专题01 整式乘法重难点题型专训（14大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题01 整式乘法重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型六 计算多项式乘多项式 题型七 (x+p)(x+q)型多项式乘法 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型九 多项式乘多项式 题型十 多项式乘多项式的化简求值 题型十一 多项式乘多项式与图形面积 题型十二 多项式乘法中的规律性问题 题型十三 整式乘法混合运算 题型十四 整式乘法中的新定义计算 知识点一、单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点二、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点三、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）的结果为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值为（   ） A．6 B．10 C．9 D．7 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 2．（24-25八年级上·重庆·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果 ，m，n均为正整数，求m，n的值． 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若数x满足，则 ． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例4】（24-25七年级上·天津·期末）李先生购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地板砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用含x的式子表示客厅的面积； (2)用含x的式子表示地面总面积： (3)若铺地板砖的平均费用为100元，求当时，铺地板砖的总费用为多少元？ 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 4．（24-25七年级上·重庆万州·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例5】（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 1．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 2．（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【经典例题六 计算多项式乘多项式】 【例6】（24-25八年级上·河南许昌·期末）若，则m的值为（   ）． A． B．4 C． D．10 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 2．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）计算： (1) (2) 3．（24-25七年级上·北京·期中）阅读与思考 将新学的知识和已有的知识相互联系是数学学习的好方法．小赵同学在学习了《多项式》一章之后，发现了多项式和进位制的相似之处． 在n进制下，数可以表示为，如果将n看成变量，那么后面的代数式便是一个关于n的多项式．如在十进制下，；在n进制下．他在学习小组中分享了这个想法之后，小赵和他的同学们有了如下对话： 悦悦：如果多项式，那它是不是可以看成是“x进制”下的“多项式”？ 正正：好像是这样．另外，多项式A还可以写成，那么它就可以看成是“进制”下的“多项式”了！ 小赵：这么看来，多项式是不是也能进行“进制转化”呢？ 为了解决小赵的问题，学习小组进行了更深入的探究． 项目主题：多项式的“进制转化”． 请阅读他们小组的项目实施过程，帮助他们解决实施过程中遇到的问题． 项目实施： 任务一搜集资料： 我们可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 任务二竖式计算： 例如我们计算，可以列出如下竖式： 因此多项式除以，商式为，余式为12． 我们可以写成：， 即：． 任务三学以致用： （1）请把按x的降幂排列：________________； （2）请计算的商是________，余式是________； （3）直接写出展开成“进制”的“多项式”结果． 【经典例题七 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 【例7】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若，则的值为（　　） A． B．5 C． D． 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）若对任意的x恒成立，则n的值是 ． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【经典例题八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）已知的乘积展开式中不含和项，则的值为 ． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若的积中不含x和项，则 ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 3．（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【经典例题九 多项式乘多项式】 【例9】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）先观察下列各式，再解答后面问题： ；； ；； (1)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则 ； (2)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果 ① ； ② ． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）在计算时，小泉同学看错了b的值，计算结果为；小张同学看错了a的值，计算结果为． (1)求a，b的值． (2)计算的正确结果． 【经典例题十 多项式乘多项式的化简求值】 【例10】（23-24八年级上·四川泸州·期中）先化简再求值：，其中． 1．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，求代数式 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，求代数式的值． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 【经典例题十一 多项式乘多项式与图形面积】 【例11】（24-25八年级上·北京·期中）有两个正方形、，将，并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 1．（2024·河北唐山·二模）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（     ） A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张 C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用 2．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）如图，长方形的面积是96，为上一点，，为上一点，则的面积是 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【经典例题十二 多项式乘法中的规律性问题】 【例12】（24-25七年级下·全国·课后作业）探究应用： (1)计算： __________；_________． (2)上面的乘法计算结果很简洁，用含a，b的式子表示你发现的规律，并说明理由； (3)下列各式能用（2）中的式子计算的是__________（填选项）． A．    B． C．     D． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究： ； (2)知识运用： ① ； ②利用上述规律计算： ． 2．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，为杨辉三角的一部分，它的作用是指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题． (1)填空：第二项的系数为________，_______； (2)求的展开式； (3)请根据以上规律计算： 3．