6.1.1 平方根-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(沪科版2024)

第6章 实 数 单 元 备 课 第6章 本单元所需课时数 5课时 课标要求 1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解实数. 2.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，并会用根号表示平方根、算术平方根、立方根. 3.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 4.了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值. 5.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 6.在解决实际问题时，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值. 教材分析 本章引入无理数，从有理数扩充到实数，是初中阶段数系扩充的最后一个阶段，同时实数也是后面内容学习（如一元二次方程、函数等）的基础，因此，本章内容具有基础性，应要求学生能熟练掌握实数的有关运算. 主要内容 本章的主要内容是平方根与立方根，无理数与实数的概念，实数的运算及大小比较.主要包括两节：6.1节“平方根、立方根”主要介绍平方根（算术平方根）、立方根的相关概念及求法；6.2节“无理数和实数”是在学习根式后引进无理数，进而扩展到实数，进行实数的运算及大小比较. 教学目标 1.了解平方根、算术平方根、立方根、实数的概念，并会求平方根、算术平方根、立方根，能进行有关实数的简单运算. 2.探求实数性质及其运算规律，并会借助计算器计算平方根、立方根、探索数学规律等. 3.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识及解决问题的能力. 课时分配 6.1 平方根、立方根 2课时 6.1.1 平方根 6.1.2 立方根 6.2 无理数和实数 2课时 第1课时 实数的概念及分类 第2课时 实数的运算及大小比较 教学活动 小结 1课时 教与学建议 1.加强实数的有关概念及其运算与有理数的类比教学. 2.重视培养学生实数运算的能力. 3.抓住重点、加强练习，打好基础. 6.1 平方根、立方根 6.1.1 平方根 课题 平方根 课型 新授课 教学内容 教材第2-5页的内容 教学目标 1.理解平方根、算术平方根的概念，并会表示一个数的平方根、算术平方根. 2.理解开平方的意义，会求一个非负数的平方根、算术平方根. 3.会用计算器求一个数的算术平方根或其近似值. 4.培养学生的探究能力和归纳问题的能力. 教学重难点 教学重点：会求一个非负数的平方根、算术平方根. 教学难点：正确理解平方根、算术平方根的意义. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究1】复习引入（学生活动） 已知一个正方形的边长是4， 则这个正方形的面积是______. 【探究2】探究教材P2问题1 装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，用4块这种地砖正好铺1 m²，问这种地砖一块的边长是多少？ 【师生活动】学生尝试解答，列方程. 设一块正方形地砖的边长为x m，根据题意，有 x²=. 教师提问：怎么解这个方程呢？ （学生先答，老师解答）因为²=，所以x=. 因为²=，所以x=. 地砖的边长不能是负数，x=舍掉， 所以地砖的边长是 m. 2.探索新知，归纳知识 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作二次方根. 例如，上面问题1中，²=，²=， 所以和都是的平方根. 或者说的平方根是和（合写为）. 【交流学习】（学生活动）请同学们口答下面各题． 1.16的平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？ 3.-9有没有平方根？ 【探究1】一个正数有几个平方根？0和负数呢？ 根据学生的回答情况，引导归纳： （1）一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数. 我们用表示a的正的平方根，读作“根号a”，其中a叫作被开方数，这个根也叫作a的算术平方根，另一个负的平方根记为-. （2）0的平方根是0，0的算术平方根也是0，即=0. （3）负数没有平方根. 【探究2】开平方与平方有什么关系？ 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 例如：左图是求一个数的平方，右图是求一个数的平方根. 教师提问:根据上图，可以得到二者有什么关系呢？ （学生先答，老师解答）开平方是平方的逆运算. 利用两种运算互逆的关系可以求一些数的平方根. 【教材例题】 例1 求下列各数的平方根和算术平方根： （1）1；（2）81；（3）；（4）（-3）². 解:（1）因为（±1）²=1，所以1的平方根是±1，即±=±1；1的算术平方根是1. （2）因为（±9）²=81，所以81的平方根是±9，即±=±9；81的算术平方根是9. （3）因为（±）²=，所以的平方根是±，即±=±；的算术平方根是. （4）因为（±3）²=9，所以（-3）²的平方根是±3，即±=±3；（-3）²的算术平方根是3. 教师提问：如果不能直接求出一个被开方数的平方根，应该怎样求其平方根呢？ 利用计算器求一个正数的算术平方根或它的近似值. 例2 利用计算器求下列各式的值（精确到0.01）： （1）；（2）；（3）−；（4）. 解:（1）在计算器上依次键入： 2 =， 显示结果是1.414 213 562，精确到0.01，得≈1.41. （2）≈42.78. （3）−≈−0.94. （4）在计算器上依次键入：（ 5 ÷ 7 ） =， 即可得≈0.85. 用计算器求一个数的平方根的应用 本章引言中提到的速度v2是第二宇宙速度，v2=， 其中g取9.8 m/s²，r取6.4×106 m，用计算器可求得 v2==11 200（m/s）=11.2（km/s）. 