4 整式的除法-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步教案(北师大版2024)

4 整式的除法 课题 4 整式的除法 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P26-27 教学目标 1.理解整式除法运算的法则,会进行简单的整式除法运算。 2.经历探索整式除法运算法则的过程,发展有条理的思考及表达能力。 3.体会数学在生活中的广泛应用.进一步掌握完全平方公式。 教学重难点 重点：掌握整式除法运算的运算法则，并学会简单的整式除法运算。 难点：1. 理解和体会单项式除以单项式的法则。 2. 准确运用法则将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 复习回顾： 1.同底数幂的除法法则是什么? 2.单项式乘单项式和单项式乘多项式的运算法则是什么？ 师生活动：教师带领学生对同底数幂的除法法则、单项式乘单项式和单项式乘多项式的运算法则进行回顾复习，请学生回答上述问题，引出本节课课题。（教师板书课题：4 整式的除法） 同底数幂的除法法则： am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，且m>n）。 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 单项式乘单项式的法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 单项式乘多项式的法则： 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 通过对同底数幂的除法法则、单项式乘单项式和单项式乘多项式的运算法则的回顾复习，巩固学过的知识，为将要学习的整式的除法做铺垫。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 计算下列各题，并说说你的理由。 （1）x5y÷x2； （2）8m2n2÷2m2n； （3）a4b2c÷3a2b。 师生活动：让学生自己思考，计算，完成后互相交流自己的解法，教师鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决这些问题.教师巡视，发现学生的解题方法主要有两种： 方法一：利用乘除法的互逆； 方法二：利用类似分数约分的方法。 思考·交流 如何进行单项式除以单项式的运算？与同伴交流 师生活动：教师带领学生分析归纳，主要解决以下几个问题。 （1）系数怎么办？ （2）同底数幂怎么办？ （3）仅在被除式里含有的字母怎么办？ 学生发现：学生通过上面题目，容易发现单项式系数相除，同底数幂指数相减，仅在被除式里的字母及其指数不变。 教师活动：师生一起总结单项式的除法法则,通过填表的方式对比学习单项式除以单项式的运算法则。 单项式相乘 单项式相除 第一步 系数相乘 系数相除 第二步 同底数幂相乘 同底数幂相除 第三步 其余字母连同它的指数不变,作为积的因式 只在被除式里含有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式 【归纳总结】 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 【探究2】 计算下列各题，并说说你的理由。 （1）（ad+bd）÷d; （2）(a2b+3ab)÷a; （3）(xy3-2xy)÷（xy）。 师生活动：让学生利用学过的内容独立解决这些问题，完成后交流，教师巡视.巡视发现，学生中有2种做法，有的学生可能类比数的除法把除以单项式看成是乘这个数的倒数，也可能利用逆运算进行计算。 方法1：类比数的除法得到 （1）（ad+bd）÷d=（ad+bd）·=a+b； （2）(a2b+3ab)÷a=（a2b+3ab）·=ab+3b； （3）(xy3-2xy)÷（xy）=（xy3-2xy）·=y2-2。 方法2：利用乘除法的互逆，得到 （1）因为（a+b）·d=ad+bd， 所以（ad+bd）÷d=a+b。 （2）因为(ab+3b)·a=a2b+3ab， 所以(a2b+3ab)÷a=ab+3b。 （3）因为(y2-2)·xy=xy3-2xy， 所以（xy3-2xy）÷（xy）=y2-2。 思考·交流 如何进行多项式除以单项式的运算？与同伴进行交流。 师生活动：方法一：将被除式转化为除式乘另一个多项式的形式，利用除法和乘法互为逆运算的关系计算。 方法二：除以一个数相当于乘它的倒数，根据单项式乘多项式的运算法则，将多项式中的每一项与除式的倒数相乘再相加，也就是用多项式中的每一项除以除式，再相加。 