（23-24八年级上·云南红河·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 【经典例题十三 整式乘法混合运算】 【例13】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【经典例题十四 整式乘法中的新定义计算】 【例14】（24-25八年级上·江西南昌·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则． 一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即） ， 如果， 则称B是A的“好多项式”， 如果， 则称B是A的“极好多项式”． 若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则 ． 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 3．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果．则称B是A的“郡园多项式”如果，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，，则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由； (2)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，则_____； (3)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值． 1．（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）长方形的面积为，若它的一边为，则另一边长为（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25八年级上·广西玉林·期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘法的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”系数的规律，计算展开式的系数和是（） A．256 B．1024 C．64 D．512 4．（24-25八年级上·重庆潼南·期末）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再用第2项乘得到，将第2项加上得到第3项，再用第3项乘得到，……，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列3个结论： ①； ②第4项是； ③若第2023项的值为0，则． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若，则的值是 ． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 8．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若，，则的值是 ． 9．（24-25八年级上·广西南宁·期中）若与乘积中项的系数为2，常数项为，则这两个多项式乘积的一次项系数为 ． 10．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下文，寻找规律： 已知：，观察下列各式： ； ； ； ； … 填空： ①＝ ； ②＝ ． 11．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 12．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）现要在一个长为米，宽为米的矩形花园中修建如图所示的三条宽度为x米的小道，剩余的地方种植花草． (1)用含有x、y的代数式表示出三条小路的总面积（结果要化简）； (2)用含有x，y的代数式表示出种植花草的面积（结果要化简），并求出，时种植花草的面积． 13．（24-25八年级上·广东东莞·期中）（1）填空并观察下列各式的规律： ________； ； ； ； …… 可得到________． （2）猜想：________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 14．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 15．（24-25八年级上·福建福州·期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 请你利用上述方法解决下列问题： (1)请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． (3)提出问题：，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例： ①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． ②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）． (4)归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式乘法重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型六 计算多项式乘多项式 题型七 (x+p)(x+q)型多项式乘法 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型九 多项式乘多项式 题型十 多项式乘多项式的化简求值 题型十一 多项式乘多项式与图形面积 题型十二 多项式乘法中的规律性问题 题型十三 整式乘法混合运算 题型十四 整式乘法中的新定义计算 知识点一、单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点二、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点三、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了单项式乘以单项式．先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解： 故选：A 1．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值为（   ） A．6 B．10 C．9 D．7 【答案】B 【分析】本题考查同底数的乘法、解一元一次方程，代数式求值，先根据同底数的乘法法则可得，求得，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算； （1）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式进行计算即可求解； （2）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）按单项式乘以单项式法则计算； （3）先乘方，再算乘法； （4）先算乘方，再算乘法． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了积的乘方、单项式乘以单项式法则等知识点．掌握单项式乘以单项式法则及整式的运算顺序是解决本题的关键． 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例2】（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】， 所以解得 所以. 2．（24-25八年级上·重庆·期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是 ． 【答案】18 【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是7， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果 ，m，n均为正整数，求m，n的值． 【答案】m=3，n=2 【分析】根据单项式的乘法把左边化简，然后根据左右两边相同字母的指数相等列方程组求解即可. 【详解】解： =﹣x2m+n﹣1ym+2n﹣2 =﹣x7y5  ， 即 ， 解得m=3，n=2 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算．首先根据整式的减法法则求出原来的多项式，再根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案． 【详解】解： ， ． 故选：C． 