例3 跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后，人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间应遵循下面的公式：h=gr²，其中h的单位是m，t的单位是s，g=9.8 m/s².假设跳板的高度是3 m，运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2 m处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间？（精确到0.01s） 解:设运动员下落到水面约需t s，根据题意，得 3+1.2=×9.8t² ， t²=. 因为t>0,所以t=≈0.93. 因而，运动员下落到水面约需0.93 s. 3.学以致用，应用新知 考点1 求一个数的平方根 【例1】求下列各数的平方根和算术平方根： (1)16； (2)； (3)1； (4)(-2.1)2. 解：(1)由于42＝16，因此16的平方根是4与－4，即±＝±4，16的算术平方根是4； (2)由于()2＝，因此的平方根是与－，即±＝±，的算术平方根是； (3)1＝，由于＝，因此1的平方根是与－，即±＝±，1的算术平方根是； (4)(－2.1)2＝2.12，因此(－2.1)2的平方根是2.1与－2.1，即±＝±2.1，(－2.1)2的算术平方根是2.1. 考点2 利用平方根的意义求字母的值 【例2】某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是(　　) A．1 B．3 C．－3 D．9 解析：因为一个正数的两个平方根分别是2a－1与－a＋2，所以(2a－1)+(－a＋2)＝0，解得a＝-1.故这个数是（2a-1）²=（-3）²=9，故选D. 答案：D 考点3 算术平方根的非负性 【例3】 已知a，b满足|a－2|＋＝0，求2a+b的值． 解：由绝对值的意义知|a－2|≥0； 由算术平方根的意义知≥0， 所以a－2＝0，b－3＝0，所以a=2.b=3, 所以2a+b=2×2+3=7. 考点4 估计一个二次根式的范围 【例4】估计：在哪两个相邻整数之间？ 解：因为7²=49，8²=64，且49＜51＜64， 所以8. 4.随堂训练，巩固新知 （1）（广西桂林中考）9的平方根是(　　) A．3 B．±3 C．－3 D．9 答案：B （2）（山东济宁中考）4的算术平方根是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 4 答案：A （3）一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝______． 答案：2 (4)若式子有意义，则x的取值范围是(　　) A．x≥0 B．x≤2 C．x≥－2 D．x≥2 答案：D （5）若|m-1|+=0，求m+n的值. 解：因为|m-1|≥0，≥0，又|m-1|+=0， 所以|m-1|=0，=0，所以m=1，n=-3， 所以m+n=1+(-3)=-2. （6）用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 解：设每块地板砖的边长为x m. 由题意，得240x²=60，即x²=， 于是x==0.5. 所以每块地板砖的边长是0.5 m. 5.课堂小结，自我完善 （1）平方根和算术平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作二次方根.一个正数正的平方根叫作它的算术平方根. （2）一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0（0的算术平方根也是0）；负数没有平方根. （3）用计算器求一个正数的算术平方根或它的近似值. 6.布置作业 课本P5练习第1-3题，P8习题6.1第2、3、4题. 复习：已知正方形边长求面积. 思考：已知正方形面积如何求边长？ 正方形的面积=边长² 通过解决实际问题，引导学生理解求平方根的必要性. 初步体会已知一个数的平方，求这个数. 提醒学生注意，解决实际问题，验证解要符合实际. 归纳总结平方根的概念，并举例说明. 让学生自主探索一个正数的平方根、一个负数的平方根、0的平方根，归纳平方根的情况，引出算术平方根的概念. 拓展：算术平方根的性质. 非负数的算术平方根满足：≥0，≥0. 算术平方根具有双重非负性. 通过举例，对比平方与开平方两种运算之间的关系，总结出开平方与平方是互逆运算，等同于有理数的加法与减法. 例1一个数的算术平方根，是这个数的非负的平方根. 格外注意（4）的形式，（-3）²=9,9的平方根是±3. 以上学习的被开方数都是可以直接求出其平方根的，遇到无法直接求平方根的数，需要借助计算器求.求得的结果注意根据题目要求取近似值（四舍五入法）. 第二宇宙速度是指人造卫星脱离地球引力作用范围飞向太阳，并围绕太阳运动所需的最小发射速度. 通过让学生解决生活中的实际问题，进一步理解求一个数的平方根，培养计算能力，激发学习兴趣。 求一个数的算术平方根的一般步骤： ①找出一个非负数，使得它的平方等于这个数； ②写成这个数的算术平方根等于这个非负数的形式． 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为0. 易错警示：注意本题要求的是这个数，而不是字母a的值. 几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0. 注意：a²≥0，|a|≥0，≥0. 观察被开方数在哪两个相邻整数的平方数之间，则对应的二次根式就在这两个相邻整数之间. 注意：二次根式有意义的条件是被开方数非负. 注意被开方数和算术平方根的非负性. 板书设计 教后反思 本节课通过实际问题创设情境引入平方根，让学生感知“负数没有平方根”，激发学生的求知欲望．再让学生用计算器求一个数的平方根，通过对比认识到平方根与算术平方根的区别与联系． 课堂上，充分调动学生的积极性，让学生发挥主动性，经历观察式子、探索规律、归纳概念的学习过程，使学生感受到学习与探索的乐趣，为今后的学习提供方法和思路。 学科网（北京）股份有限公司 $$