课时测评7 复数的加法与减法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

课时测评7　复数的加法与减法 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．若复数z＝4＋5i，则2－3＝(　　) A．－10－15i B．－10＋15i C．14＋15i D．14－15i 答案：B 解析：由z＝4＋5i，可得＝4－5i，再计算2－3＝－10＋15i.故选B． 2．|(3＋2i)－(4－i)|等于(　　) A． B． C．2 D．－1＋3i 答案：B 解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝＝.故选B． 3．复数满足(a＋3i)＋(2－i)＝5＋bi，则a＋b等于(　　) A．－4 B．7 C．－8 D．5 答案：D 解析：由(a＋3i)＋(2－i)＝5＋bi，得a＋2＋2i＝5＋bi，则a＋2＝5且b＝2，解得a＝3，b＝2，则a＋b＝3＋2＝5．故选D． 4．当复数z满足|z＋3－4i|＝1时，则|z＋2|的最小值是(　　) A．－1 B．－1 C． D．－1 答案：B 解析：因为|z＋2|＝|(z＋3－4i)＋(－1＋4i)|≥|－1＋4i|－|z＋3－4i|＝－1＝－1，所以|z＋2|的最小值是－1．故选B． 5．(多选)|(3＋2i)－(1＋i)|可表示(　　) A．点(3，2)与点(1，1)之间的距离 B．点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离 C．点(2，1)到原点的距离 D．点(2，2)到原点的距离 答案：AC 解析：由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点(3，2)与点(1，1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离，故A正确，B错误；(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i，对应复平面内的点(2，1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|＝|2＋i|可表示点(2，1)到原点的距离，故C正确，D错误． 6．复数z的共轭复数为，已知2z－＝6i(i是虚数单位)，则z＝________． 答案：2i 解析：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，共轭复数＝a－bi，因为2z－＝6i，所以2(a＋bi)－(a－bi)＝6i，所以a＋3bi＝6i，所以a＝0，3b＝6，解得a＝0，b＝2． 则z＝2i. 7．已知M，N分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O为坐标原点，若|z1－z2|－|z1＋z2|＝0，则△MON的形状是________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 答案：直角 解析：因为|z1－z2|－|z1＋z2|＝0，所以|z1－z2|＝|z1＋z2|，故以OM，ON为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，即该平行四边形为矩形，所以△MON的形状是直角三角形． 8．已知复数z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，|z1－z2|＝，则cos (α－β)＝________． 答案： 解析：因为z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，所以z1－z2＝(cos α－cos β)＋i(sin α－sin β).因为|z1－z2|＝，所以＝，所以cos (α－β)＝. 9．(10分)计算下列各式的值： (1)＋－；(5分) (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i]，其中a，b∈R.(5分) 解：(1)＋－ ＝＋i ＝－i. (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i] ＝[(a＋b)－(a－b)]＋[(a－b)＋(a＋b)]i ＝2b＋2ai. 10．(10分)已知复数z1＝＋2(m＋1)i，z2＝2＋(m2－5)i，其中m≠1，m∈R，i是虚数单位． (1)若－z2是实数，求m的值；(4分) (2)请问z1，z2是否为某实系数一元二次方程的两个虚根？并说明理由．(6分) 解：(1)依题意，＝－2(m＋1)i， 所以－z2＝－[2＋(m2－5)i]＝－(m2＋2m－3)i， 因为－z2是实数，所以m2＋2m－3＝0， 解得m＝1，m＝－3． 因为m≠1，所以m＝－3． (2)假设z1，z2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个虚根， 因为方程ax2＋bx＋c＝0的两个虚根为x1，2＝， 所以z1，z2互为共轭复数，于是＝z2， 由(1)知，从而 而该方程组无实数解， 所以z1，z2不是某实系数一元二次方程的两个虚根． 11．(5分)若z1，z2为复数，则“z1＋z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若z1，z2为复数，z1＋z2是实数，令z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c－bi(c，b∈R，b≠0)，则当a＝c时，z1，z2互为共轭复数，当a≠c时，z1，z1不互为共轭复数，反之z1，z2互为共轭复数，则“z1＋z2”一定是实数，因此，若z1，z2为复数，则“z1＋z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的必要不充分条件．故选B． 12．(5分)复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为________． 答案：4 解析：由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，所以x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，所以2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时取等号，故2x＋4y的最小值为4. 13．(13分)已知复数z1＝x2＋y2i，z2＝x2－y2i(x，y∈R)，z3＝2z1－z2，其中x2＋y2＝1，求|z3|的最小值． 解：因为z1＝x2＋y2i，z2＝x2－y2i， 所以z3＝2z1－z2＝2(x2＋y2i)－(x2－y2i)＝x2＋3y2i. 因为x2＋y2＝1，所以z3＝1－y2＋3y2i， 所以|z3|＝ ＝ ＝ 所以当y＝±时，|z3|min＝. 14．(17分)已知在复平面内，O为坐标原点，向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，＋z2是实数． (1)求实数a的值；(7分) (2)求以，为邻边的平行四边形的面积S.(10分) 解：(1)因为＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(a2＋2a－15)i是实数， 所以a2＋2a－15＝0，所以a＝3或a＝－5(舍去)， 所以a＝3． (2)由(1)知z1＝＋i，z2＝－1＋i， 所以＝，＝(－1，1)，所以||＝，||＝， 所以cos 〈，〉＝＝＝， 所以sin 〈，〉＝ ＝， 所以S＝||||sin 〈，〉＝××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$