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中）定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，单形式乘以多项式；由新定义得，进行单形式乘以多项式运算，即可求解；理解新定义，正确进行单形式乘以多项式运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 原式 ， 故选：D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若数x满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的求值问题，利用已知代数式将所求代数式逐步降次是解题的关键．由可得，利用将代数式逐步降次，然后去括号再合并同类项即可解答． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（） 把转化为，再利用整体代入法计算即可； （）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可； 本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ， ， ． 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例4】（24-25七年级上·天津·期末）李先生购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地板砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： (1)用含x的式子表示客厅的面积； (2)用含x的式子表示地面总面积： (3)若铺地板砖的平均费用为100元，求当时，铺地板砖的总费用为多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)3900元 【分析】本题考查了代数式求值，列代数式，解决本题的关键是熟练运用长方形的面积公式． （1）客厅地面面积是长方形，长方形的面积=长×宽，代入数据、字母解答即可； （2）地面的总面积=客厅的总面积+卧室的面积+厨房的面积+卫生间的面积，每个房间的地面面积是长方形，长方形的面积=长×宽，代入数据、字母解答即可； （3）将代入到，求出面积，再乘以单价即可． 【详解】（1）客厅的面积平方米； （2）地面总面积 （平方米）； （3）当时， ； （元）； 答：铺地板砖的总费用是3900元． 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了数字类规律探索、单项式乘多项式的应用，正确发现一般规律是解题关键．先根据已知等式找出规律，再设等式左边三个数分别为，则，，据此求出的值即可得． 【详解】解：由第1个等式可知，，，， 由第2个等式可知，，，， 由第3个等式可知，，，， 由第4个等式可知，，，， 设等式左边三个数分别为， 则，， 所以被隐藏的两位数是， 故答案为：70． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得： ； （2）解：设，则 的值与x无关， ． 4．（24-25七年级上·重庆万州·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (2)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减，熟练掌握整式混合运算运算法则是解题关键． （1）先计算可得到，根据题意可知x项的系数为0，据此即可作答； （2）设，由图可知，，则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与x的值无关，即有，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 的值与无关， ，即； （2）解：设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ， ． 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例5】（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可． 【详解】恒成立， ． 故答案为：1，． 2．（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 【经典例题六 计算多项式乘多项式】 【例6】（24-25八年级上·河南许昌·期末）若，则m的值为（   ）． A． B．4 C． D．10 【答案】B 【分析】本题多项式乘以多项式法则，把展开得，得出，即可得m的值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据整式的运算法则即可求出答案，熟练掌握整式的运算法是解决此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果； （2）原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·北京·期中）阅读与思考 将新学的知识和已有的知识相互联系是数学学习的好方法．小赵同学在学习了《多项式》一章之后，发现了多项式和进位制的相似之处． 在n进制下，数可以表示为，如果将n看成变量，那么后面的代数式便是一个关于n的多项式．如在十进制下，；在n进制下．他在学习小组中分享了这个想法之后，小赵和他的同学们有了如下对话： 悦悦：如果多项式，那它是不是可以看成是“x进制”下的“多项式”？ 正正：好像是这样．另外，多项式A还可以写成，那么它就可以看成是“进制”下的“多项式”了！ 小赵：这么看来，多项式是不是也能进行“进制转化”呢？ 为了解决小赵的问题，学习小组进行了更深入的探究． 项目主题：多项式的“进制转化”． 请阅读他们小组的项目实施过程，帮助他们解决实施过程中遇到的问题． 项目实施： 任务一搜集资料： 我们可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 任务二竖式计算： 例如我们计算，可以列出如下竖式： 因此多项式除以，商式为，余式为12． 我们可以写成：， 即：． 任务三学以致用： （1）请把按x的降幂排列：________________； （2）请计算的商是________，余式是________； （3）直接写出展开成“进制”的“多项式”结果． 【答案】（1）；（2），2；（3）． 【分析】本题考查了多项式带余除法，整式的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）将各项的指数从高到低排列即可； （2）参照阅读材料，列出竖式即可求解； （3）首先第一步除法得：，再对重复第一步，以此类推，直到余式为或余式的次数低于除式的次数即可得到答案． 【详解】解：（1）把按x的降幂排列为：； （2）由题意可列出如下竖式： ， 故的商是，余式是； （3）∵， ∴对部分再除以得：， 同理得：， ∴， 综上可得：． 【经典例题七 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 【例7】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若，则的值为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式的乘法，根据多项式的乘法法则展开对比得到，求出m、n的值，即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， 解得 ∴， 故选：C 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）若对任意的x恒成立，则n的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘法去括号，得出关于m的关系式进而求出m的值，进一步求出n的值． 【详解】解：∵ 而 ∴ ∴， ∴ 故答案为：1． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期中）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 【答案】任务一：，，，；任务二：，；任务三： 【分析】此题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明． （1）直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； （2）画一个长为、宽为的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【详解】任务1： 任务2：由图可知： 任务3：由任务2可知：， 又∵， ∴，， 又∵m，p，q均为整数，， ∴或，或， 综上所述：． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)n的值为 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （2）利用（1）的猜想先求出，再根据得关于m、n的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 根据上面的计算，可发现： 故答案为：；； （2）解：由（1）的规律知：， ∵， ∴． ∴，． ∴． 