出几何解释． 根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意； ③可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 6．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知实数a，b满足，，则的值为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，将变形就，再整体代入计算即可得去答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 故答案为：54． 7．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数的性质．先把等式的左边利用完全平方公式进行运算，再根据非负数的性质求出x、y的值，再代入计算． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则 ； ． 【答案】 【分析】根据、、的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是，但是这个数字之和是，所以可得，从而求出的值；因为，可以得到，配方得，把代入即可求出的值．本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算．解决本题的关键是理解、、这三个数每个都加了两次，并且能把凑成完全平方式． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于， 三个圆上的数字之和应为， 其中的、、这三个数每个都加了两次， ， ， 则有， 解得：； 每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且， ， ， ， ， 整理得：， ， ； ， ， ， 解得：． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）当 ，b= 时，多项式有最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先整理，因为，所以，即可作答． 【详解】解： ， ∴， ∵， ∴当时，多项式有最小值，最小值为：， 故答案为：，5，． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 【答案】 / 【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空； （）根据平方差公式计算即可； 本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：（）阴影面积是， 故答案为：； （）图面积为：， ∴根据图形可以得到乘法公式， 故答案为：； （） ， 故答案为：． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式是解此题的关键． （1）根据完全平方公式计算即可得解； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可得解； （3）根据完全平方公式和平方差公式计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 12．（24-25八年级下·北京·开学考试）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：． 13．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个正方形组成的，它的面积为___________，由此得到等式：__________； (2)如图2，正方形是由四个边长为a，b的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，得到等式是__________；（用a，b表示） (3)请你用（2）发现的等式解决问题：已知两数a，b满足，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，注意数形结合思想的运用． （1）图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．由此得出答案； （2）图2可以看作是一个边长为的大正方形，也可以看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，分别求出面积，即可得出答案； （3）根据（1）中所得等式，结合题意可得关于a，b的等式，进而整体代入计算即可． 【详解】（1）解：把图1看作一个大正方形，它的面积是； 如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． 由此得到． 故答案为：，； （2）解：把图2看作是一个边长为的大正方形，它的面积是； 如果把图2看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，它的面积是； 由此得到． 故答案为：； （3）解：由（1）得． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·河南商丘·期末）（1）已知，． 求的值； 求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（）；；（）． 【分析】（）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 根据完全平方公式及其变形即可求出答案； （）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 本题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴ ； ∵，，， ∴ ； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，阴影部分的面积所揭示的乘法公式是． (1)用4个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系． (2)如图3，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为，求的面积． (3)若，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)10 (3)13 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键； （1）根据图形的阴影部分面积可进行求解； （2）设，，根据题意得到，，然后利用完全平方公式求得即可求解； （3）设，，则，，利用完全平方公式求得即可． 【详解】（1）解：由题意，图2中阴影部分是边长为的正方形，其面积为，或者， ∴， ∴这三个代数式，，之间的等量关系为； （2）解：设，， ∵，两正方形的面积和为， ∴，， 由得， 解得， ∴； （3）解：设，，则， 由得， 由得， ∴， 即， 故答案为：13． 学科网（北京）股份有限公司 $$