课时测评5 复数的概念-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

课时测评5　复数的概念 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列说法正确的个数是(　　) ①若两个复数的和是实数，则这两个复数都是实数或互为共轭复数 ②2＋i>1＋i ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数 ④若一个数是实数，则其虚部不存在 A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 解析：对①，可设两个复数分别为：a＋bi和m＋ni，由题意可得：a＋m＋(b＋n)i为实数，由于复数包含实数，有可能这两个复数本身就是实数；也可能b＝－n，此时这两个复数，当实部不相等时两复数不为共轭复数，故①错误；对于②，若两个复数不全是实数，则不能比较大小，由于2＋i与1＋i均为虚数，故不能比较大小，故②错误；对于③，除原点外，虚轴上的点表示的数都是纯虚数，故③错误；对于④，若一个数是实数，则其虚部存在，为0，故④错误；所以综上可知正确的个数为0．故选A． 2．已知a∈R，在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则(　　) A．a＝0或a＝2 B．a＝0 C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2 答案：B 解析：因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0． 3．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是(　　) A．1－i B．1＋i C．－3＋3i D．3＋3i 答案：A 解析：－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数实部为1，虚部为－1，即1－i. 4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若ab＝0，则a＝0或b＝0，故充分性不成立；若复数a＋bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，即ab＝0，必要性成立，所以“ ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数的”必要不充分条件．故选B． 5．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是(　　) A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1 B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数 C．若z＋z＝0，则z1＝z2＝0 D．当m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数 答案：BD 解析：取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i， 但不满足x＝y＝1，故A错误； ∀a∈R，a2＋1>0恒成立，所以(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数，故B正确； 取z1＝i，z2＝1，则z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错误； m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i＝42i是纯虚数， 故D正确．故选BD． 6．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________． 答案：2　±2 解析：因为z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i且z1＝z2，所以 解得 7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是________． 答案：3－3i 解析：3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i. 8．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a＋bi，其中虚数有________个． 答案：36 解析：从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a＋bi，当a＝0时，对应的b有6个值；当a取1，2，3，3，4，5，6时，对应的b只有5个值．所以虚数有6＋6×5＝36(个). 9．(10分)已知复数z＝m2－1＋(m2＋5m－6)i (1)当实数m为何值时，z为实数； (4分) (2)当实数m为何值时，z为纯虚数．(6分) 解：(1)若z为实数，则m2＋5m－6＝0，解得m＝1或m＝－6． (2)若z为纯虚数，则 解得m＝－1． 10．(10分)(新定义)定义运算＝ad－bc，若(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值． 解：由定义得＝3x＋2y＋yi， 所以(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi. 因为x，y为实数，所以 即解得 11．(5分)复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　) A．[－1，1] B． C． D． 答案：C 解析：因为z1＝z2，所以 所以4sin2θ＝λ＋3sinθ，所以λ＝4－.因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝时，λ取得最小值－；当sin θ＝－1时，λ取得最大值7，所以－≤λ≤7，即λ的取值范围是.故选C． 12．(5分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝m2－2m－3＋(m2＋3m＋2)i(i为虚数单位)，b＝12，c＝13，∠ACB＝90°，则实数m＝________． 答案：－2 解析：由题意知a＝＝5，则解得m＝－2． 13．(13分)实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是 (1)实数；(4分) (2)虚数；(4分) (3)纯虚数．(5分) 解：(1)若复数是实数，则 即得m＝6； (2)若复数是虚数，则 即则m≠－3且m≠6； (3)若复数是纯虚数，则则即m＝1或m＝－. 14．(17分)已知z＝sin A＋(k sin A＋cos A－1)i，A为△ABC的一内角．若不论A为何值，z总是实数，求实数k的取值范围． 解：因为z总是实数， 所以k sin A＋cos A－1＝0，即k＝恒成立． ＝＝tan . 又A∈(0，π)，∈， 所以tan ∈(0，＋∞)， 所以∈(0，＋∞)， 所以当k＞0时，不论A为何值，z总是实数． 学生用书第24页 学科网（北京）股份有限公司 $$