答：n的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． 【经典例题八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）已知的乘积展开式中不含和项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，代数式求值，先根据多项式乘多项式的运算法则展开乘积，再根据展开式中不含和项，可得含和项的系数为，求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ， ∵乘积展开式中不含和项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若的积中不含x和项，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、不含无关类问题及代数式求值，熟练掌握运算法则及不含无关类做题方法是解决本题关键．利用多项式乘以多项式的法则计算，再根据不含和的项，即可求出m与n的值，将m与n的值代入求解即可． 【详解】解： ∵展开后的结果中不含和的项， ∴， ∴，； ∵， ∴ ． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含和项，确定出与的值即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算，把m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】（1） ， ， 根据展开式中不含和项可得， 解得； （2）原式 ． 因为， 所以原式． 3．（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【经典例题九 多项式乘多项式】 【例9】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）先观察下列各式，再解答后面问题： ；； ；； (1)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则 ； (2)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果 ① ； ② ． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式， （1）直接利用已知中运算规律得出答案； （2）①结合已知运算规律即可得出答案；②结合已知运算规律即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）； 故答案为：； （2）（2）①； ②． 故答案为：；． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）在计算时，小泉同学看错了b的值，计算结果为；小张同学看错了a的值，计算结果为． (1)求a，b的值． (2)计算的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． （1）运用多项式乘多项式计算出，与结果比较即可得出a，b的值； （2）运用多项式乘多项式的计算方法进行逐一求解． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）由（1）题结果可得， ． 【经典例题十 多项式乘多项式的化简求值】 【例10】（23-24八年级上·四川泸州·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法，然后计算多项式除以单项式，最后代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 1．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，求代数式 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值．先利用单项式乘以多项式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，结合条件进行变形，最后把已知等式代入计算即可求出值．将代数式化简成已知等式形式是解题关键． 【详解】解：原式， ， ， ， 原式， ． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】先利用整式的混合运算化简代数式，再把已知条件变形，最后整体代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式 【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】先算多项式乘多项式，再合并同类项，接着算整式的除法，最后把相应的值代入运算即可． 【详解】解：， ， ， ， 将，代入， 原式， ， ． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算以及化简求值，解答的关键在于掌握相应的运算法则． 【经典例题十一 多项式乘多项式与图形面积】 【例11】（24-25八年级上·北京·期中）有两个正方形、，将，并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】题考查整式的乘法与图形面积，设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影部分的面积，整体代入即可得出，即正方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，，， 即，， ， 即正方形的面积为， 故选：B． 1．（2024·河北唐山·二模）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（     ） A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张 C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，根据，得拼接这样的一个长方形所需甲种纸片12张，乙种纸片17张，丙种纸片6张，由此可得出答案． 【详解】解：， ∴拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形，所需甲种纸片12张，乙种纸片17张，丙种纸片6张， ∵现有甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张， ∴甲种纸片正好用完，丙种纸片剩余6张，乙种纸片缺少5张． 故选：C． 2．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）如图，长方形的面积是96，为上一点，，为上一点，则的面积是 ． 【答案】45 【分析】此题考查了整式的乘法以及代数求值的实际应用，解题的关键是正确表示出，，． 设长方形的长为x，宽为y，然后表示出，，，然后根据的面积列式代数求解即可． 【详解】设长方形的长为x，宽为y， ∵，， ∴，， ∴的面积 ． 故答案为：45． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 【经典例题十二 多项式乘法中的规律性问题】 【例12】（24-25七年级下·全国·课后作业）探究应用： (1)计算： __________；_________． (2)上面的乘法计算结果很简洁，用含a，b的式子表示你发现的规律，并说明理由； (3)下列各式能用（2）中的式子计算的是__________（填选项）． A．    B． C．     D． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是利用观察归纳能力来求解及掌握多项式乘多项式的运算法则． （1）根据多项式乘以多项式的法则即可计算出答案； （2）根据多项式乘以多项式的法则，从计算中找规律； （3）多项式乘以多项式特殊情况的总结． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：；； （2）解：； ∵ ， ∴； （3）解：由可知，选项C正确． 故选：C． 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读理解：请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ① ② ③ ④ (1)规律探究： ； (2)知识运用： ① ； ②利用上述规律计算： ． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了多项式乘多项式，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题． （1）根据探索材料找到规律直接写出答案； （2）①把代入（1）中的等式进行求值即可； ②把，代入（1）中式子计算即可． 