利用乘除法逆运算，学生能够得出多项式除以单项式的运算法则，教师引导学生归纳运算法则，让学生能够运用自己的语言叙述如何进行运算。 【归纳总结】 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 。 【教材例题】 例 计算： （1）-x2y3÷3x2y； （2）10a4b3c2÷5a3bc； （3）(2x2y)3·(–7xy2)÷14x4y3； （4）(2a+b)4÷(2a+b)2。 （5）(9x2y–6xy2)÷3xy； （6）(3x2y–xy2+xy)÷(–xy)。 师生活动：让学生先观察、计算，然后组内交流，教师引导学生口述，教师给出板书演示。 （1）-x2y3÷3x2y =（-÷3）x2-2y3-1 =-y2。 （2）10a4b3c2÷5a3bc =(10÷5)a4-3b3-1c2-1 =2ab2c。 （3）(2x2y)3·(–7xy2)÷14x4y3 =8x6y3·(–7xy2)÷14x4y3 =–56x7y5÷14x4y3 =–4x3y2。 （4）(2a+b)4÷(2a+b)2 =(2a+b)4–2 =(2a+b)2 =4a2+4ab+b2。 （3）(9x2y–6xy2)÷3xy =9x2y÷3xy–6xy2÷3xy =3x–2y。 （4）(3x2y–xy2+xy)÷(–xy) =–3x2y÷xy+xy2÷xy–xy÷xy =–6x+2y–1。 让学生利用已经学过的知识独立解决这些题目。 在前面讨论的基础上，学生可以概括出单项式除以单项式的运算法则，便于学生理解。 让学生利用已经学过的内容独立解决问题，提倡算法多样化，培养学生类比推理的能力。 目的是让学生能理解运算法则及其探索过程，用自己的语言描述如何运算，提高学生总结归纳知识的能力。 让学生独立完成此题，通过对问题的分析帮学生巩固单项式除以单项式的法则，提高了计算能力，规范解题步骤。 3.学以致用，应用新知 考点1 单项式除以单项式 例1 计算： （1）2a6b3÷a3b2； （2）x3y2÷x2y； （3）3m2n3÷(mn)2； （4）(2x2y)3÷6x3y2。 解：（1）2a6b3÷a3b2 =2a6-3b3-2 =2a3b。 （2）x3y2÷x2y =(×16)x3-2y2-1 =xy。 （3）3m2n3÷(mn)2 =3m2n3÷m2n2 =3m2-2n3-2 =3n。 （4）(2x2y)3÷6x3y2 =8x6y3÷6x3y2 =(8÷6)x6-3y3-2 =x3y。 考点2 单项式除以单项式的应用 例2 地球到太阳的距离约为1.5×108km，光的速度约为3×108m/s，求光从太阳到地球的时间。 解：因为1.5×108km=1.5×1011m 所以（1.5×1011）÷（3×108） =（1.5÷3）×（1011÷108） =0.5×103=500（s） 所以光从太阳到地球的时间为500秒。 变式训练 化简求值： （-2x3y4）÷（-x2y2）·（-x）-（x-2y）（2y+x）+x（x-xy2），其中x=-1，y=-2。 解：原式=-2x2y2-x2+4y2+x2-x2y2=-3x2y2+4y2， 将x=-1，y=-2代入上式得原式=-12+16=4。 考点3 多项式除以单项式 例3 计算： （1）(3xy+ y)÷y； （2）(ma+mb+mc)÷m； （3）(6c2d–c3d3)÷(–2c2d)； （4）(4x2y+3xy2)÷7xy。 解：（1）(3xy+ y)÷y =3xy÷y+y÷y =3x+1。 （2）(ma+mb+mc)÷m =ma÷m+mb÷m+mc÷m =a+b+c。 （3）(6c2d–c3d3)÷(–2c2d) =–6c2d÷2c2d+c3d3÷2c2d =–3+cd2。 （4）(4x2y+3xy2)÷7xy =4x2y÷7xy+3xy2÷7xy =x+y。 变式训练 计算： (1)(64x5y6-48x4y4-8x2y2)÷(-8x2y2)， (2)(0.25a2b-a3b2-a4b3)÷(-0.5a2b)。 解：（1）原式=64x5y6÷(-8x2y2)-48x4y4÷(-8x2y2)-8x2y2÷(-8x2y2)=-8x3y4+6x2y2+1。 （2）原式=-0.25a2b÷0.5a2b+a3b2÷0.5a2b+a4b3÷0.5a2b=-0.5+ab+a2b2。 例4 渭南市园林局为美化城区环境，计划在一块长方形空地上种植某种草皮，已知长方形空地的面积为(12a2b-3ab)平方米，宽为3ab米，则这块空地的长为_________米。 答案：（4ab2-a） 通过例题讲解，进一步理解、巩固单项式除以单项式的运算法则，提高学生解决问题的能力。 通过变式训练巩固所学知识，掌握法则，灵活运用法则解决问题。 通过例题讲解，进一步理解多项式除以单项式法则，提高学生的计算能力。 通过变式训练巩固所学知识，掌握法则，灵活运用法则解决问题。 4.