7.2 第1课时 一元一次不等式的概念及解法-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

第7章 一元一次不等式与不等式组 7.2 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的概念及解法 课题 一元一次不等式的概念及解法 课型 新授课 教学内容 教材第34-36页的内容 教学目标 1.理解一元一次不等式、不等式的解集、解不等式等概念. 2.掌握一元一次不等式的解法,并能在数轴上表示出不等式的解集. 3.体会解一元一次不等式与解一元一次方程之间的不同. 教学重难点 教学重点：理解一元一次不等式的概念和解法. 教学难点：会用数轴表示不等式的解集. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾复习】某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加1.8万元.如果该公司原来的年利润为200万元，要使年利润超过245万元，那么增加的科研经费应高于多少万元？ （老师提问）本题中存在什么数量关系？ 该公司增加的年利润=该公司科研经费增加的数量×1.8 该公司原来的年利润+增加的年利润＞245万元 （老师追问）若设该公司增加科研经费x万元，那么年利润增加多少？（增加1.8万元） 从而可以得到不等式:200+1.8x＞245. 2.探索新知，归纳知识 像200+1.8x＞245这种，含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫作一元一次不等式. （小试牛刀）判断下列不等式是一元一次不等式的有_____. ①x+2＜2，②x²-1＞0，③3+x＞y， ④＜3，⑤x（x+1）＜2x. 【探究1】对于不等式200+1.8x＞245，x取不同的值，这个不等式有什么变化？ （师生活动）当x分别取26,25,24时，不等式还成立吗？ 当x取26时，代入原不等式左边，得200+1.8×26=246.8， 246.8＞245，原不等式成立； 当x取25时，代入原不等式左边，得200+1.8×25=245. 245=245，原不等式不成立； 当x取24时，代入原不等式左边，得200+1.8×24=243.2， 243.2＜245，原不等式不成立. 这也就说明了，当x取某些值（如26）时，不等式200+1.8x＞245成立；当x取另外一些值（如25，24）时，不等式200+1.8x＞245不成立. （老师给出定义）求不等式的解集的过程叫作解不等式. 老师引导：请同学们先回顾一下解一元一次方程的步骤. 解方程：2x+8=2（2-x）（找学生在黑板上写答案） 解：去括号，得2x+8=4-2x，移项，得2x+2x=4-8, 合并同类项，得4x=-4，系数化为1，得x=-1. 老师点评：解题过程既规范又正确，下面就请同学们仿照解方程的步骤，解下面的一元一次不等式. 【教材例题】 例1 解不等式：2x+5≤7（2-x）. （找学生在黑板上写答案） 解：去括号，得2x+5≤14-7x.移项，得2x+7x≤14-5. 合并同类项，得9x≤9.x系数化成1，得x≤1. 老师点评：解题过程很完美. 根据这位同学的解题过程，我们可以总结，解一元一次不等式的过程：去括号——移项——合并同类项——系数化为1. 老师继续提问：我们之前学习过数轴，如果让你们把上面不等式的解集表示在数轴上，该怎么表示呢？ 请两位同学上来画一下. 学生甲： 学生乙： 老师点评：学生甲的画法是错误的，学生乙的是正确的. 总结：在数轴上表示不等式的解集时，端点数也满足不等式时，在数轴上端点处要画出实心点，端点数不满足不等式时，在数轴上端点处要画成空心点.且大于往右画，小于往左画. 【教材例题】 例2 解不等式：-1＜，并把它的解集在数轴上表示出来. （找学生在黑板上写答案） 解：去分母，得2（4+x）-6＜3x. 去括号，得8+2x-6＜3x. 移项、合并同类项，得-x＜-2. x系数化成1，得x＞2. 在数轴上表示不等式的解集为 老师点评：解题过程很完美.尤其是在最后一步，系数化为1时，没有忘记不等号变号，值得表扬.另外，在数轴上表示解集时，端点处画空心点，处理的也很好. 老师总结：根据这位同学的解题过程，我们可以总结，解带分母的一元一次不等式的过程：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1（特别注意系数为负数的情况）. 通过解上面两个例题，下面请同学们交流讨论一下，一元一次方程的解法与一元一次不等式的解法有哪些相同点和不同点？是什么原因造成它们之间不同的呢？（观察后回答） 学生交流：看着和解一元一次方程的步骤一样啊，就是等号换成了＞或＜. 老师提醒：观察一下上面两个的最后一步，有什么发现？ 学生回答：知道了，系数化为1时，解方程利用等式的性质，得到解，仍是等式；而解不等式利用不等式的基本性质3，不等号变号了. 