【详解】（1）解：∵① ② ③ ④ ∴， 故答案为：； （2）①解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②解：把，代入中可得：， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，为杨辉三角的一部分，它的作用是指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题． (1)填空：第二项的系数为________，_______； (2)求的展开式； (3)请根据以上规律计算： 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查杨辉三角与多项式乘法的应用． （1）由题意给出的规律可知： ，即可解答； （2）由题意给出规律可知：； （3）通过变形化简可得原式，计算即可． 【详解】（1）解：第二项的系数为， 由题意可得， 故答案为：4， （2）由题意得：； （3）原式 3．（23-24八年级上·云南红河·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是与多项式乘法相关的规律题，理解题意，总结归纳出规律，再利用规律解决问题是解本题的关键． （1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得的展开式； （2）利用（1）中展开式，设，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）∵，令，， ∴ ． 【经典例题十三 整式乘法混合运算】 【例13】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）本题主要考查整式运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键； （1）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． （2）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据单项式加单项式的运算法则计算即可． （3）先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，再根据整式乘法的运算法则计算即可． 解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （3）先计算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先计算乘方，再根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 3．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式等，熟知运算法则并准确进行运算是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方计算即可； （3）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式分别计算即可； （4）根据平方差公式，完全平方公式分别计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式； （3）解：原式． （4）解：原式． 【经典例题十四 整式乘法中的新定义计算】 【例14】（24-25八年级上·江西南昌·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则． 一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即） ， 如果， 则称B是A的“好多项式”， 如果， 则称B是A的“极好多项式”． 若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的乘法及项数的理解，熟练掌握多项式的乘法是解题关键．根据多项式的乘法及项数确定求解即可． 【详解】解： ， ∵B是A的“极好多项式”，则， 即，只有两项， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【答案】 9 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，多项式乘多项式法则，数字类规律，解答本题的关键是明确题意，发现相邻几个数相加的和的规律． （1）根据定义即可分别求得结果； （2）首先根据多项式乘多项式法则去括号，再根据定义及有理数的加减进行运算，即可求得结果； （3）首先根据复数的定义计算，找到规律，再根据规律进行运算，即可求得结果． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：，，，，，，，，…， 每4个为一循环，且， ， ． 3．（23-24八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果．则称B是A的“郡园多项式”如果，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，，则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由； (2)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，则_____； (3)若，是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值． 【答案】(1)B是A的“郡园多项式”，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）先计算出，则，，即可得到，由此即可得到结论； （2）先计算出，再根据题意得到，则，即可求出； （3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时， 则，即可得到，则，综上所述，或． 【详解】（1）解：B是A的“郡园多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴B是A的“郡园多项式”； （2）解：∵，， ∴ ， ∵，B是A的“郡园志勤多项式”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）解：∵，， ∴ ， 当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意； 当时，， ∵B是A的“郡园志勤多项式”， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 1．（24-25八年级上·重庆江津·期末）已知等式（，为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出的值即可求解，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， ∴或或或或， ∴的值不可能是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）长方形的面积为，若它的一边为，则另一边长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法，根据长方形面积公式列出算式，然后根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：根据题意得，另一边长为： ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·广西玉林·期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘法的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”系数的规律，计算展开式的系数和是（） A．256 B．1024 C．64 D．512 【答案】A 【分析】此题考查了数字变化规律及多项式乘多项式，熟练掌握杨辉三角形的变化规律是解本题的关键．根据“杨辉三角”的规律求出所求即可． 【详解】解：根据“杨辉三角”得： 的展开式中的系数分别为1，6，15，20，15，6，1， 的展开式中的系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1， 的展开式中的系数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1， 则的展开式的系数和是， 故选：A． 4．（24-25八年级上·重庆潼南·期末）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再用第2项乘得到，将第2项加上得到第3项，再用第3项乘得到，……，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列3个结论： ①； ②第4项是； ③若第2023项的值为0，则． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，先求出第1项为，，第2项为，， 第3项为，，第4项为，再根据规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：第1项为，， 第2项为，，故①正确； 第3项为，， 第4项为，故②正确； 若第2023项的值为0，则， ∴， ∴，即，故③正确； 综上所述，以上结论正确的有①②③，共个， 故选：D． 5．（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算及数字的变化规律，解题的关键是将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出规律． 根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴． ∴ ， 因为，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了杨辉三角的应用，解答本题的关键是理解杨辉三角的规律，找出展开的多项式中各项系数之和． 找出展开各项的系数之和的规律为，即可解答． 【详解】解：，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ， 所以，展开各项系数之和是， 所以展开各项的系数之和为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算-化简求值，先根据整式混合运算的法则把原式化为的形式是解答此题的关键．先根据整式乘法运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：， ，， 原式． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·广西南宁·期中）若与乘积中项的系数为2，常数项为，则这两个多项式乘积的一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，根据题意列出关系式，由项的系数为2，常数项为，求出p与q的值，即可确定出这两个多项式乘积的一次项系数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】根据题意得：， ∵项的系数为2，常数项为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴这两个多项式乘积的一次项系数为26， 故答案为：26． 10．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下文，寻找规律： 已知：，观察下列各式： ； ； ； ； … 填空： ①＝ ； ②＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了探索规律，由题意可知每一个式子的结果为两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项的指数大1，减数都为1，根据这个规律即可直接写出答案． 【详解】解：①根据规律可得：； 故答案为：． ②原式； 故答案为：． 11．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式法则，多项式乘以多项式法则，多项式除以单项式法则，同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方法则是解题的关键． （1）运用单项式乘以多项式法则计算即可； （2）运用同底数幂相乘与积的乘方、幂的乘方法则计算，再合并同类项即可； （3）根据多项式乘多项式运算法则求解即可； （4）运用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）现要在一个长为米，宽为米的矩形花园中修建如图所示的三条宽度为x米的小道，剩余的地方种植花草． (1)用含有x、y的代数式表示出三条小路的总面积（结果要化简）； (2)用含有x，y的代数式表示出种植花草的面积（结果要化简），并求出，时种植花草的面积． 【答案】(1)平方米 (2)，平方米 【分析】本题主要考查了列代数式，整式四则混合运算，代数式求值等知识点，读懂题意，根据题中的面积关系正确列出代数式是解题的关键． （1）依据图中的面积关系直接列出代数式并化简即可； （2）根据“种植花草的面积长方形的面积三条小路的总面积”即可列出代数式并化简，然后将，代入化简结果进行计算，即可求出代数式的值． 【详解】（1）解：图中三条小路有两处交叉，则总面积为： （平方米）， 三条小路的总面积为：平方米； （2）解：由（1）可知，三条小路的总面积为：平方米， 图中长方形的面积为：平方米， 则种植花草的面积为： （平方米）， 当，时， 种植花草的面积为： （平方米）． 13．（24-25八年级上·广东东莞·期中）（1）填空并观察下列各式的规律： ________； ； ； ； …… 可得到________． （2）猜想：________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的规律问题， 对于（1），根据题目中的规律可得结果； 对于（2），根据（1）中的例子可以写出相应的猜想； 对于（3），把（2）中式子中的代入求解． 【详解】解：（1）； ； 故答案为：，； （2），根据（1）中规律可得； 故答案为：； （3），设（2）中式子中的， 则有， 即， ∴． 14．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)50 【分析】（1）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （2）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （3）根据（2）的等式代入解答即可． 本题考查了公式与几何图形的关系，熟练掌握公式的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，整体大长方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （2）解：根据题意，整体大正方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·福建福州·期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 请你利用上述方法解决下列问题： (1)请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式． (2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示． (3)提出问题：，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例： ①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． ②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）． (4)归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性． 【答案】(1)图（1）：，图（2）：，图（3）： (2)见解析 (3)见解析 (4)十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果，证明见解析 【分析】本题考查了代数式、图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、图形和数字规律的性质，从而完成求解． （1）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （3）根据题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案； （4）根据拓展运用的结论，根据数字规律的性质分析，根据题意与整式的运算法则即可验证． 【详解】（1）解：根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：， 图（2）所表示的代数恒等式： 图（3）所表示的代数恒等式：； （2）解：根据题意，几何图形如图所示： （3）解：示意图如下： 用文字表述的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即； （4）解：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果； 故答案为：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果． 证明：设两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数的十位数为a，个位数分别是b和 则这两个数为分别为：， ∴这两个数的乘积为：； 即十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积， 故速算方法正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$