随堂训练，巩固新知 1.下列算式中，不正确的是（ ） A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4 B．9xmyn–1÷3xm–2yn–3＝3x2y2 C．4a2b3÷2ab＝2ab2 D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y) 答案：D 2.5x3y2与一个多项式的积为20x5y2–15x3y4+70(x2y3)2,则这个多项式为（ ） A．4x2–3y2 B．4x2y–3xy2 C．4x2–3y2+14xy4 D．4x2–3y2+7xy3 答案：C 3.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则其邻边长为________． 答案：a+2 4.如图1中的瓶子盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么一共需要______个这样的杯子（瓶子和杯子的厚度忽略不计）。 答案：28 5.下列计算错在哪里？应怎样改正？ （1）4a8÷2a2=2a4 （2）10a3÷5a2=5a （3）(–9x5)÷(–3x)=–3x4 （4）12a3b÷4a2=3a 解：（1）同底数指数幂相除，指数相减. 2a6 （2）系数应为相除. 2a （3）商中系数的符号错误 3x4 （4）被除式里单独有的幂，要保留在商里. 3ab 6.计算： （1）(2a2b2c)4z÷(–2ab2c2)2； （2）(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z． 解：（1）(2a2b2c)4z÷(–2ab2c2)2 =16a8b8c4z÷4a2b4c4 =4a6b4z。 （2）(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z =81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z =9x4y2z。 7.计算: (1)(6x3y4z–4x2y3z+2xy3)÷2xy3； (2)(72x3y4–36x2y3+9xy2)÷(–9xy2)。 解：(1)(6x3y4z–4x2y3z+2xy3)÷2xy3 =6x3y4z÷2xy3–4x2y3z÷2xy3+2xy3÷2xy3 =3x2yz–2xz+1。 (2)(72x3y4–36x2y3+9xy2)÷(–9xy2) =–72x3y4÷9xy2+36x2y3÷9xy2–9xy2÷9xy2 =–8x2y2+4xy–1。 8.先化简，再求值。 ［(ab+3)(ab–3)–3(a2b2–3)］÷ab，其中a=4，b=–3。 解：［(ab+3)(ab–3)–3(a2b2–3)］÷ab =(a2b2–9–3a2b2+9)÷ab =(–2a2b2)÷ab =–2ab， 当a=4，b=–3时，原式=–2ab=24。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2.注意事项：不要遗漏只在被除式中有而除式中没有的字母及字母的指数；系数相除时，应连同它前面的符号一起进行运算。 3.多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 4.注意事项：计算多项式除以单项式时不要忽略符号；多项式中的某一项倍被全部除掉后，该项的商为1，而不是0. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P28习题1.4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 单项式除以单项式 例 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 投影区 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本章的重点就是整式的运算，因此难以避免地要让学生完成大量的计算题，但是量大未必效果好，应当根据学生对知识的掌握程度分层次练习，不同层次的学生只需完成适合自己的适量练习即可，要追求质量。 教学中要提倡算法多样化，让学生说明每一步的理由，并鼓励学生间的交流，引导学生体会单项式乘法与单项式除法之间的联系与区别，感受数学的整体性，不断丰富学生的解题策略，提高解决问题的能力。 授课过程中，充分调动学生的积极性，让学生发挥主动性，经历观察式子、探索规律、归纳概念的学习过程，使学生感受到学习与探索的乐趣，为今后的学习提供方法和思路。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$