老师点评：非常棒，它们之间的不同就在于“系数化为1”时，如果前面的系数是负数，那么解不等式时就要变号，而解方程是不变的. 3.学以致用，应用新知 考点1 一元一次不等式的概念 【例1】下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　) A．5x－2＞0 B．－3＜2＋ C．6x－3y≤－2 D．y2＋1＞2 解析：选项A是一元一次不等式，选项B中含未知数的项不是整式，选项C中含有两个未知数，选项D中未知数的次数是2，故选项B，C，D都不是一元一次不等式，所以选A. 答案：A 考点2 根据一元一次不等式的概念确定字母的取值范围 【例2】已知是关于 x 的一元一次不等式， 则 a 的值是_______． 解析：由题意，可知2a-1=1,解得a=1. 答案：1 考点3 一元一次不等式的解与解集 【例3】在-4，-3，-2，-1，0，，中，能使不等式x-2＞2x成立的数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 【例4】下列说法： ①x＝0是2x－1＜0的一个解； ②x＝－3不是3x－2＞0的解； ③－2x＋1＜0的解集是x＞2. 其中正确的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：C 考点4 解一元一次不等式 【例5】不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示的是( ) 答案：D 【例6】解不等式12-6x≥2(1-2x)，并把它的解集在数轴上表示出来. 解：去括号，得12-6x≥2-4x.移项，得 -6x+4x≥2-12.合并同类项，得-2x≥-10.x系数化为1，得x≤5. 原不等式的解集在数轴上表示如图所示： 考点5 求一元一次不等式的特殊解 【例7】当x取什么值时，代数式的值大于或等于0？ 并求出所有满足条件的正整数。 解：根据题意，得≥0 ，解得x ≤ 6. 原不等式的解集在数轴上表示如图所示： 由图可知，满足条件的正整数有 1，2，3，4，5，6. 4.课堂小结，自我完善 （1）一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程. （2）解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式. （3）解一元一次不等式的步骤： 去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1（特别注意系数为负数的情况）. 5.布置作业 课本P35练习第1-2题，P37练习第1-3题. 本节由实际问题引出一元一次不等式的概念，用类比的方法探究一元一次不等式的解法. 对于此问题，采用老师提问，学生口答的形式，帮学生回顾上一节知识，引出本节知识. 让学生根据概念判断一下. 类比判断某一个数值是不是方程的解，同样把数值代入不等式的一边，验证不等式是否成立. 这种验证方法为下一步验证不等式解的不唯一性及学习不等式的解集奠定基础. 让学生回顾一元一次方程的解题步骤，从而自主探求一元一次不等式的解法，可以提升学生类比归纳的能力，切身体会类比的数学思想. 本题中没有涉及去分母，这里暂时可以不提去分母. 用数轴表示不等式的解集，简单明了，是数形结合的具体体现，要特别强调端点处空心点与实心点的使用，让学生理解它们在表示不等式解集时的差别. 例2是含分母的一元一次不等式，注意第一步就是去分母. 本题与例1比较，强调不等式基本性质3的应用，即在最后一步，x系数化为1时，若此时x的系数是负数，就需要应用基本性质3，改变不等号的方向. 此处思考问题，尽量让全体学生参与探索，鼓励学生发现解一元一次不等式与解一元一次方程的区别只在于“系数化为1”这一步，其余的二者一样，培养学生的自学能力与归纳能力. 通过做题，让学生体会一元一次不等式满足的三个条件： ①含有一个未知数；②未知数的最高次数为1； ③不等式的两边都是关于未知数的整式． 应用一元一次不等式满足的条件解题. 判断一个数是不是不等式的解，只要把这个数代入不等式，看是否成立．判断一个不等式的解集是否正确，可把这个不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，再进行比较即可． 在数轴上表示不等式的解集时，一要把点找准确，二要找准方向，三要区别实心圆点与空心圆圈． 本节的重点是寻求解一元一次不等式的“通法”，准确在数轴上表示不等式的解集，开始接触应该让学生按照一般步骤、规范格式做练习，以养成良好的解题习惯. 板书设计 教后反思 本节课通过类比一元一次方程的解法，得到一元一次不等式的解法，让学生感受到解一元一次不等式与解一元一次方程只是在系数化为1这一步时有所不同，这也是这节课学生容易出错的地方．教学时要大胆放手，让学生自己探索解题步骤，体会类比的数学思想. 系数化为1时，如果这个系数是正数，不等号的方向不变；如果这个系数是负数，不等号的方向改变. 学科网（北京）股份有限公司 $$